（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量與解三角形 5.2 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用學(xué)案

§5.2　平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 考綱解讀 考點(diǎn) 考綱內(nèi)容 要求 浙江省五年高考統(tǒng)計(jì) 2013 2014 2015 2016 2017 1.平面向量的數(shù)量積 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. 2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系. 3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算. 4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角. 掌握 17,4分 8,5分 9(文), 5分 13(文), 4分 15(文), 4分 10,4分 2.向量的綜合應(yīng)用 1.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題. 2.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題. 掌握 7,5分 15(文), 4分 15,4分 15,6分 分析解讀　　1.向量的數(shù)量積是高考命題的熱點(diǎn),主要有以下幾個(gè)方面:(1)平面向量的運(yùn)算、化簡、證明及其幾何意義.(2)平面向量垂直的充要條件及其應(yīng)用.(3)平面向量的綜合應(yīng)用,向量的坐標(biāo)是代數(shù)與幾何聯(lián)系的橋梁,它融數(shù)、形于一體,具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份,是中學(xué)數(shù)學(xué)知識的重要交匯點(diǎn),常與平面幾何、解析幾何、三角函數(shù)等內(nèi)容交叉滲透. 2.預(yù)計(jì)2019年高考試題中,向量的數(shù)量積仍是高考的熱點(diǎn),應(yīng)引起高度重視. 五年高考 考點(diǎn)一　平面向量的數(shù)量積 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江,10,4分)如圖,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點(diǎn)O.記I1=·,I2=·,I3=·,則(　　) A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3 答案　C 2.(2014浙江,8,5分)記max{x,y}=min{x,y}=設(shè)a,b為平面向量,則(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2 D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 答案　D 3.(2017北京理,6,5分)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　A 4.(2017課標(biāo)全國Ⅱ,12,5分)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則·(+)的最小值是(　　) A.-2 B.- C.- D.-1 答案　B 5.(2016課標(biāo)全國Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,則m=(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.-8 B.-6 C.6 D.8 答案　D 6.(2016天津,7,5分)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則·的值為(　　) A.- B. C. D. 答案　B 7.(2016山東,8,5分)已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.4 B.-4 C. D.- 答案　B 8.(2015安徽,8,5分)△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足=2a,=2a+b,則下列結(jié)論正確的是(　　) A.|b|=1 B.a⊥b C.a·b=1 D.(4a+b)⊥ 答案　D 9.(2015福建,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且=+,則·的最大值等于(　　) A.13 B.15 C.19 D.21 答案　A 10.(2016浙江文,15,4分)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e為平面單位向量,則|a·e|+|b·e|的最大值是　　　　.  答案　 11.(2017課標(biāo)全國Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,則m=　　　　.  答案　2 12.(2017北京文,12,5分)已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),O為原點(diǎn),則·的最大值為　　　　.  答案　6 13.(2017課標(biāo)全國Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=　　　　.  答案　2 14.(2017山東理,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的單位向量.若e1-e2與e1+λe2的夾角為60°,則實(shí)數(shù)λ的值是　.  答案　 15.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.動點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上,且=λ,=,則·的最小值為　　　　.  答案　 16.(2015廣東,16,12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m與n的夾角為,求x的值. 解析　(1)因?yàn)閙⊥n,所以m·n=sin x-cos x=0. 即sin x=cos x,又x∈,所以tan x==1. (2)易求得|m|=1,|n|==1. 因?yàn)閙與n的夾角為, 所以cos==. 則sin x-cos x=sin=. 又因?yàn)閤∈,所以x-∈. 所以x-=,解得x=. 教師用書專用(17—33) 17.(2016北京,4,5分)設(shè)a,b是向量,則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　D　 18.(2015山東,4,5分)已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC=60°,則·=(　　) A.-a2 B.-a2 C.a2 D.a2 答案　D　 19.(2014大綱全國,4,5分)若向量a、b滿足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,則|b|=(　　) A.2 B. C.1 D. 答案　B　 20.(2015重慶,6,5分)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D.π 答案　A　 21.(2014四川,7,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　D　 22.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=120°,點(diǎn)E,F分別在邊BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,則λ+μ=(　　) A. B. C. D. 答案　C　 23.(2014課標(biāo)Ⅱ,3,5分)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=,|a-b|=,則a·b=(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 答案　A　 24.(2013陜西,3,5分)設(shè)a,b為向量,則“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　C　 25.(2013湖北,6,5分)已知點(diǎn)A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),則向量在方向上的投影為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C.- D.- 答案　A　 26.(2014江蘇,12,5分)如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,則·的值是　　　　.  答案　22 27.(2014安徽,15,5分)已知兩個(gè)不相等的非零向量a,b,兩組向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2個(gè)a和3個(gè)b排列而成.記S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.則下列命題正確的是　　　　(寫出所有正確命題的編號).  ①S有5個(gè)不同的值?、谌鬭⊥b,則Smin與|a|無關(guān) ③若a∥b,則Smin與|b|無關(guān)?、苋魘b|>4|a|,則Smin>0 ⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,則a與b的夾角為 答案?、冖? 28.(2013江西,12,5分)設(shè)e1,e2為單位向量,且e1,e2的夾角為,若a=e1+3e2,b=2e1,則向量a在b方向上的射影為　　　　.  答案　 29.(2016課標(biāo)全國Ⅰ,13,5分)設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=　　　　.  答案　-2 30.(2015湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,則·=　　　　.  答案　9 31.(2013課標(biāo)全國Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點(diǎn),則·=　　　　.  答案　2 32.(2013課標(biāo)全國Ⅰ,13,5分)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,則t=　　　　.  答案　2 33.(2016江蘇,13,5分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn),·=4,·=-1,則·的值是　　　　.  答案　 考點(diǎn)二　向量的綜合應(yīng)用 1.(2013浙江,7,5分)設(shè)△ABC,P0是邊AB上一定點(diǎn),滿足P0B=AB,且對于邊AB上任一點(diǎn)P,恒有·≥·,則(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.∠ABC=90° B.∠BAC=90° C.AB=AC D.AC=BC 答案　D 2.(2016課標(biāo)全國Ⅲ,3,5分)已知向量=,=,則∠ABC=(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 答案　A 3.(2016四川,10,5分)在平面內(nèi),定點(diǎn)A,B,C,D滿足||=||=||,·=·=·=-2,動點(diǎn)P,M滿足||=1,=,則||2的最大值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 4.(2013湖南,6,5分)已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的取值范圍是(　　) A.[-1,+1] B.[-1,+2] C.[1,+1] D.[1,+2] 答案　A 5.(2017浙江,15,6分)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是　　　　,最大值是　　　　.  答案　4;2 6.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若對任意單位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,則a·b的最大值是　　　　.  答案　 7.(2017課標(biāo)全國Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=　　　　.  答案　7 8.(2017江蘇,12,5分)如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為α,且tan α=7,與的夾角為45°.若=m+n(m,n∈R),則m+n=　　　　.  答案　3 教師用書專用(9—16) 9.(2015湖南,8,5分)已知點(diǎn)A,B,C在圓x2+y2=1上運(yùn)動,且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),則|++|的最大值為(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案　B　 10.(2013重慶,10,5分)在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,則||的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　D　 11.(2013福建,7,5分)在四邊形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),則該四邊形的面積為(　　) A. B.2 C.5 D.10 答案　C　 12.(2015江蘇,14,5分)設(shè)向量ak=cos,sin+cos(k=0,1,2,…,12),則(ak·ak+1)的值為　　　　.  答案　9 13.(2014湖北,11,5分)設(shè)向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),則實(shí)數(shù)λ=　　　　.  答案　±3 14.(2013山東,15,4分)已知向量與的夾角為120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,則實(shí)數(shù)λ的值為　　　　.  答案　 15.(2014江西,14,5分)已知單位向量e1與e2的夾角為α,且cos α=,向量a=3e1-2e2與b=3e1-e2的夾角為β,則cos β=　　　　.  答案　 16.(2013江蘇,15,14分)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|=,求證:a⊥b; (2)設(shè)c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值. 解析　(1)證明:由題意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2. 因?yàn)閍2=b2=|a|2=|b|2=1, 所以2-2a·b=2,即a·b=0, 故a⊥b. (2)因?yàn)閍+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以 由此得,cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1得,sin α=sin β=,而α>β,所以α=,β=. 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一　平面向量的數(shù)量積 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三)已知向量a=(cos2A,-sin2A),b=,其中A為△ABC的最小內(nèi)角,且a·b=-,則角A等于 (　　) A. B. C. D. 或 答案　C 2.(2017浙江紹興質(zhì)量調(diào)測(3月),8) 向量a,b滿足|a|=4,b·(a-b)=0.若|λa-b|的最小值為2(λ∈R),則a·b=(　　) A.0 B.4 C.8 D.16 答案　C 3.(2018浙江杭州地區(qū)重點(diǎn)中學(xué)第一學(xué)期期中,12)在△ABC中,已知AB=,BC=,AC=2,且O為△ABC的外心,則△ABC的面積為 　　　　,·=　　　　.  答案　;-2 4.(2018浙江杭州二中期中,16)在半徑為1的扇形AOB中,∠AOB=60°,C為弧AB上的動點(diǎn),AB與OC交于點(diǎn)P,則·的最小值是　　　　.  答案　- 考點(diǎn)二　向量的綜合應(yīng)用 5.(2017浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四,7)已知A,B是半徑為的☉O上的兩個(gè)點(diǎn),·=1,☉O所在平面上有一點(diǎn)C滿足|+-|=1,則向量的模的取值范圍是(　　) A.[2-1,2+1] B. C.[-1,+1] D.[-1,+1] 答案　C 6.(2018浙江名校協(xié)作體期初,12)已知在△ABC中,AB=3,BC=,AC=2,且O是△ABC的外心,則·=　　　　,·=　　　　.  答案　2;- 7.(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期初聯(lián)考,16)若向量a,b滿足a2+a·b+b2=1,則|a+b|的最大值為　　　　.  答案　 8.(2017浙江嘉興基礎(chǔ)測試,15)已知兩單位向量e1,e2的夾角為60°,若實(shí)數(shù)x,y滿足|xe1+2ye2|=,則x+2y的取值范圍是　　　　.  答案　[-2,2] B組　2016—2018年模擬·提升題組 一、選擇題 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2018浙江9+1高中聯(lián)盟期中,10)如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上,其中AB=2,過A向點(diǎn)C處的切線作垂線,垂足為P,則·的最大值是(　　) A.2 B.1 C.0 D.-1 答案　B 2.(2018浙江重點(diǎn)中學(xué)12月聯(lián)考,10)已知三角形ABC,AB=2,BC=3,AC=4,點(diǎn)O為三角形ABC的內(nèi)心,記I1=·,I2=·,I3=·,則(　　) A.I3<I2<I1 B.I1<I2<I3 C.I3<I1<I2 D.I2<I3<I1 答案　A 3.(2017浙江溫州模擬考(2月),9)記max{a,b}=已知向量a,b,c滿足|a|=1,|b|=2,a·b=0,c=λa+μb(λ,μ≥0且λ+μ=1),則當(dāng)max{c·a,c·b}取最小值時(shí),|c|=(　　) A. B. C.1 D. 答案　A 4.(2016浙江名校(杭州二中)交流卷三,5)已知角A為△ABC的最小內(nèi)角,若向量a=(cos2A,sin2A),b=,則a·b的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　C 二、填空題 5.(2018浙江浙東北聯(lián)盟期中,15)已知向量a,b,c滿足|a|=1,|b|=2,|c|=3,若b·c=0,0≤λ≤1,則|a-λb-(1-λ)c|的最大值為　　　　,最小值為　　　　.  答案　4;-1 6.(2017浙江寧波二模(5月),16)已知向量a,b滿足|b|=3,|a|=2|b-a|,若|a+λb|≥3恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為　　　　　　　　　.  答案　(-∞,-3]∪ C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法1　平面向量數(shù)量積、向量長度與夾角的解題策略 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷一,15)已知△ABC的內(nèi)角A=60°,BC邊上的高AD=3,則的值是　　　　.  答案　 方法2　平面向量應(yīng)用的解題策略 2.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷四,17)已知非零向量a,b,c,滿足|a|=|b|=-2a·b=1,且a-c和b-c的夾角為120°,則(a+c)·(b+c)的最小值是　　　　.  答案　- 10