2022高中數學 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點、直線、面的位置關系6 線面垂直的判定和性質學案 蘇教版必修2

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1、2022高中數學 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點、直線、面的位置關系6 線面垂直的判定和性質學案 蘇教版必修2 一、考點突破 知識點 課標要求 題型 說明 線面垂直的判定和性質 1. 能正確判斷直線與平面垂直的位置關系； 2. 理解直線與平面垂直的判定定理和性質定理 填空題 解答題 線線垂直、線面垂直關系是立體幾何中的核心內容之一，注意線面垂直的性質和判定、定義之間的相互轉化 二、重難點提示 重點：直線與平面垂直的定義、線面垂直的判定及性質定理。 難點：操作確認并概括出直線與平面垂直的定義和判定及性質定理。 考點一：直線與平面垂直的概念 如果一

2、條直線a與一個平面α內的任意一條直線都垂直，則稱直線a與平面α互相垂直，符號表示：a⊥α，圖形表示如圖： 【要點詮釋】 1. 作直線與平面垂直時，要注意使直線與平行四邊形橫邊垂直，加強直觀性。 2. 定義中的“任意一條直線”和“所有直線”同義，不能改成“無窮多條直線”。因為任意一條直線，無論它是和平面平行，或是在平面內?；蚴桥c平面相交，總能與平面內無數多條直線垂直，但不一定和平面內所有直線都垂直。 3. 過一點有且只有一條直線與已知平面垂直。 考點二：直線與平面垂直的判定定理 1. 直線和平面垂直的判定定理 文字語言 圖形語言 符號語言 一條直線與一個平面內的兩條相

3、交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面 l⊥α 【要點詮釋】 ①直線和平面垂直的判定定理可簡述為：若線線垂直，則線面垂直。 ②定理中的關鍵詞語是“兩條相交直線”。 2. 推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直這個平面。 【規(guī)律總結】判定線面垂直的方法 （1）線面垂直的定義：a與α內任何直線都垂直a⊥α； （2）判定定理：l⊥α； （3）推論：a∥b，a⊥αb⊥α； 考點三：直線與平面垂直的性質定理 1. 直線和平面垂直的性質定理 文字語言 圖形語言 符號語言 如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行 ?a∥

4、b 2. 直線和平面垂直的性質 ①直線垂直于平面，則垂直于平面內任意直線； ②垂直于同一個平面的兩條直線平行。 【核心突破】 1. 線面垂直的定義具有雙重性，既可以由線面垂直得出線線垂直，又可以由線線垂直得出線面垂直。 2. 轉化思想：垂直關系的轉化 在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直定義、判定定理和性質定理的聯合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉化。 3. 線面垂直的性質定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關系的內在聯系，提供了“垂直”與“平行”關系相互轉化的依據。 例題1 （直線和平面垂直的定義） 下面敘述中： ①若直線垂直于平

5、面內的兩條直線，則這條直線與平面垂直；②若直線與平面內的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直；③若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線；④若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線，其中正確的有（　　） A. 1個　　　 B. 2個　　　 C. 3個　　　 D. 4個 思路分析：與線面垂直的定義及線面垂直的判定定理進行對照，區(qū)分異同，分析條件變換的影響，辨析正誤。 答案：①中若兩條直線為平行直線，則這條直線不一定與平面垂直，所以不正確；②由定義知正確；③中直線與梯形的兩腰所在直線垂直，則與梯形所在平面垂直，由定義知也與兩

6、底邊所在直線垂直，所以正確；④中直線與梯形兩底邊所在直線垂直，則不一定與梯形所在平面垂直，故不一定與兩腰所在直線垂直，不正確，故選B。 技巧點撥： 1. 直線和平面垂直的定義是描述性定義，對直線的任意性要注意理解。實際上，“任何一條”與“所有”表達相同的含義，當直線與平面垂直時，該直線就垂直于這個平面內的任何直線，由此可知，如果一條直線與一個平面內的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直。 2. 由定義可得線面垂直?線線垂直，即若a⊥α，bα，則a⊥b。 例題2 （直線與平面垂直的判定） 在平面α內有直角∠BCD，AB⊥平面α，求證CD⊥平面ABC。 思路分析：要

7、證CD⊥平面ABC，只要證CD⊥BC，且CD⊥AB便可。 答案： 技巧點撥： 1. 使用直線與平面垂直的判定定理的關鍵是在平面內找到兩條相交直線都與已知直線垂直，即把線面垂直轉化為線線垂直來解決。 2. 線面垂直的定義具有雙重作用：判定和性質，證題時常用它作為性質使用，即“如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于平面內的任意一條直線”。 例題3 （直線與平面垂直的性質） 已知平面，為異面直線的公垂線，。求證：∥。 思路分析：利用直線與平面垂直的定義和性質定理證明。 答案：如圖所示，設，過作∥，則， 又，同理 ，若與確定平面，則 ∥ 又 ∥

8、。 技巧點撥：直線與平面垂直的性質定理是平行關系和垂直關系的完美結合，利用垂直關系可判定平行，反過來，由平行關系，也可判定垂直關系，即兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面。 立體幾何中的翻折問題 【滿分訓練】（浙江）已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中（　　） A. 存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直 B. 存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直 C. 存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直 D. 對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”

9、均不垂直 思路分析：關鍵是找出圖形在翻折過程中變化的量與不變的量。 答案： 對于選項A，過點A作AE⊥BD，垂足為E，過點C作CF⊥BD，垂足為F， 在圖（1）中，由邊AB，BC不相等可知點E，F不重合， 在圖（2）中，連接CE，若直線AC與直線BD垂直， 又∵AC∩AE＝A，∴BD⊥面ACE， ∴BD⊥CE，與點E，F不重合相矛盾，故A錯誤； 對于選項B，若AB⊥CD， 又∵AB⊥AD，AD∩CD＝D， ∴AB⊥面ADC， ∴AB⊥AC，由ABAB， ∴不存在這樣的直角三角形，∴C錯誤。 由上可知D錯誤，故選B。 技巧點撥：對于翻折問題，關鍵是找到題目中哪些關系改變，哪些關系沒有改變。