2022高考數(shù)學(xué) 選擇題 專題01 坐標(biāo)系 理

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1、2022高考數(shù)學(xué) 選擇題 專題01 坐標(biāo)系 理 知識通關(guān) 1．平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 設(shè)點是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換的作用下，點對應(yīng)到點，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換. 2．極坐標(biāo)系的概念 （1）極坐標(biāo)系：在平面上取一個定點O叫做極點；自點O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個長度單位、角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系(如圖)． （2）極坐標(biāo)：設(shè)M是平面上的任一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的∠xOM叫做點M的極角，記為θ.有序數(shù)對(ρ，

2、θ)稱為點M的極坐標(biāo)，記作M(ρ，θ)． 3．直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(ρ，θ)，則或 4．圓的極坐標(biāo)方程 圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程： (1)如圖，圓心在極點，半徑為r：ρ＝r； (2)如圖，圓心為M(r,0)，半徑為r：ρ＝2rcosθ； (3)如圖，圓心為，半徑為r：ρ＝2rsinθ. 5．直線的極坐標(biāo)方程

3、 若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程： (1)如圖，直線過極點，且極軸到此直線的角為α：θ＝α和θ＝π+α(ρ∈R)； (2)如圖，直線過點M(a,0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； (3)如圖，直線過且平行于極軸：ρsin θ＝b. 基礎(chǔ)通關(guān) 1．理解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況. 2．了解極坐標(biāo)的基本概念，會在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化. 3．能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形表示的極坐

4、標(biāo)方程． 題組一 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 解答該類問題應(yīng)明確兩點：一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點P(x，y)與變換后的點P′(x′，y′)的坐標(biāo)關(guān)系，利用方程思想求解． 【例1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ： （1）求點經(jīng)過φ變換所得點A′的坐標(biāo)； （2）求直線l：y＝6x經(jīng)過φ變換后所得直線l′的方程． 【解析】（1）設(shè)點A′(x′，y′)，由伸縮變換φ：得 ∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1. ∴點A′的坐標(biāo)為(1，－1). （2）設(shè)P′(x′，y′)是直線l′上任意一點． 由伸縮變換φ：得代入y＝6x，得2y′＝6·＝

5、2x′， ∴y′＝x′， 故y=x即為所求直線l′的方程. 題組二 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 一是坐標(biāo)點的互化，極坐標(biāo)的點化為直角坐標(biāo)的點較簡單，代入公式即可，直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)利用公式即可，要注意ρ、θ的取值范圍； 二是方程的互化，直角坐標(biāo)的方程化極坐標(biāo)的方程代入公式可化為極坐標(biāo)，極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，為公式逆用，構(gòu)造公式右邊，常在等式兩邊同乘ρ，角化為單角θ的正、余弦. 注意：進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時，要注意ρ，θ的取值范圍及其影響；要善于對方程進(jìn)行合理變形，并重視公式的逆向與變形使用；要靈活運用代入法和平方法等技巧． 【例2】在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cos

6、θ＋sin θ和直線l：. （1）求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程； （2）當(dāng)θ∈(0，π)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標(biāo)． 【例3】在極坐標(biāo)系中，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝1，圓C的圓心的極坐標(biāo)是C，圓的半徑為1. （1）求圓C的極坐標(biāo)方程； （2）求直線l被圓C所截得的弦長． 【解析】（1）設(shè)O為極點，OD為圓C的直徑，A(ρ，θ)為圓C上的一個動點，則∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－， ∴OA＝ODcos或OA＝ODcos， ∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos. （2）由ρsin＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1， ∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－＝

7、0， 又圓心C的直角坐標(biāo)為，滿足直線l的方程， ∴直線l過圓C的圓心， 故直線被圓所截得的弦長為直徑2. 能力通關(guān) 1．平面上點的直角坐標(biāo)的表示形式是唯一的，但點的極坐標(biāo)的表示形式不唯一．極坐標(biāo)與P點之間不是一一對應(yīng)的，所以我們又規(guī)定ρ≥0,0≤θ＜2π，來使平面上的點與它的極坐標(biāo)之間是一一對應(yīng)的，但仍然不包括極點． 2．求解與極坐標(biāo)有關(guān)的問題，主要有兩種方法：一是直接利用極坐標(biāo)求解；二是轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)后，用直角坐標(biāo)求解，使用后一種時應(yīng)注意若結(jié)果是要求極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo). 利用極坐標(biāo)的幾何意義解決問題 【例1】在直角坐標(biāo)系中，直線，圓，以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸

8、為極軸建立極坐標(biāo)系. （1）求的極坐標(biāo)方程； （2）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)的交點為，求的面積. 坐標(biāo)系的綜合問題 【例2】將圓x2＋y2＝1上每一點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C. （1）求曲線C的方程； （2）設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點為P1，P2，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程． 【解析】（1）設(shè)(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(x，y)， 依題意，得. 由x＋y＝1得， 故曲線C的方程為. （2）由解得或. 不妨設(shè)P1(1，0)，P2(0，2)，

9、則線段P1P2的中點坐標(biāo)為，所求直線斜率為k＝， 于是所求直線方程為，化為極坐標(biāo)方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3， 故所求直線的極坐標(biāo)方程為. 高考通關(guān) 1．在極坐標(biāo)系中，已知曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ. （1）求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀； （2）若曲線C1，C2交于A，B兩點，求兩交點間的距離． 【解析】（1）由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，得x－y－1＝0，表示一條直線. 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， ∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋

10、y2＝1. ∴曲線C2是圓心為(1,0)，半徑r＝1的圓. （2）由（1）知點(1,0)在直線x－y－1＝0上， 因此直線C1過圓C2的圓心. ∴兩交點A，B的連線段是圓C2的直徑． 因此兩交點A，B間的距離為|AB|＝2r＝2. 2．在直角坐標(biāo)系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為（），為上一點，以為邊作等邊三角形，且、、三點按逆時針方向排列. （1）當(dāng)點在上運動時，求點運動軌跡的直角坐標(biāo)方程； （2）若曲線：，經(jīng)過伸縮變換得到曲線，試判斷點的軌跡與曲線是否有交點，如果有，請求出交點的直角坐標(biāo)，如果沒有，請說明理由. 【解析】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，則由

11、題意可得點的坐標(biāo)為， 再由點的橫坐標(biāo)等于，，可得， 可得， 故當(dāng)點在上運動時，點的直角坐標(biāo)方程為． 3．在直角坐標(biāo)系中，直線：，圓：，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （1）求，的極坐標(biāo)方程； （2）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點為，與的交點為，求的面積. 【解析】（1）因為，， 所以的極坐標(biāo)方程為，即， 的極坐標(biāo)方程為. （2）將代入， 得，解得. 將代入， 得，解得. 故的面積為. 【名師點睛】本題著重考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，三角形的面積問題可以利用面積公式或者轉(zhuǎn)化成弦長問題和點到直線的距離解決. （1）將代入可得其極坐標(biāo)方

12、程； （2）分別將代入的極坐標(biāo)方程，可求得的值，進(jìn)而計算的面積. 4．已知橢圓：，拋物線：，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （1）求橢圓及拋物線的極坐標(biāo)方程； （2）過原點的直線與橢圓交于點、，與拋物線交于點（異于原點），設(shè)拋物線的焦點為，若，求的面積. 【解析】（1）橢圓的極坐標(biāo)方程為：， 拋物線的極坐標(biāo)方程為：. （2）設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為 ， ， ， . 【名師點睛】以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系是，代入可相互轉(zhuǎn)化，由于表示點到極點（原點O）的距離，因此本題用極坐標(biāo)方程求解顯得更加方便．