（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專題突破 專題8 概率與統(tǒng)計(jì)、算法、推理與證明、復(fù)數(shù)學(xué)案

《（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專題突破 專題8 概率與統(tǒng)計(jì)、算法、推理與證明、復(fù)數(shù)學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專題突破 專題8 概率與統(tǒng)計(jì)、算法、推理與證明、復(fù)數(shù)學(xué)案（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題八　概率與統(tǒng)計(jì)、算法、推理與證明、復(fù)數(shù) ———————命題觀察·高考定位——————— (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第32頁(yè)) 1．(2017·江蘇高考)已知復(fù)數(shù)z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是________． 　[法一：∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i， ∴|z|＝＝. 法二：|z|＝|1＋i||1＋2i| ＝×＝.] 2．(2017·江蘇高考)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件．為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取

2、________件． 18　[∵＝＝， ∴應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取×300＝18(件)．] 3．(2017·江蘇高考)圖8－1是一個(gè)算法流程圖．若輸入x的值為，則輸出y的值是________． 圖8－1 －2　[輸入x＝，≥1不成立，執(zhí)行y＝2＋log2＝2－4＝－2.故輸出y的值為－2.] 4．(2017·江蘇高考)記函數(shù)f (x)＝的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是________． 　[由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如圖，區(qū)間[－4,5]的長(zhǎng)度為9，定義域D的長(zhǎng)度為5， ∴P＝.] 5．(2016·江蘇

3、高考)已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________． 0.1　[這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，∴S2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.] 6．(2016·江蘇高考)復(fù)數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是________． 5　[z＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i，故z的實(shí)部是5.] 7．(2016·江蘇高考)如圖8－2是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的a的值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：

4、56394053】 圖8－2 9　[第一次循環(huán)：a＝5，b＝7，第二次循環(huán)：a＝9，b＝5，此時(shí)a>b循環(huán)結(jié)束a＝9.] 8．(2016·江蘇高考)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是________． 　[點(diǎn)數(shù)小于10的基本事件共有30種，所以所求概率為＝.] [命題規(guī)律] (1)隨機(jī)事件的概率、復(fù)數(shù)、算法程序框圖、推理證明在高考中多以填空題的形式考查，并且常與統(tǒng)計(jì)知識(shí)放在一塊考查； (2)借助古典概型考查互斥事件、對(duì)立事件的概率求法．考查古典概型概率公式的應(yīng)用，尤其是古典概型

5、 與互斥、對(duì)立事件的綜合問(wèn)題更是高考的熱點(diǎn)．在解答題中古典概型常與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合進(jìn)行綜合考查，考查學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，難度以中檔題為主； (3)考查以樣本的分布估計(jì)總體的分布(以樣本的頻率估計(jì)總體的頻率、以樣本的特征數(shù)估計(jì)總體的特征數(shù))． ———————主干整合·歸納拓展——————— (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第32頁(yè)) [第1步▕ 核心知識(shí)再整合] 1．隨機(jī)事件的概率 (1)隨機(jī)事件的概率范圍：0≤P(A)≤1；必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0. (2)古典概型的概率： P(A)＝＝； (3)幾何概型的概率： P(A)＝＝； (4)互斥事件的概率加法公式：P(A∪B

6、)＝P(A)＋P(B)；對(duì)立事件的概率減法公式：P()＝1－P(A)． 2．直方圖的三個(gè)常用結(jié)論 (1)小長(zhǎng)方形的面積＝組距×＝頻率； (2)各長(zhǎng)方形的面積和等于1； (3)小長(zhǎng)方形的高＝. 3．統(tǒng)計(jì)中的四個(gè)數(shù)據(jù)特征 (1)眾數(shù)、中位數(shù)； (2)樣本平均數(shù)； (3)樣本方差； (4)樣本標(biāo)準(zhǔn)差． 4．線性回歸方程 線性回歸方程為y＝bx＋a，一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)(，)． 5．循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩種基本類型 (1)當(dāng)型循環(huán)：當(dāng)給定的條件成立時(shí)，反復(fù)執(zhí)行循環(huán)體，直至條件不成立為止； (2)直到型循環(huán)：先第一次執(zhí)行循環(huán)體，再判斷給定的條件是否成立，若成立，跳出循環(huán)體；否則，執(zhí)行循環(huán)

7、體，直至條件第一次不成立為止． 循環(huán)結(jié)構(gòu)一般用于一些有規(guī)律的重復(fù)計(jì)算的算法中，如累加求和、累乘求積等問(wèn)題常常用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)解決． 6．合情推理 (1)歸納推理；(2)類比推理． 7．演繹推理 直接證明：綜合法，分析法，反證法，數(shù)學(xué)歸納法． 8．復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算． 9．復(fù)數(shù)重要性質(zhì) i1＝i，i2＝－1, i3＝－i，i4＝1. i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. [第2步▕ 高頻考點(diǎn)細(xì)突破] 古典概型與幾何概型 【例1】　(1)(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學(xué)習(xí)測(cè)試) 現(xiàn)有4名學(xué)生A，B，C，D平均分

8、乘兩輛車，則“A，B兩人恰好乘坐在同一輛車”的概率為_(kāi)_______． (2)(2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)已知Ω1是集合{(x，y)|x2＋y2≤1}所表示的區(qū)域，Ω2是集合{(x，y)|y≤|x|}所表示的區(qū)域，向區(qū)域Ω1內(nèi)隨機(jī)的投一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域Ω2內(nèi)的概率為_(kāi)_______． [解析]　(1)4名學(xué)生A，B，C，D平均分乘兩輛車共有六種坐法：(AB，CD)，(AC，BD)，(AD，BC)，(BC，AD)，(BD，AC)，(CD，AB)，其中“A，B兩人恰好乘坐在同一輛車”包含兩種坐法，因此所求概率為＝. (2) 不等式x2＋y2≤1表示的平面區(qū)域?yàn)棣?，

9、面積為π； Ω2是集合{(x，y)|y≤|x|}所表示的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的面積為π， ∴所求概率為. [答案]　(1)　(2) [規(guī)律方法]　(1)解決古典概型問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清楚基本事件的總數(shù)n以及某個(gè)事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m，然后由公式P(A)＝來(lái)求概率； (2)幾何概型解決的關(guān)鍵在于把所有基本事件轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域； (3)對(duì)于較復(fù)雜的互斥事件可先分解為基本事件，然后用互斥事件的概率加法公式求解． [舉一反三] (江蘇省南京市2017屆高考三模)甲盒子中有編號(hào)分別為1,2的兩個(gè)乒乓球，乙盒子中有編號(hào)分別為3,4,5,6的四個(gè)乒乓球．現(xiàn)分別從兩個(gè)盒子中隨機(jī)地各取出1

10、個(gè)乒乓球，則取出的乒乓球的編號(hào)之和大于6的概率為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394054】 　[分別從每個(gè)盒子中隨機(jī)地取出1個(gè)乒乓球，可能出現(xiàn)以下情況：(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、共8種情況， 其中編號(hào)之和大于6的有：1＋6＝7,2＋5＝7,2＋6＝8，共3種情況， ∴取出的乒乓球的編號(hào)之和大于6的概率為.] 抽樣方法 【例2】　(江蘇省揚(yáng)州市2017屆高三上學(xué)期期末)某學(xué)校共有師生3 200人，先用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為160的樣本．已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為150，那么該學(xué)校的教師

11、人數(shù)是________． [解析]　∵學(xué)校共有師生3 200人，從所有師生中抽取一個(gè)容量為160的樣本， ∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是＝， ∴＝， ∴學(xué)校的教師人數(shù)為10×20＝200. [答案]　200 [規(guī)律方法]　 類別 共同點(diǎn) 各自特點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍 簡(jiǎn)單 隨機(jī) 抽樣 抽樣過(guò) 程中每 個(gè)個(gè)體 被抽取 的機(jī)會(huì) 均等 從總體中 逐個(gè)抽取 總體中的個(gè)體數(shù)較少 系統(tǒng) 抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各 部分抽取 在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 總體中的個(gè)體數(shù)較多 分層 抽樣 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取 各層

12、抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 (1)當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多，并且沒(méi)有明顯的層次差異時(shí)，可用系統(tǒng)抽樣的方法，把總體分成均衡的幾部分，按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到需要的樣本． (2)在利用系統(tǒng)抽樣時(shí)，經(jīng)常遇到總體容量不能被樣本容量整除的情況，這時(shí)可以先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體，使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除． [舉一反三] (無(wú)錫市普通高中2017屆高三上學(xué)期期中基礎(chǔ)性檢測(cè))某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品共計(jì)1 200件，已知甲、乙、丙、丁4類產(chǎn)品的數(shù)量之比為1∶2∶4∶5，現(xiàn)要用分層抽樣的方法從中抽取60件，則乙類產(chǎn)品抽取的

13、件數(shù)為_(kāi)_______． 10　[由題設(shè)乙類產(chǎn)品抽取的件數(shù)為×60＝10.] 用樣本估計(jì)總體 【例3】　(2017屆高三七校聯(lián)考期中考試)某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到頻率分布直方圖(如下圖8－3所示)，則分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的人數(shù)是________． 圖8－3 [解析]　由頻率分布直方圖知小長(zhǎng)方形面積為對(duì)應(yīng)區(qū)間概率，所有小長(zhǎng)方形面積和為1，因此分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的概率為1－(0.025＋0.015×2＋0.010＋0.005)×10＝0.3，人數(shù)為0.3

14、×100＝30. [答案]　30 [規(guī)律方法]　(1)利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征 ①中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值． ②平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和． ③眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)． (2)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定． [舉一反三] (江蘇省南京市2017屆高考三模)如

15、圖8－4是甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則在這五場(chǎng)比賽中得分較為穩(wěn)定(方差較小)的那名運(yùn)動(dòng)員的得分的方差為_(kāi)_______． 圖8－4 　[根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算甲的平均數(shù)為1＝×(7＋7＋9＋14＋18)＝11， 乙的平均數(shù)為2＝×(8＋9＋10＋13＋15)＝11； 根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知乙的成績(jī)波動(dòng)性小，較為穩(wěn)定(方差較小)， 計(jì)算乙成績(jī)的方差為： s2＝×[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝.] 程序框圖的執(zhí)行 【例4】　(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)如圖8－5是一個(gè)算法的流程圖，

16、則輸出的n的值為_(kāi)_______． 圖8－5 [解析]　當(dāng)n＝1，a＝1時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)后，a＝5，n＝3； 滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)后，a＝17，n＝5； 不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，退出循環(huán)， 故輸出n值為5. [答案]　5 [規(guī)律方法]　此類問(wèn)題的一般解法是嚴(yán)格按照程序框圖設(shè)計(jì)的計(jì)算步驟逐步計(jì)算，逐次判斷是否滿足判斷框內(nèi)的條件，決定循環(huán)是否結(jié)束．要注意初始值的變化，分清計(jì)數(shù)變量與累加(乘)變量，掌握循環(huán)體等關(guān)鍵環(huán)節(jié)． 識(shí)別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路： (1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)． (2)要識(shí)別、運(yùn)行程序框圖，理解框圖所

17、解決的實(shí)際問(wèn)題． (3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證． [舉一反三] (江蘇省南京市、鹽城市2017屆高三第一次模擬)如圖8－6是一個(gè)算法流程圖，則輸出的x的值是________． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394055】 圖8－6 9　[第一次循環(huán)：x＝5，y＝7，第二次循環(huán)：x＝9，y＝5， 結(jié)束循環(huán)，輸出x＝9.] 偽代碼的執(zhí)行 【例5】　(2017·江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)二模)根據(jù)如下所示的偽代碼，輸出S的值為_(kāi)_______． [解析]　模擬執(zhí)行程序，可得 S＝1，I＝1， 滿足條件I≤8，S＝2，I＝3； 滿足條件I≤8，S＝5，I＝5； 滿足條件I≤8，

18、S＝10，I＝7； 滿足條件I≤8，S＝17，I＝9； 不滿足條件I≤8，退出循環(huán)，輸出S的值為17. [答案]　17 [規(guī)律方法]　讀懂偽代碼的關(guān)鍵是正確理解五種語(yǔ)句的功能及執(zhí)行過(guò)程，特別是循環(huán)結(jié)構(gòu)中的條件．注意“While”語(yǔ)句與“For”語(yǔ)句的區(qū)別． [舉一反三] (江蘇省南京市2017屆高考三模)執(zhí)行如下所示的偽代碼，若輸出的y值為1，則輸入x的值為_(kāi)_______． －1　[由程序語(yǔ)句知：算法的功能是求 f (x)＝的值， 當(dāng)x≥0時(shí)，y＝2x＋1＝1，解得x＝－1，不合題意，舍去； 當(dāng)x＜0時(shí)，y＝2－x2＝1，解得x＝±1，應(yīng)取x＝－1； 綜上，x的值為

19、－1.] 歸納推理 【例6】　用火柴棒擺“金魚(yú)”，如圖8－7所示： 圖8－7 按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)是________． [解析]　由題意得：“金魚(yú)”圖需要火柴棒的根數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)為8，公差為6，因此第n項(xiàng)為6n＋2. [答案]　6n＋2 [規(guī)律方法]　歸納推理具有由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)知功能，所得的結(jié)論未必是正確的，但是對(duì)于數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)、科學(xué)家的發(fā)明，歸納推理卻是十分有用的，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)對(duì)有限的資料作出歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想. 歸納推理也是數(shù)學(xué)研究的獨(dú)特方法之一． [舉一反三] 一個(gè)非空集合中的各個(gè)元素之和是

20、3的倍數(shù)，則稱該集合為“好集”． 記集合 {1,2,3，…，3n}的子集中所有“好集”的個(gè)數(shù)為f (n)． (1)求f (1)，f (2)的值； (2)求f (n)的表達(dá)式． [解]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，集合{1,2,3}的子集中“好集”有{3}，{1,2}，{1,2,3}，共3個(gè)，∴易得f (1)＝3； 當(dāng)n＝2時(shí)，集合{1,2,3,4,5,6}的子集中是“好集”的有： 單元集：{3}，{6}共2個(gè)，雙元集：{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5個(gè)，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4

21、,3,5}，{4,5,6}共8個(gè)，四元集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4,5}共5個(gè)，五元集有{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2個(gè)，還有一個(gè)全集．故f (2)＝1＋(2＋5)×2＋8＝23. (2)首先考慮f (n＋1)與f (n)的關(guān)系． 集合{1,2,3，…，3n,3n＋1,3n＋2,3n＋3}在集合{1,2,3，…，3n}中加入3個(gè)元素3n＋1,3n＋2,3n＋3.故f (n＋1)的組成有以下幾部分：①原有的f (n)個(gè)集合；②含有元素3n＋1的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合

22、，含有元素是3n＋2的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，合計(jì)是23n； ③含有元素是3n＋1與3n＋2的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n＋2與3n＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n＋1與3n＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，合計(jì)是23n；④含有元素是3n＋1,3n＋2,3n＋3的“好集”是{1,2,3，…，3n}中“好集”與它的并集，再加上{3n＋1

23、,3n＋2,3n＋3}． 所以，f (n＋1)＝2 f (n)＋2×23n＋1. 兩邊同除以2n＋1，得－＝4n＋， 所以＝4n－1＋4n－2＋…＋4＋＋＋…＋＋＝＋1－， 即f (n)＝＋2n－1. 類比推理 【例7】　在平面幾何里，有勾股定理“設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出正確的結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A－BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ABD兩兩相互垂直，則______________________________． [解析]　根據(jù)平面幾何與空間幾何中相應(yīng)量

24、的類比特點(diǎn)，將三棱錐A－BCD的三個(gè)兩兩相互垂直的側(cè)面ABC、ACD、ABD類比為平面幾何中直角△ABC的直角邊AB、AC，將三棱錐A－BCD的底面BCD類比為直角△ABC的斜邊BC，在勾股定理中，用相應(yīng)的三棱錐的面積替換直角三角形的邊長(zhǎng)得S＋S＋S＝S. [答案]　S＋S＋S＝S [規(guī)律方法]　類比推理主要是找出兩類事物的共性，一般的類比有以下幾種：①線段的長(zhǎng)度——平面幾何中平面圖形的面積——立體幾何中立體圖形的體積的類比；②等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，等差數(shù)列中兩數(shù)相加類比到等比數(shù)列中兩數(shù)相乘，等差數(shù)列中兩數(shù)的差類比到等比數(shù)列中兩數(shù)相除．在類比的時(shí)候還需注意，有些時(shí)候不能將式子的結(jié)構(gòu)改變

25、，只需將相應(yīng)的量進(jìn)行替換． [舉一反三] 對(duì)于命題：如果O是線段AB上一點(diǎn)，則·＋·＝0；將它類比到平面的情形是：若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0；將它類比到空間的情形應(yīng)該是：若O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則有________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394056】 VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0　[根據(jù)線性幾何中的長(zhǎng)度、平面幾何中平面圖形的面積以及立體幾何中相應(yīng)幾何體體積的類比特點(diǎn)以及題中等式的特點(diǎn)，得到在立體幾何中：若O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則有VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0.]

26、 間接證明 【例8】　設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和． (1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列； (2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？ [證明]　(1)假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列， 則S＝S1S3； 即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)， 因?yàn)閍1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即q＝0，這與公比q≠0矛盾， 所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列． (2)當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，故{Sn}是等差數(shù)列； 當(dāng)q≠1時(shí)，{Sn}不是等差數(shù)列，否則2S2＝S1＋S3， 即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)， 得q＝0，這與公

27、比q≠0矛盾． 綜上，當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列；當(dāng)q≠1時(shí)，{Sn}不是等差數(shù)列． [規(guī)律方法]　用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)矛盾等，且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的． 用反證法證明數(shù)學(xué)命題的答題模板： 第一步：分清命題“p→q”的條件和結(jié)論； 第二步：作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定﹁q； 第三步：由p和﹁q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果； 第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原

28、因，在于所作的假設(shè)﹁q不真，于是原結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題． [舉一反三] 直線y＝kx＋m(m≠0)與橢圓W：＋y2＝1相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求AC的長(zhǎng)； (2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不可能為菱形． [解]　(1)因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形， 所以AC與OB相互垂直平分． 所以可設(shè)A，代入橢圓方程得＋＝1， 即t＝±. 所以|AC|＝2. (2)證明：假設(shè)四邊形OABC為菱形． 因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且AC⊥OB，所以k≠0. 設(shè)AC的方程為y＝kx＋m，k≠0，m

29、≠0. 由消y并整理得 (1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則 ＝－， ＝k·＋m＝. 所以AC的中點(diǎn)為M. 因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，且m≠0，k≠0， 所以直線OB的斜率為－. 因?yàn)閗·≠－1，所以AC與OB不垂直， 所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾． 所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能為菱形. 復(fù)數(shù) 【例9】　(江蘇省南京市2017屆高考三模)若復(fù)數(shù)z滿足z＋2＝3＋2i，其中i為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為_(kāi)_______． [解析]　設(shè)z＝a＋bi，則＝a－bi，

30、由z＋2＝3＋2i，得3a－bi＝3＋2i，∴a＝1，b＝－2， ∴|z|＝＝. [答案]　 [規(guī)律方法]　處理有關(guān)復(fù)數(shù)的基本概念問(wèn)題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，從定義出發(fā)，把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)處理． (1)復(fù)數(shù)相等是一個(gè)重要概念，它是復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化的重要工具，通過(guò)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，借助兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，可以列出方程(組)來(lái)求未知數(shù)的值． (2)復(fù)數(shù)問(wèn)題要把握一點(diǎn)，即復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題最基本的思想方法． 對(duì)于復(fù)數(shù)概念、幾何意義等相關(guān)問(wèn)題的求解，其核心就是要將復(fù)數(shù)化為一般形式，即z＝a＋bi(a，b∈R)，實(shí)部為a，虛部為b.(1)復(fù)數(shù)的概念：①z為實(shí)數(shù)?b＝0；②z

31、為純虛數(shù)?a＝0且b≠0；③z為虛數(shù)?b≠0.(2)復(fù)數(shù)的幾何意義：①z＝a＋bi?z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a，b)?z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)向量＝(a，b)；②復(fù)數(shù)z的模|z|＝|a＋bi|＝.(3)共軛復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)z＝a＋bi與＝a－bi互為共軛復(fù)數(shù)． [舉一反三] (2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1＝3＋yi(y∈R)，z2＝2－i，且＝1＋i，則y＝________. 1　[∵復(fù)數(shù)z1＝3＋yi(y∈R)，z2＝2－i，且＝1＋i， ∴＝1＋i，化為：3＋yi＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴y＝1.] [第3步▕ 高考易錯(cuò)明辨析] 1．忽

32、視判別式Δ適用的前提 求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使方程x2＋(m＋4i)x＋(1＋2mi)＝0至少有一個(gè)實(shí)根． [錯(cuò)解]　由于方程x2＋(m＋4i)x＋(1＋2mi)＝0至少有一根，則Δ＝(m＋4i)2－4(1＋2mi)＝m2－20≥0，解得m≤－2或m≥2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是∪. [錯(cuò)解分析]　忽略了Δ≥0判斷一元二次方程使用的情形，利用Δ的符號(hào)來(lái)判斷一元二次方程是否存在實(shí)根的前提是實(shí)系數(shù)一元二次方程． [正解]　設(shè)x2＋(m＋4i)x＋(1＋2mi)＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根為a(a∈R)，則a2＋(m＋4i)a＋(1＋2mi)＝0，即(a2＋am＋1)＋(4a＋2m)i＝0， 根據(jù)復(fù)數(shù)相等得

33、， 解得 或故m＝±2. 2．忽視對(duì)循環(huán)結(jié)構(gòu)的合理分析 如果執(zhí)行如圖8－8所示的程序框圖，那么輸出的S＝________. 圖8－8 [錯(cuò)解]　S＝1＋2＋3＋…＋100＝5 050. [錯(cuò)解分析]　缺乏對(duì)循環(huán)結(jié)構(gòu)的合理分析，沒(méi)有注意到循環(huán)結(jié)構(gòu)中變量S的計(jì)算公式S＝S＋2k，沒(méi)有注意到每次加上的2k為偶數(shù)，從而對(duì)算法程序框圖的理解錯(cuò)誤，導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤． [正解]　由程序框圖可知，算法表示的是計(jì)算100以內(nèi)所有正偶數(shù)的和，即S＝2＋4＋6＋…＋100＝2 550. ———————專家預(yù)測(cè)·鞏固提升——————— (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第38頁(yè)) 1．(改編題)高三年級(jí)有男生480人，

34、女生360人，若用分層抽樣的方法從高三年級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為21的樣本，則抽取男生的人數(shù)為_(kāi)_______． 12　[設(shè)抽取男運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為n，則＝，解之得n＝12.] 2．(原創(chuàng)題)已知函數(shù)f (x)＝cos，a為拋擲一顆骰子所得的點(diǎn)數(shù)，則函數(shù)f (x)在[0,4]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于或等于5的概率為_(kāi)_______． 　[由已知函數(shù)f (x)在[0,4]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于或等于5等價(jià)于函數(shù)f (x)的周期小于或等于2，即≤2，∴a≥3，∴a＝3,4,5,6，而所有的a值共6個(gè)，故所求的概率為P＝.] 3．(原創(chuàng)題) 以下莖葉圖8－9記錄了甲、乙兩組各六名同學(xué)在某次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)(百分制

35、)．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊，無(wú)法確認(rèn)，但是知道甲組的中位數(shù)小于乙組的中位數(shù)，若圖中的模糊數(shù)字用a表示，則a的值為_(kāi)_______． 圖8－9 8或9　[由已知可得＜，a＝8或a＝9.] 4．(原創(chuàng)題)在復(fù)數(shù)集C上定義運(yùn)算“”：當(dāng)|z1|≥|z2|時(shí)，z1z2＝；當(dāng)|z1|<|z2|時(shí)，z1z2＝z1z2，若z1＝1＋3i，z2＝1＋i，z3＝3－i，則復(fù)數(shù)(z1z2)z3在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第________象限. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394057】 一　[∵z1＝1＋3i，z2＝1＋i，則|z1|＝，|z2|＝，所以z1z2＝＝＝＝＝2＋i，且|z1z2|＝，|z3|＝|3－i|＝，因此(z1z2)z3＝(2＋i)·(3－i)＝7＋i，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(7,1)，故復(fù)數(shù)(z1z2)z3在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．] 5．(原創(chuàng)題)執(zhí)行如圖8－10所示的算法程序框圖，若輸出的y值滿足y≤，則輸入的x值的取值范圍是________． 圖8－10 (－∞，－1]∪(0，]　[由算法框圖可知對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y＝當(dāng)x≤0時(shí)，y＝2x，令y≤，即2x≤，解得x≤－1，當(dāng)x＞0時(shí)，y＝log2x，令y≤，即log2x≤，解得0＜x≤.綜上所述，輸入的x值的取值范圍是(－∞，－1]∪(0，]．] 16