2022高考數學 30分鐘拿下選擇、填空題 專題05 數形結合法 理

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1、2022高考數學 30分鐘拿下選擇、填空題 專題05 數形結合法 理 方法探究 數形結合法，也就是我們常說的圖解法，就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現優(yōu)化解題途徑的目的. 在高考中，數形結合是一種常用的解題方法，也是一種重要的數學思想方法，特別是在一些計算過程復雜的函數、三角、解析幾何等問題中，可以先作出有關函數的圖象或者構造適當的幾何圖形，再利用圖示輔助，即參照圖形的做法、形狀、位置、性質，綜合圖象的特征進行直觀分析，從而得出結論.比如： （1

2、）在集合運算中常常借助于數軸、Venn圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了. （2）借助于圖象研究函數的性質是一種常用的方法.函數圖象的幾何特征與數量特征緊密結合，體現了數形結合的特征與方法. （3）處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數圖象的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發(fā)，聯(lián)系相關函數，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路. （4）有關三角函數單調區(qū)間的確定或比較三角函數值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數圖象來處理，數形結合思想是處理三角函數問題的重要方法. （5）線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標函數的最值的問題.從圖

3、形上找思路恰好就體現了數形結合思想的應用. （6）數列是一種特殊的函數，數列的通項公式以及前n項和公式可以看作關于正整數n的函數.用數形結合的思想研究數列問題是借助函數的圖象進行直觀分析，從而把數列的有關問題轉化為函數的有關問題來解決. （7）解析幾何的基本思想就是數形結合，在解題中善于將數形結合的數學思想運用于對點、線、曲線的性質及其相互關系的研究中. （8）立體幾何中用坐標的方法將幾何中的點、線、面的性質及其相互關系進行研究，可將抽象的幾何問題轉化為純粹的代數運算. 著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使

4、某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷.所以，我們一定要學好并應用好數形結合的方法. 經典示例 【例1】（集合中的數形結合）已知集合A=，B=，則AB中元素的個數為 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【名師點睛】求集合的基本運算時，要認清集合元素的屬性(是點集、數集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運算的兩個先決條件.集合中元素的三個特性中的互異性對

5、解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性. 【備考警示】對于點集問題，常表示的是某曲線上的點的集合，所以通過畫圖可以順利解決此類問題. 【例2】（函數中的數形結合）對任意實數a，b定義運算“?”：,設，若函數恰有三個零點，則實數k的取值范圍是 A．(?2,1) B．[0,1] C．[?2,0) D．[?2,1) 【答案】D 【解析】由新定義可得，即.其圖象如圖所示，所以由恰有三個零點可得，?1

6、． 【例3】（線性規(guī)劃中的數形結合）不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 . 【答案】16 【備考警示】對于線性規(guī)劃中的區(qū)域面積問題，正確地畫出平面區(qū)域的面積是正確求解的關鍵. 【例4】（向量中的數形結合）等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值為 A． B． C． D． 【答案】A 【思路點撥】根據已知建立平面直角坐標系，將等腰直角三角形的兩直角邊所在直線作為x軸和y軸，分別設出三角形頂點和兩直角邊中點的坐標，再代入坐標求解兩中線所對應的向量的數量積和模，進而求得夾角的余弦值. 【備考警示】涉及向量的坐標或幾

7、何意義時常通過畫圖進行解決反而更快捷. 【例5】（解析幾何中的數形結合）已知雙曲線C：的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN=60°，則C的離心率為_______________． 【答案】 【解析】如圖所示，作， 因為圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點， 則為雙曲線的漸近線上的點，且，， 而，所以，點到直線的距離， 在中，，代入計算得，即， 由得，所以． 【名師點睛】雙曲線漸近線是其獨有的性質，所以有關漸近線問題備受出題者的青睞.做好這一類問題要抓住以下重點：①求解漸近線，直接把雙曲線后面的1換成0即可；②雙

8、曲線的焦點到漸近線的距離是；③雙曲線的頂點到漸近線的距離是. 【備考警示】對于解析幾何問題，常需要邊讀題邊畫圖，找出基本量之間的基本關系才可以找準突破口. 拓展變式 1． 函數f(x)=2x＋lg(x＋1) ?2的零點有 A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【答案】B 由圖象可知h(x)=2?2x和g(x)=lg(x＋1)有且只有一個交點，即f(x)=2x＋lg(x＋1)?2與x軸有且只有一個交點，即函數f(x)僅有一個零點． 2．不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 . 【答案】16 3．已知是邊長為2的等邊三角形

9、，為平面內一點，則的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如圖，以為軸，的垂直平分線為軸，為坐標原點建立平面直角坐標系， 則，，，設，所以，，，所以， ，當時，所求的最小值為，故選B． 【名師點睛】平面向量中有關最值問題的求解通常有兩種思路： ①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據平面圖形的特征直接進行判斷； ②“數化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數、不等式、方程的有關知識來解決． 終極押題 一、選擇題

10、 1．已知集合，，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依題意得，，，所以，故選B. 2．已知復數滿足，則復數的虛部為 A． B． C． D． 【答案】C 3．如圖是半徑分別為1，2，3的三個同心圓，現隨機向最大圓內拋一粒豆子，則豆子落入圖中陰影部分的概率為 A．　　　　 B． C．　　　　 D． 【答案】B 【解析】因為最大圓的面積為，陰影部分的面積為，所以豆子落入圖中陰影部分的概率為，故選B． 4．已

11、知雙曲線的一條漸近線過圓的圓心，則雙曲線的離心率為 A． B． C． D．3 【答案】A 5．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數學名著，由明代數學家程大位所著，該著作完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉變，對我國民間普及珠算和數學知識起到了很大的作用.在這部著作中，許多數學問題都是以歌訣形式呈現的，“誦課倍增”就是其中一首：有個學生心性巧，一部孟子三日了；每日增添整一部，問君每日讀多少？某老師據此編寫了一道數學題目：一本書共有頁，一位同學天讀完，所讀頁數逐日增加一倍，問這位同學第天所讀的頁數為 A

12、． B． C． D． 【答案】B 6．已知一個簡單幾何的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三視圖知對應的幾何體是底面半徑為，高為4的圓錐與底面為直角邊長為3的等腰直角三角形，高為4的三棱錐組成的組合體，所以圓錐的母線長為5，如圖，在三棱錐中，側棱垂直于底面，，，所以該幾何體的表面積為 +++=，故選D. 7．函數在區(qū)間上的圖象大致為 【答案】B 8．已知，滿足約束條件，則目標函數的最大值為 A．　　　　 B．4

13、C．　　　　 D．6 【答案】C 【解析】由題畫出可行域如圖所示，可知直線過點時，目標函數取得最大值，即，故選C． 9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，輸出的1.625，則空白判斷框內應填的條件為 A．＜1 B．＜0.5 C．＜0.2 D．＜0.1 【答案】C 10．在直三棱柱中，側棱長為，在底面中，，，則此直三棱柱的外接球的表面積為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設底面的外接圓半徑為，由正弦定理得，所以，所以外接球半徑，所以直三棱

14、柱的外接球的表面積為.故選C. 【思路點晴】幾何體底面常見的圖形有正三角形，直角三角形，矩形，它們的外心可用其幾何性質求；而其他不規(guī)則圖形的外心，可利用正弦定理來求.若長方體的長、寬、高分別為，則其體對角線長為，長方體的外接球球心是其體對角線的中點.找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過幾何體各個面的外心分別作這個面的垂線，交點即為球心.若三棱錐三條側棱兩兩互相垂直，且棱長分別為，則其外接球半徑. 11．已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于兩點，若MR，垂足為，且，則直線的斜率為 A． B． C． D． 【答案】C 12．已知關于x的

15、方程有且僅有2個實數根，則實數m的取值范圍為 A． B． C． D． 【答案】D 二、填空題 13．的展開式中，常數項為________________. (用數字作答) 【答案】10 【解析】依題意，由排列組合知識可知，常數項為. 14．設，向量，且，則__________． 【答案】 【解析】由題意得， ，所以. 【名師點晴】本題考查向量的基本運算，涉及方程思想、數形結合思想和轉化與化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于中等難題. 15．已知圓：，點為圓：上且不在直線上的任意一點，則的面

16、積最大值為___________． 【答案】 16．已知銳角三角形的外接圓半徑為，且，，則________________. 【答案】 【解析】因為（為銳角三角形的外接圓半徑），所以．因為為銳角，所以，于是，所以，故選D． 你用了幾分鐘？ 有哪些問題？

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