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2022年高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第1章 分析法的應(yīng)用舉例
立體幾何的證明是很多同學(xué)感到頭疼的問題．我們做題時，若能根據(jù)題目的特點選用合理的證明方法，由常常能使問題較容易的得以解決．分析法是立幾證明過程中經(jīng)常用到的方法，即：首先從結(jié)論入手，用分析的方法，通過等價推理，尋求最終解題所需要的條件；然后再在分析的基礎(chǔ)上，用綜合法把證明過程條理清楚地表現(xiàn)出來．
下面我們用分析法來分析兩道立幾證明題．
例1 如圖1，在四面體中，
，，
求證：平面平面．
分析：要證面面垂直需通過線面垂直來實現(xiàn)，可是哪一條直線是我們所需要的與平面垂直的直線呢？
我們假設(shè)兩平面垂直已經(jīng)知道
2、，則根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理，在平面內(nèi)作，則平面，所以即為我們所要尋找的直線．
要證明平面，除了已知的之外，還需要在平面內(nèi)找一條直線與垂直，哪一條呢？
假設(shè)已知知道平面，則與平面內(nèi)的任意直線均垂直，即必有，但這兩個垂直的證明較難入手，還有其他的直線嗎？
連結(jié)呢？假設(shè)已經(jīng)知道平面，則必有．通過計算可得到，原題得證．
證明：設(shè)的中點為，連結(jié)，因為，所以；
設(shè)，因為，
所以，所以，即，
又已知，所以平面，
又平面，所以平面平面．
例2 如圖，在長方體中，
證明：平面平面．
分析：要證明兩平面平行，需在一平面內(nèi)尋找兩條相交直線與另一平面平行．
假設(shè)兩平面平行已知
3、，則一個平面內(nèi)的任意直線均與另一個平面平行，所以有均與平面平行，選擇任意兩條均可，不妨選擇．
要想證明與平面平行，需在平面內(nèi)尋找兩條直線分別與平行，假設(shè)與平面平行已知，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，過的平面與平面相交所得的交線與平行；過的平面與平面相交所得的交線與平行．即為所要尋找的直線．
從而易知分別與平行，原題得證．
證明：因為為長方體，所以有，即四邊形為平行四邊形，從而有，又已知平面平面，進(jìn)而有平面；同理有，從而有平面；又已知，所以有平面平面．
從上面的兩例可以看出，分析法的基本思路是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件．同學(xué)們可以在學(xué)習(xí)過程中，沿著這樣的解題思路，親自體驗一下分析法在立幾證明中的妙用．
2022年高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第1章 分析法的應(yīng)用舉例
