2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提能三 數(shù)列的創(chuàng)新考法與學(xué)科素養(yǎng)能力訓(xùn)練 理

2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提能三 數(shù)列的創(chuàng)新考法與學(xué)科素養(yǎng)能力訓(xùn)練 理 一、選擇題 1．在數(shù)列{an}中，n∈N*，若＝k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”，下列是對“等差比數(shù)列”的判斷： ①k不可能為0； ②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”； ③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”； ④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項為0. 其中所有正確判斷的序號是(　　) A．①③　　　 B．②④ C．①④ D．②③ 解析：由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以①正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以②錯誤；當(dāng){an}是等比數(shù)列，且公比q＝1時，{an}不是等差比數(shù)列，所以③錯誤；數(shù)列0,1,0,1，…是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個0，所以④正確． 答案：C 2．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種重量單位)這個問題中，甲所得為(　　) A.錢 B.錢 C.錢 D.錢 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，依題意有解得故選D. 答案：D 3．宋元時期杰出的數(shù)學(xué)家朱世杰在其數(shù)學(xué)巨著《四元玉鑒》中提出了一個“茭草形段”問題：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，問底子幾何？”他在這一問題中探討了“垛積術(shù)”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上一束，下一層3束，再下一層6束……)成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示從上往下第二層開始的每層茭草束數(shù)，則本問題中三角垛倒數(shù)第二層茭草總束數(shù)為(　　) A．91 B．105 C．120 D．210 解析：由題意得，從上往下第n層茭草束數(shù)為1＋2＋3＋…＋n＝. ∴1＋3＋6＋…＋＝680， 即＝n(n＋1) ·(n＋2)＝680， ∴n(n＋1)(n＋2)＝15×16×17，∴n＝15. 故倒數(shù)第二層為第14層，該層茭草總束數(shù)為＝105. 答案：B 4．(2018·成都聯(lián)考)等差數(shù)列{an}中的a3，a2 017是函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋4x－1的兩個不同的極值點，則a1 010的值為(　　) A．－2 B．－ C．2 D． 解析：由題易得f′(x)＝3x2－12x＋4，因為a3，a2 017是函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋4x－1的兩個不同的極值點，所以a3，a2 017是方程3x2－12x＋4＝0的兩個不等實數(shù)根，所以a3＋a2 017＝4.又數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以a3＋a2 017＝2a1 010，即a1 010＝2，從而a1 010＝2＝－，故選B. 答案：B 5．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn＋3)(n∈N*)在函數(shù)y＝3×2x的圖象上，等比數(shù)列{bn}滿足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n項和為Tn，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．Sn＝2Tn B．Tn＝2bn＋1 C．Tn＞an D．Tn＜bn＋1 答案：D 6．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，則第二天走了(　　) A．192里 B．96里 C．48里 D．24里 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比q＝，依題意有＝378，解得a1＝192，則a2＝192×＝96，即第二天走了96里，故選B. 答案：B 7．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為： 第一步：構(gòu)造數(shù)列1，，，，…，.① 第二步：將數(shù)列①的各項乘以n，得數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an. 則a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于(　　) A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1) 解析：a1a2＋a2a3＋…＋an－1an ＝·＋·＋…＋· ＝n2 ＝n2 ＝n2·＝n(n－1)． 答案：C 8．(2018·衡水中學(xué)期末改編)已知函數(shù)f(x)在R上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，當(dāng)x＞0時，f(x)＜2，對任意的x，y∈R，f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋2成立，若數(shù)列{an}滿足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝f()，n∈N*，則a2 018的值為(　　) A．2 B． C． D． 解析：令x＝y(tǒng)＝0得f(0)＝2，所以a1＝2. 設(shè)x1，x2是R上的任意兩個數(shù)，且x1＜x2，則x2－x1＞0， 因為當(dāng)x＞0時，f(x)＜2， 所以f(x2－x1)＜2， 即f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－2＜2＋f(x1)－2＝f(x1)， 所以f(x)在R上是減函數(shù)． 因為f(an＋1)＝f()， 所以an＋1＝，即＝＋1， 所以＋＝3(＋)， 所以{＋}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列， 所以＋＝3n－1，即an＝. 所以a2 018＝.故選C. 答案：C 二、填空題 9．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8，…，該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為斐波那契數(shù)列，則iai＋2－的值為________． 解析：由題意，得a1a3－a＝1×2－1＝1，a2a4－a＝1×3－4＝－1，a3a5－a＝2×5－9＝1，a4a6－a＝3×8－25＝－1，…，a8a10－a＝21×55－342＝－1，a9a11－a＝34×89－552＝1，所以iai＋2－＝(aiai＋2－a)＝1. 答案：1 10．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”．“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到2 016這2 016個數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的項數(shù)為________． 解析：能被3除余1且被5除余1的數(shù)就是能被15除余1的數(shù)，故an＝15n－14.由an＝15n－14≤2 016，解得n≤，又n∈N*，故此數(shù)列的項數(shù)為135. 答案：135 11．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(9,3)，令an＝(n∈N*)，記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2 018＝________. 解析：由冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(9,3)，可得9α＝3，解得α＝，所以f(x)＝x，則an＝＝＝－.所以S2 018＝a1＋a2＋…＋a2 018＝－1＋－＋…＋－＝－1. 答案：－1 12．定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個列叫作等差列，這個常數(shù)叫作等差列的公差．已知向量列{an}是以a1＝(1,3)為首項，公差為d＝(1,0)的等差向量列，若向量an與非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，則＝________. 解析：易知an＝(1,3)＋(n－1,0)＝(n,3)，因為向量an與非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，所以＝－，所以＝········＝××××××××＝－. 答案：－ 三、解答題 13．(2018·臨川模擬)若數(shù)列{bn}對于任意的n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(常數(shù))，則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如數(shù)列cn＝則數(shù)列{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝a，對于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n. (1)求證：{an}是準(zhǔn)等差數(shù)列； (2)求{an}的通項公式及前20項和S20. 解析：(1)證明：∵an＋an＋1＝2n(n∈N*)，① ∴an＋1＋an＋2＝2(n＋1)(n∈N*)，② ②－①，得an＋2－an＝2(n∈N*)． ∴{an}是公差為2的準(zhǔn)等差數(shù)列． (2)∵a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，∴a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a. 其奇數(shù)項與偶數(shù)項都為等差數(shù)列，公差為2， 當(dāng)n為偶數(shù)時，an＝2－a＋(－1)×2＝n－a； 當(dāng)n為奇數(shù)時，an＝a＋(－1)×2＝n＋a－1. ∴an＝ ∵an＋an＋1＝2n， ∴S20＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20) ＝2×(1＋3＋…＋19) ＝2× ＝200. 14．(2018·孝感七校聯(lián)盟)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，n∈N*，且a2＝3，S5＝25. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝，記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：Tn＜1. 解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a2＝3，S5＝25，所以解得 所以an＝2n－1. (2)證明：由(1)知，an＝2n－1，所以Sn＝＝n2. 所以bn＝＝＝－. 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝(1－)＋(－)＋…＋(－) ＝1－＜1. 15．已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝3an－1(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求證：og3a＞n2－n. 解析：(1)由題可知an＋1－＝3(an－)， 又a1＝，所以a1－＝1，所以數(shù)列{an－}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列． 所以an－＝3n－1，即an＝3n－1＋. (2)證明：由(1)知an＝3n－1＋，則log3a＝2 log3(3i－1＋)＞2 log33i－1＝2(i－1)， 所以og3a＞2×(0＋1＋2＋…＋n－1)＝2×＝n2－n.