2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 8.3 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系練習(xí) 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 8.3 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系練習(xí) 理 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 要求 高考示例 ?？碱}型 預(yù)測熱度 1.點(diǎn)、線、面 的位置關(guān)系 理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義,并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理. ·公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi). ·公理2:過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面. ·公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線. ·公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行. ·定理:空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分

2、別平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 理解 2016浙江,2; 2015廣東,8; 2014廣東,7; 2013課標(biāo)全國Ⅱ,4; 2013江西,8 選擇題 ★★☆ 2.異面直線 所成的角 掌握 2017課標(biāo)全國Ⅱ,10; 2017課標(biāo)全國Ⅲ,16; 2016課標(biāo)全國Ⅰ,11; 2015四川,14; 2015廣東,18 選擇題 填空題 ★★★ 分析解讀　1.會(huì)用平面的基本性質(zhì)證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)線共面問題;會(huì)用反證法證明有關(guān)異面或共面問題.2.會(huì)判定和證明兩條直線異面;會(huì)應(yīng)用三線平行公理和等角定理及推論解決有關(guān)問題,會(huì)求兩條異面直線所成的角;了解兩條異面直

3、線間的距離.3.高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查常以棱柱、棱錐為依托,求異面直線所成的角,分值約為5分,屬中檔題. 五年高考 考點(diǎn)一　點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 答案　C 2.(2015廣東,8,5分)若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等,則正整數(shù)n的取值(　　) A.至多等于3 B.至多等于4 C.等于5 D.大于5 答案　B 3.(2015福建,7,5分)若l,m是兩條不同的直線,m垂直

4、于平面α,則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　B 4.(2013江西,8,5分)如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方體的六個(gè)面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m,n,那么m+n=(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 答案　A 教師用書專用(5—8) 5.(2014廣東,7,5分)若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論一定正確的是(　　) A.l1⊥

5、l4 B.l1∥l4 C.l1與l4既不垂直也不平行 D.l1與l4的位置關(guān)系不確定 答案　D 6.(2013課標(biāo)全國Ⅱ,4,5分)已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則(　　) A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α與β相交,且交線垂直于l D.α與β相交,且交線平行于l 答案　D 7.(2013安徽,3,5分)在下列命題中,不是公理的是(　　) A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行 B.過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面 C.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)

6、D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 答案　A 8.(2013浙江,10,5分)在空間中,過點(diǎn)A作平面π的垂線,垂足為B,記B=fπ(A).設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,對(duì)空間任意一點(diǎn)P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,則(　　) A.平面α與平面β垂直 B.平面α與平面β所成的(銳)二面角為45° C.平面α與平面β平行 D.平面α與平面β所成的(銳)二面角為60° 答案　A 考點(diǎn)二　異面直線所成的角 1.(2017課標(biāo)全國Ⅱ,10,5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=

7、2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 2.(2016課標(biāo)全國Ⅰ,11,5分)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 3.(2017課標(biāo)全國Ⅲ,16,5分)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論: ①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成30°角; ②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)

8、,AB與b成60°角; ③直線AB與a所成角的最小值為45°; ④直線AB與a所成角的最大值為60°. 其中正確的是　　　　.(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào))? 答案　②③ 4.(2015四川,14,5分)如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ,則cos θ的最大值為　　　　.? 答案　 教師用書專用(5) 5.(2015廣東,18,14分)如圖,三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別在線

9、段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB. (1)證明:PE⊥FG; (2)求二面角P-AD-C的正切值; (3)求直線PA與直線FG所成角的余弦值. 解析　(1)證明:因?yàn)镻D=PC,點(diǎn)E為DC中點(diǎn), 所以PE⊥DC. 又因?yàn)槠矫鍼DC⊥平面ABCD,交線為DC, 所以PE⊥平面ABCD. 又FG?平面ABCD,所以PE⊥FG. (2)由(1)可知,PE⊥AD. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長方形,所以AD⊥DC. 又因?yàn)镻E∩DC=E, 所以AD⊥平面PDC. 而PD?平面PDC,所以AD⊥PD. 由二面角的平面角的定義,可知∠PDC為二面角P-AD-C的一個(gè)平

10、面角. 在Rt△PDE中,PE==, 所以tan∠PDC==. 從而二面角P-AD-C的正切值為. (3)連接AC.因?yàn)?=, 所以FG∥AC. 易求得AC=3,PA==5. 所以直線PA與直線FG所成角等于直線PA與直線AC所成角,即∠PAC, 在△PAC中,cos∠PAC==. 所以直線PA與直線FG所成角的余弦值為. 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一　點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 1.(2018四川瀘州模擬,6)設(shè)a,b是空間中不同的直線,α,β是不同的平面,則下列說法正確的是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.a∥b

11、,b?α,則a∥α B.a?α,b?β,α∥β,則a∥b C.a?α,b?α,a∥β,b∥β,則α∥β D.α∥β,a?α,則a∥β 答案　D 2.(2018四川瀘州模擬,4)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直線與直線BA1是異面直線的條數(shù)為(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　C 3.(2017河北邢臺(tái)二模,5)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面.給出下列四個(gè)命題: 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ①若m∥n,m⊥β,則n⊥β; ②若m∥n,m∥β,則n∥β; ③若m∥α,m∥β,則α∥β; ④若n⊥α,n⊥β,則α⊥β.

12、 其中真命題的個(gè)數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 4.(2017河北邯鄲調(diào)研,5)如圖,在三棱錐S-ABC中,G1,G2分別是△SAB和△SAC的重心,則直線G1G2與BC的位置關(guān)系是(　　) A.相交 B.平行 C.異面 D.以上都有可能 答案　B 考點(diǎn)二　異面直線所成的角 5.(2018廣東東莞模擬,6)在正四棱錐P-ABCD中,PA=2,直線PA與平面ABCD所成角為60°,E為PC的中點(diǎn),則異面直線PA與BE所成角為(　　) A.90° B.60° C.45° D.30° 答案　C 6.(2017廣東汕頭模擬,8)已知四棱錐P-ABC

13、D的側(cè)棱長與底面邊長都相等,點(diǎn)E是PB的中點(diǎn),則異面直線AE與PD所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 7.(2016黑龍江哈爾濱四模,7)如圖,四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等邊三角形,則異面直線CD與PB所成角的大小為(　　) A.90° B.75° C.60° D.45° 答案　A B組　2016—2018年模擬·提升題組 (滿分:30分　時(shí)間:30分鐘) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2017廣東惠州三調(diào),11)如圖是一個(gè)幾何體的平面展開圖,其中四邊形ABCD為正方形,E,F

14、分別為PA,PD的中點(diǎn),在此幾何體中,給出下面4個(gè)結(jié)論: 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ①直線BE與直線CF異面; ②直線BE與直線AF異面; ③直線EF∥平面PBC; ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正確的有(　　) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 答案　B 2.(2016湖南長沙模擬,8)如圖,三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點(diǎn)M,N分別是AD,BC的中點(diǎn),則異面直線AN,CM所成的角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 二、填空題(共5分) 3.(2018安徽皖南八校聯(lián)考,15)已

15、知正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為1,點(diǎn)M在線段BC上(點(diǎn)M異于點(diǎn)B,C),點(diǎn)N為線段CC1的中點(diǎn),若平面AMN截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面為四邊形,則線段BM長的取值范圍為　　　　.? 答案　 三、解答題(共15分) 4.(2018上海普陀一模,18)如圖所示的圓錐的體積為π,底面直徑AB=2,點(diǎn)C是的中點(diǎn),點(diǎn)D是母線PA的中點(diǎn). (1)求該圓錐的側(cè)面積; (2)求異面直線PB與CD所成角的大小. 解析　(1)∵圓錐的體積為π,底面直徑AB=2, ∴π×12×PO=π,解得PO=, ∴PA==2, ∴該圓錐的側(cè)面積S=πrl=π×1×2=2π.

16、 (2)連接OC.∵圓錐中, 點(diǎn)C是的中點(diǎn),O為底面圓心, ∴PO⊥平面ABC,OC⊥AB, ∴以O(shè)為原點(diǎn),OC所在直線為x軸,OB所在直線為y軸,OP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則A(0,-1,0),P(0,0,),D,B(0,1,0),C(1,0,0),=(0,1,-),=, 設(shè)異面直線PB與CD所成角為θ, 則cos θ===,∴θ=. ∴異面直線PB與CD所成角為. C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法1　點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷方法 1.(2018湖南衡陽模擬,6)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為棱A

17、A1,B1C1,C1D1,DD1的中點(diǎn),則下列直線中與直線EF相交的是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.直線CC1 B.直線C1D1 C.直線HC1 D.直線GH 答案　C 2.(2016四川瀘州模擬,4)若m、n為兩條不同的直線,α、β為兩個(gè)不同的平面,且m⊥α,n⊥β,則下列命題中的假命題是(　　) A.若m∥n,則α∥β B.若α⊥β,則m⊥n C.若α、β相交,則m、n相交 D.若m、n相交,則α、β相交 答案　C 3.(2017湖北武昌調(diào)研,16)若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,則　　　　(寫出所有

18、正確結(jié)論的編號(hào)).? ①四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直; ②四面體ABCD每個(gè)面的面積相等; ③從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°; ④連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分; ⑤從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長可作為一個(gè)三角形的三邊長. 答案?、冖堍? 方法2　異面直線所成角的求法 4.(2018四川瀘州模擬,7)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),F為B1C1的中點(diǎn),則異面直線AF與C1E所成角的正切值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 5.(2017河北唐山3月模擬,10)已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn),M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),若MN=BC=4,PA=4,則異面直線PA與MN所成角的大小是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　A 6.(2017廣東惠州調(diào)研,14)在正四棱錐P-ABCD中,PA=2,直線PA與平面ABCD所成的角為60°,E為PC的中點(diǎn),則異面直線PA與BE所成角的大小為　　　　.? 答案　45°