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1、高考數(shù)學二輪復習 第二講 三角變換與解三角形
一、選擇題
1．定義運算＝ad－bc，則函數(shù)f(x)＝的圖象的一條對稱軸是( )
A. B. C．π D．0
答案：B
2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABC的形狀是( )
A．鈍角三角形 B．直角三角形
C．銳角三角形 D．不能確定
解析：先由正弦定理將角關系化為邊的關系得：a2＋b2＜c2，再由余弦定理可求得角C的余弦值為負，所以角C為鈍角．故選A.
答案：A
3．(xx·浙江卷)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，則“f(x)是奇函
2、數(shù)”是“φ＝”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：先判斷由f(x)是奇函數(shù)能否推出φ＝，再判斷由φ＝能否推出f(x)是奇函數(shù)．
若f(x)是奇函數(shù)，則f(0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝＋kπ(k∈Z)，故φ＝不成立；
若φ＝，則f(x)＝Acos＝－Asin(ωx)，f(x)是奇函數(shù)．所以f(x)是奇函數(shù)是φ＝的必要不充分條件．
答案：B
4．若△ABC的內角A滿足sin 2A＝，則sin A＋cos A等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：∵sin 2A＝，∴2sin
3、Acos A＝，即sin A、cos A同號．∴A為銳角，∴sin A＋cos A＝＝＝＝＝.
答案：A
5. 若＝，則tan 2α＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：先由條件等式＝，左邊分子分母同除以cos α，得＝，解得tan α＝－3，又由于tan 2α＝＝.故選B.
答案：B
6．C是曲線y＝(x≤0)上一點，CD垂直于y軸，D是垂足，點A坐標是(－1，0)．設∠CAO＝θ(其中O表示原點)，將AC＋CD表示成關于θ的函數(shù)f(θ)，則f(θ)＝( )
A．2cos θ－cos 2θ B．cos θ＋sin θ
C．2cos θ(1＋c
4、os θ) D．2sin θ＋cos θ－
解析：依題意，畫出圖形．△CAO是等腰三角形，
∴∠DCO＝∠COA＝π－2θ.
在Rt△COD中，
CD＝CO·cos∠DCO＝cos(π－2θ)＝－cos 2θ，
過O作OH⊥AC于點H，則
CA＝2AH＝2OAcos θ＝2cos θ.
∴f(θ)＝AC＋CD＝2cos θ－cos 2θ.故選A.
答案：A
二、填空題
7. (xx·湖北卷)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知A＝，a＝1，b＝，則B＝________．
解析：依題意，由正弦定理知＝，所以sin B＝，由于0＜B＜π，
5、所以B＝或.
答案：或
8．若函數(shù)f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x≤，則f(x)的最大值為________．
解析：因為f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2cos，
當x＝時，函數(shù)取得最大值為2.
答案：2
三、解答題
9．已知0<α<<β<π，tan ＝，cos (β－α)＝.
(1)求sin α的值；
(2)求β的值．
解析：(1)∵tan ＝，
∴sin α＝sin ＝2sin cos
＝＝＝＝.
(2)∵0＜α＜，sin α＝，∴cos α＝.
又0＜α＜＜β＜π，∴0＜β－α＜π.
由c
6、os(β－α)＝，得sin(β－α)＝.
∴sin β＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α
＝×＋×＝＝.
由＜β＜π得β＝π.
10. (xx·安徽卷) 設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面積為，求cos A與a的值．
分析：根據(jù)三角形面積公式可以求出sin A＝，利用sin2A＋cos2A＝1可以解出cos A＝±，對cos A進行分類討論，通過余弦定理即可求出a的值．
解析：由三角形面積公式，得×3×1·sin A＝，故sin A＝.
∵sin2A＋cos2A＝
7、1，
∴cos A＝±＝±＝±.
當cos A＝時，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝9＋1－2×3×1×＝8，所以a＝2.
當cos A＝－時，由余弦定理得，a2＋b2－2bccos A＝9＋1＋2×3×1×＝12，所以a＝2.
11. (xx·江西卷)已知函數(shù)f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若f＝－，α∈，求sin的值．
解析：(1)因為函數(shù)f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即(a＋2cos2x)·cos(－2x＋θ)＝－(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)，因為x∈R，所以cos(－2x＋θ)＝－cos(2x＋θ)，cos 2xcos θ＝0，cos θ＝0.又θ∈(0，π)，所以θ＝.因為f＝0，所以cos＝0，a＝－1.
因此a＝－1，θ＝.
(2)由(1)得：
f(x)＝(－1＋2cos2x)cos＝cos 2x(－sin 2x)＝
－sin 4x，所以由f＝－，得－sin α＝－，sin α＝，又α∈，所以cos α＝－，因此sin＝sin αcos ＋sin cos α＝.
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