2022高考數(shù)學(xué) 30分鐘拿下選擇、填空題 專題05 數(shù)形結(jié)合法 文

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1、2022高考數(shù)學(xué) 30分鐘拿下選擇、填空題 專題05 數(shù)形結(jié)合法 文 方法探究 數(shù)形結(jié)合法，也就是我們常說的圖解法，就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的. 在高考中，數(shù)形結(jié)合是一種常用的解題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，特別是在一些計算過程復(fù)雜的函數(shù)、三角、解析幾何等問題中，可以先作出有關(guān)函數(shù)的圖象或者構(gòu)造適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，再利用圖示輔助，即參照圖形的做法、形狀、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征進(jìn)行直觀分析，從而得出結(jié)論.比如： （1

2、）在集合運(yùn)算中常常借助于數(shù)軸、Venn圖來處理集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，從而使問題得以簡化，使運(yùn)算快捷明了. （2）借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法.函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法. （3）處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數(shù)圖象的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路. （4）有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖象來處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法. （5）線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值的問題.從圖

3、形上找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. （6）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式以及前n項和公式可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù).用數(shù)形結(jié)合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖象進(jìn)行直觀分析，從而把數(shù)列的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)問題來解決. （7）解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解題中善于將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于對點、線、曲線的性質(zhì)及其相互關(guān)系的研究中. （8）立體幾何中用坐標(biāo)的方法將幾何中的點、線、面的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)行研究，可將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化為純粹的代數(shù)運(yùn)算. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使

4、某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷.所以，我們一定要學(xué)好并應(yīng)用好數(shù)形結(jié)合的方法. 經(jīng)典示例 【例1】（集合中的數(shù)形結(jié)合）已知集合A=，B=，則AB中元素的個數(shù)為 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【名師點睛】求集合的基本運(yùn)算時，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個先決條件.集合中元素的三個特性中的互異性對

5、解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性. 【備考警示】對于點集問題，常表示的是某曲線上的點的集合，所以通過畫圖可以順利解決此類問題. 【例2】（函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合）對任意實數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”：,設(shè)，若函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍是 A．(?2,1) B．[0,1] C．[?2,0) D．[?2,1) 【答案】D 【解析】由新定義可得，即.其圖象如圖所示，所以由恰有三個零點可得，?1

6、 【例3】（線性規(guī)劃中的數(shù)形結(jié)合）不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 . 【答案】16 【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，則陰影部分的面積為 . 【備考警示】對于線性規(guī)劃中的區(qū)域面積問題，正確地畫出平面區(qū)域的面積是正確求解的關(guān)鍵. 【例4】（向量中的數(shù)形結(jié)合）等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值為 A． B． C． D． 【答案】A 【思路點撥】根據(jù)已知建立平面直角坐標(biāo)系，將等腰直角三角形的兩直角邊所在直線作為x軸和y軸，分別設(shè)出三角形頂點和兩直角邊中點的坐標(biāo)，再代入坐標(biāo)求解兩中線所

7、對應(yīng)的向量的數(shù)量積和模，進(jìn)而求得夾角的余弦值. 【備考警示】涉及向量的坐標(biāo)或幾何意義時常通過畫圖進(jìn)行解決反而更快捷. 【例5】（解析幾何中的數(shù)形結(jié)合）已知雙曲線C：的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN=60°，則C的離心率為_______________． 【答案】 【解析】如圖所示，作， 因為圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點， 則為雙曲線的漸近線上的點，且，， 而，所以，點到直線的距離， 在中，，代入計算得，即， 由得，所以． 【名師點睛】雙曲線漸近線是其獨有的性質(zhì)，所以有關(guān)漸近線問題備受出題者的青睞.

8、做好這一類問題要抓住以下重點：①求解漸近線，直接把雙曲線后面的1換成0即可；②雙曲線的焦點到漸近線的距離是；③雙曲線的頂點到漸近線的距離是. 【備考警示】對于解析幾何問題，常需要邊讀題邊畫圖，找出基本量之間的基本關(guān)系才可以找準(zhǔn)突破口. 拓展變式 1． 函數(shù)f(x)=2x＋lg(x＋1) ?2的零點有 A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【答案】B 解法二：在同一坐標(biāo)系中作出h(x)=2?2x和g(x)=lg(x＋1)的圖象，如圖所示， 由圖象可知h(x)=2?2x和g(x)=lg(x＋1)有且只有一個交點，即f(x)=2x＋lg(x＋

9、1)?2與x軸有且只有一個交點，即函數(shù)f(x)僅有一個零點． 2．不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 . 【答案】16 【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，則陰影部分的面積為. 3．已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如圖，以為軸，的垂直平分線為軸，為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系， 則，，，設(shè)，所以，， ，所以， ，當(dāng)時，所求的最小值為，故選B． 【名師點睛】平面向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路： ①“形化”，即利用平面向量的幾何意義

10、將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷； ②“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決． 終極押題 一、選擇題 1．已知集合，，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依題意得，，，所以，故選B. 2．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依題意得，，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選

11、C. 3．如圖是半徑分別為1，2，3的三個同心圓，現(xiàn)隨機(jī)向最大圓內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落入圖中陰影部分的概率為 A．　　　　 B． C．　　　　 D． 【答案】B 4．已知雙曲線的一條漸近線過圓的圓心，則雙曲線的離心率為 A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】依題意得，圓的圓心坐標(biāo)為，代入雙曲線的漸近線中，得，即，所以，故選A. 5．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位所著，該著作完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變，對我國民間

12、普及珠算和數(shù)學(xué)知識起到了很大的作用.在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“誦課倍增”就是其中一首：有個學(xué)生心性巧，一部孟子三日了；每日增添整一部，問君每日讀多少？某老師據(jù)此編寫了一道數(shù)學(xué)題目：一本書共有頁，一位同學(xué)天讀完，所讀頁數(shù)逐日增加一倍，問這位同學(xué)第天所讀的頁數(shù)為 A． B． C． D． 【答案】B 6．已知一個簡單幾何的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三視圖知對應(yīng)的幾何體是底面半徑為，高為4的圓錐與底面為直角邊長為3的等腰直角

13、三角形，高為4的三棱錐組成的組合體，所以圓錐的母線長為5，如圖，在三棱錐中，側(cè)棱垂直于底面，，，所以該幾何體的表面積為 +++=，故選D. 7．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為 【答案】B 8．已知，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 A．　　　　 B．4 C．　　　　 D．6 【答案】C 【解析】由題畫出可行域如圖所示，可知直線過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即，故選C． 9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，輸出的1.625，則空白判斷框內(nèi)應(yīng)填的條件為 A．＜1 B．＜0.5 C．＜0.2

14、 D．＜0.1 【答案】C 執(zhí)行第3次，=，，否，，=，因為=不是輸出結(jié)果，故不滿足條件，循環(huán)， 執(zhí)行第4次，=，，是，，=，因為==1.625是輸出結(jié)果，所以結(jié)束循環(huán)，故應(yīng)選C. 10．在直三棱柱中，側(cè)棱長為，在底面中，，，則此直三棱柱的外接球的表面積為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)底面的外接圓半徑為，由正弦定理得，所以，所以外接球半徑，所以直三棱柱的外接球的表面積為.故選C. 【思路點晴】幾何體底面常見的圖形有正三角形，直角三角形，矩形，它們的外心可用其幾何性質(zhì)求；而其他不規(guī)則圖形的外心，可利用

15、正弦定理來求.若長方體的長、寬、高分別為，則其體對角線長為，長方體的外接球球心是其體對角線的中點.找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過幾何體各個面的外心分別作這個面的垂線，交點即為球心.若三棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且棱長分別為，則其外接球半徑. 11．已知橢圓的一個焦點為，該橢圓上有一點，滿足是等邊三角形（為坐標(biāo)原點），則橢圓的離心率是 A． B． C． D． 【答案】A 【方法點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式.建立關(guān)于的方程或不等式時，要充分利用

16、橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等． 12．已知關(guān)于x的方程有且僅有2個實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依題意得，，即，故問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有兩個交點.令，則，故當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)和時，函數(shù)單調(diào)遞增，作出函數(shù)的大致圖象如圖（1）所示，進(jìn)而得到函數(shù)的大致圖象如圖（2）所示，又函數(shù)的圖象恒過點，當(dāng)函數(shù)的圖象與曲線相切時：①設(shè)過第一、二、三象限的切線的切點為，則易求得該切線方程為，即，將代入，解得，故切線斜率為1，切線方程為，此時切線方程正好經(jīng)過(如圖（2）中虛線位置所示)；②由對稱性可知，過第一、二、四

17、象限的切線的斜率為，所以或，解得或，故選D. 二、填空題 13．已知函數(shù)，若，則________________. 【答案】10 【解析】由，得，解得，又由，所以. 14．設(shè)，向量，且，則__________． 【答案】 【解析】由題意得， ，所以. 【名師點晴】本題考查向量的基本運(yùn)算，涉及方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于中等難題. 15．已知圓：，點為圓：上且不在直線上的任意一點，則的面積最大值為___________． 【答案】 16．已知銳角三角形的外接圓半徑為，且，，則_____

18、___________. 【答案】 【解析】因為（為銳角三角形的外接圓半徑），所以．因為為銳角，所以，于是，所以，故選D． 你用了幾分鐘？ 有哪些問題？

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