2022年高中數學選修2-1教案：2-2 空間向量及運算

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1、2022年高中數學選修2-1教案：2-2 空間向量及運算 1．了解空間向量的有關概念，會用圖形說明空間向量加法、減法、數乘向量及它們的運算律．(重點) 2．理解直線的方向向量和平面的法向量．會利用兩個空間向量共線的充要條件解決有關問題(難點) 3．會求簡單空間向量的夾角，能夠利用空間向量的數量積的定義求兩個向量的數量積(易混點) 知識點一 空間向量的概念 定義 在空間中，既有大小又有方向的量，叫作空間向量 表示方法 ①用有向線段表示，A叫作向量的起點，B叫作向量的終點 自由向量 數學中所討論的向量與向量的起點無關，稱之為自由向量 長度或模 與平面向量一樣，空間

2、向量或a的大小也叫作向量的長度或模，用||或|a|表示 夾角 定義 如圖，兩非零向量a，b，過空間中任意一點O，作向量a，b的相等向量和，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉 范圍 規(guī)定0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 當〈a，b〉＝時，向量a與b垂直，記作a⊥b 向量平行 當〈a，b〉＝0或π時，向量a與b平行，記作a∥b 知識點二 空間向量的運算 運算 定義(或法則) 運算律 空間向量的加減法 加法 設a和b是空間兩個向量，過一點O作a和b的相等向量和，根據平面向量加法的平行四邊形法則，平行四邊形的對角線OC對應的向量就是a與b的和，記作a

3、＋b，如圖所示 ①結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； ②交換律：a＋b＝b＋a 減法 與平面向量類似，a與b的差定義為a＋(－b)，記作a－b，其中－b是b的相反向量 空間向量 的數乘 空間向量a與一個實數λ的乘積是一個向量，記作λa，滿足： ①|λa|＝|λ||a| ②當λ＞0時，λa與a方向相同； 當λ＜0時，λa與a方向相反； 當λ＝0時，λa＝0 ①λa＝aλ(λ∈R) ②λ(a＋b)＝λa＋λb (λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R) ③(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)． 空間向量 的數量積 空間兩個向量a和b的數量積是一

4、個數，等于|a||b|cos〈a，b〉，記作a·b ①交換律：a·b＝b·a ②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c ③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R) 與數量積 有關的 結論 ①|a|＝ ②a⊥b?a·b＝0 ③cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) 考點一 空間向量的有關概念 例1(1)在如圖2-1-1所示的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，與向量相等的向量有________個(不含)． (2)下列說法中，正確的是(　　) A．兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同 B．若非零向量和是共線向量，則A，B，C，D四點共線 C．若a∥b，b∥

5、c，則a∥c D．零向量與任意向量平行 (3)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點為起止點的向量中，與向量平行的向量為________，與相反的向量為________． 【名師指津】 1．在空間中，向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相對應的概念完全一樣． 2．注意區(qū)別向量、向量的模、線段、線段的長度等概念． 考點二直線的方向向量與平面的法向量 例2　如圖 ，正方體ABCD-A1B1C1D1中， (1)以頂點為向量端點的所有向量中，直線AB的方向向量有哪些？ (2)在所有棱所在的向量中，寫出平面ABCD的所有法向量． 【名師指津】 1．直線的方向向

6、量就是與直線平行的非零向量對模沒有限制，注意起點和終點都在直線上的向量也是符合題意的． 2．找平面的法向量要注意幾何體中的垂直關系，特別是成面面垂直關系． 練習1．根據本例的條件，寫出平面BCC1B1的所有法向量． 考點三 空間的線性運算 例3(1)(xx·合肥高二檢測)已知空間四邊形ABCD中，＝a，＝b，＝c，則等于(　　) A．a＋b－c　　 B．－a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c (2)化簡(－)－(－)＝________. (3)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運算的結果為的共有(　

7、　) ①(＋)＋；②( ＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋. A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【名師指津】 1．在運算時，要注意運算律的應用，在例題中，利用向量加法的結合律以及數乘向量的分配律簡化了計算． 2．對向量式的化簡，要結合圖形，充分利用圖形的性質． 考點四 空間向量的共線定理的應用 例4如圖2-2-3四邊形ABCD，四邊形ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，判斷與是否共線？ 【名師指津】 1．判定向量a與b共線就是要找到實數λ，使得a＝λb成立．要充分運用

8、空間向量的運算法則，同時結合空間圖形，化簡得a＝λb，從而判定a與b共線． 2．向量共線定理是證明三點共線，線線平行問題的重要依據，有關空間和平面幾何中的線線平行問題均可轉化為向量的共線問題． 練習1．如圖2-2-4，已知空間四邊形ABCD，E、H分別是邊AB、AD的中點，F、G分別是邊CB、CD上的點，且＝，＝.求證：四邊形EFGH是梯形 思考 問題1　空間向量與平面向量有什么關系？ 問題2　直線的方向向量與平面的法向量只有一個嗎？ 問題3　如何求兩個空間向量的夾角？向量角與平面角有什么區(qū)別？ 問題1　如何正確地理解空間向量的數量積？ 問題2　在應用空間向量數量積的運算律

9、時要注意什么？ 問題3　如何靈活地應用空間向量的數量積公式？ 例3在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB，BC的中點，求： (1)〈，〉，〈，〉；(2)〈，〉，〈，〉． 【名師指津】 1．求空間向量夾角的關鍵是平移向量，使它們的起點相同．在平移的過程中，要充分利用已知圖形的特點，尋找線線平行，找出所求的角，這一過程可簡單總結為：(1)通過平移找角，(2)在三角形中求角． 2．在利用平面角求向量角時，要注意兩種角的取值范圍，線線角的范圍是，而向量夾角的范圍是[0，π]，比如〈a，b〉與〈－a，b〉兩個角互補，而它們對應的線線角卻是相等的． 練習2．在正四面體AB

10、CD中，(1)向量與的夾角為________；(2)向量與的夾角為________． 課堂練習 1．下列有關空間向量的說法中，正確的是(　　) A．如果兩個向量的模相等，那么這兩個向量相等 B．如果兩個向量方向相同，那么這兩個向量相等 C．如果兩個向量平行且它們的模相等，那么這兩個向量相等 D．同向且等長的有向線段表示同一向量 2．已知向量a0，b0是分別與a，b同方向的單位向量，那么下列式子正確的是(　　) A．a0＝b0　　　　　　 B．a0＝1 C．a0，b0共線 D．|a0|＝|b0| 3．下列說法中不正確的是(　　) A．平面α的一個法向量垂直于與平面α共面的所有向量 B．一個平面的所有法向量互相平行 C．如果兩個平面的法向量垂直，那么這兩個平面也垂直 D．如果a，b與平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一個法向量 4．設a，b，c滿足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，則|c|＝________. 5．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，＝，＝2.設＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示.