(浙江專版)2018年高考數(shù)學(xué) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題3 概率及期望與方差 突破點(diǎn)7 隨機(jī)變量及其分布教學(xué)案

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1、 突破點(diǎn)7 隨機(jī)變量及其分布 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第26頁(yè)) [核心知識(shí)提煉] 提煉1離散型隨機(jī)變量的分布列   離散型隨機(jī)變量X的分布列如下: X x1 x2 x3 … xi … xn P p1 p2 p3 … pi … pn 則(1)pi≥0. (2)p1+p2+…+pi+…+pn=1(i=1,2,3,…,n). (3)E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望). D(X)=(x1-E(X))2·p1+(x2-E(X))2·p2+…+(xi-E(X))2·pi+…+(xn-E(X))2·

2、pn叫做隨機(jī)變量X的方差. (4)均值與方差的性質(zhì) ①E(aX+b)=aE(X)+b; ②D(aX+b)=a2D(X)(a,b為實(shí)數(shù)). (5) 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 ①若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p); ②若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p). 提煉2幾種常見概率的計(jì)算   (1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 P(AB)=P(A)P(B). (2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率 如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=Cpk·(1-p)n-k,k=0,

3、1,2,…,n. [高考真題回訪] 回訪1 離散型隨機(jī)變量及其分布列 1.(2013·浙江高考)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球,b個(gè)黃球,c個(gè)藍(lán)球,且規(guī)定:取出一個(gè)紅球得1分,取出一個(gè)黃球得2分,取出一個(gè)藍(lán)球得3分. (1)當(dāng)a=3,b=2,c=1時(shí),從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球,記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和,求ξ的分布列; (2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球,記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù).若Eη=,Dη=,求a∶b∶c. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334087】 [解] (1)由題意得ξ=2,3,4,5,6. 故P(ξ=2)==, 1分

4、P(ξ=3)==, 2分 P(ξ=4)==, 3分 P(ξ=5)==, 4分 P(ξ=6)==. 5分 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 5 5 6 P 6分 (2)由題意知η的分布列為 η 1 2 3 P 所以E(η)=++=, 10分 D(η)=2·+2·+2·=, 化簡(jiǎn)得 13分 解得a=3c,b=2c,故a∶b∶c=3∶2∶1. 15分 回 訪2 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 2.(2017·浙江高考)已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0

5、D(ξ2) C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) A [由題意可知ξi(i=1,2)服從兩點(diǎn)分布, ∴E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2,D(ξ1)=p1(1-p1),D(ξ2)=p2(1-p2). 又∵0

6、已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球,乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m≥3,n≥3),從乙盒中隨機(jī)抽取i(i=1,2)個(gè)球放入甲盒中. (1)放入i個(gè)球后,甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為ξi(i=1,2); (2)放入i個(gè)球后,從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為pi(i=1,2).則(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334088】 A.p1>p2,E(ξ1)E(ξ2) C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2) D.p1

7、 3 P 所以E(ξ1)=+=, E(ξ2)=++=, 所以E(ξ1)0,所以p1>p2.] 4.(2014·浙江高考)隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,則D(ξ)=________.  [設(shè)P(ξ=1)=a,P(ξ=2)=b, 則解得 所以D(ξ)=+×0+×1=.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第27頁(yè)) 熱點(diǎn)題型1 相互獨(dú)立事件的概率 題型分析:高考主要考查相互獨(dú)立事件概率的求解及實(shí)際應(yīng)用,對(duì)事件相互獨(dú)立性的考查相對(duì)較頻繁,難度中等. 【例

8、1】 (1)投籃測(cè)試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為(  ) A.0.648   B.0.432   C.0.36   D.0.312 (2)如圖7-1,由M到N的電路中有4個(gè)元件,分別標(biāo)為T1,T2,T3,T4,電流能通過T1,T2,T3的概率都是p,電流能通過T4的概率是0.9.電流能否通過各元件相互獨(dú)立.已知T1,T2,T3中至少有一個(gè)能通過電流的概率為0.999. 圖7-1 ①求p; ②求電流能在M與N之間通過的概率. (1)A [3次投籃投中2次的概率為

9、P(k=2)=C×0.62×(1-0.6),投中3次的概率為P(k=3)=0.63,所以通過測(cè)試的概率為P(k=2)+P(k=3)=C×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.故選A.] (2)記Ai表示事件:電流能通過Ti,i=1,2,3,4,A表示事件:T1,T2,T3中至少有一個(gè)能通過電流, B表示事件:電流能在M與N之間通過. ①=123,1,2,3相互獨(dú)立, 2分 P()=P(123) =P(1)P(2)P(3)=(1-p)3. 3分 又P()=1-P(A)=1-0.999=0.001, 4分 故(1-p)3=0.001,p=0.9. 6分

10、 ②B=A4∪4A1A3∪41A2A3, 10分 P(B)=P(A4∪4A1A3∪41A2A3) =P(A4)+P(4A1A3)+P(41A2A3) =P(A4)+P(4)P(A1)P(A3)+P(4)P(1)P(A2)·P(A3) =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.989 1. 15分 [方法指津]   求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的方法 (1)直接法:正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件或幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題,然后用相應(yīng)概率公式求解. (2)間接法:當(dāng)

11、復(fù)雜事件正面情況比較多,反面情況較少,則可利用其對(duì)立事件進(jìn)行求解.對(duì)于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解. [變式訓(xùn)練1] (2017·杭州學(xué)軍中學(xué)高三模擬)商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng).每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個(gè)球.在摸出的2個(gè)球中,若都是紅球,則獲一等獎(jiǎng);若只有1個(gè)紅球,則獲二等獎(jiǎng);若沒有紅球,則不獲獎(jiǎng),則顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率是________;若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,則E(X)=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334089】   [由題

12、得,在甲箱中抽中紅球、白球的概率分別為,,在乙箱中抽中紅球、白球的概率分別為,.抽獎(jiǎng)一次不獲獎(jiǎng)的概率為×=,所以其(對(duì)立事件)獲獎(jiǎng)的概率為1-=.因?yàn)槊看潍@得一等獎(jiǎng)的概率為×=,3次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立,故E(X)=np=3×=.] 熱點(diǎn)題型2 離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差 題型分析:離散型隨機(jī)變量的分布列問題是高考的熱點(diǎn),常以實(shí)際生活為背景,涉及事件的相互獨(dú)立性、互斥事件的概率等,綜合性強(qiáng),難度中等. 【例2】 (1)(2017·蕭山中學(xué)高三仿真考試)隨機(jī)變量X的分布列如下表,且E(X)=2,則D(2X-3)=(  ) X 0 2 a P p1 A.1    B.

13、2    C.4    D.5 C [由題可得+p1+=1,解得p1=.所以E(X)=0×+2×+a·=2,解得a=3.所以D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1,所以D(2X-3)=4D(X)=4,故選C.] (2)(2017·紹興市方向性仿真考試)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,若E(X)=,D(X)=,則x1+x2=(  ) A. B. C. D.3 D [由已知得解得或因?yàn)閤1<x2,所以 所以x1+x2=1+2=3,故選D.] [方法指津] 解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問題的一般

14、思路: (1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值. (2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法,計(jì)算這些可能取值的概率值. (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解. 提醒:明確離散型隨機(jī)變量的取值及事件間的相互關(guān)系是求解此類問題的關(guān)鍵. [變式訓(xùn)練2] (1)(2017·溫州九校協(xié)作體高三期末聯(lián)考)將四位同學(xué)等可能地分到甲、乙、丙三個(gè)班級(jí),則甲班級(jí)至少有一位同學(xué)的概率是________,用隨機(jī)變量ξ表示分到丙班級(jí)的人數(shù),則Eξ=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):68334090】   [甲班級(jí)沒有分到同學(xué)的概率為=,所以甲班級(jí)至少有一位同學(xué)的概率為1-=.隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4,則P(ξ=0)=,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,于是Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=.] (2)(2017·金華十校高考模擬考試)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 P a 則a=________;E(X)=________.   [由分布列的概念易得++a=1,解得a=,則E(X)=1×+2×+3×=.] 7

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