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1、2022高考數(shù)學 考點突破——集合與常用邏輯用語：集合學案
【考點梳理】
1．元素與集合
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?．
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法．
2．集合間的基本關(guān)系
(1)子集：若對任意x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A．
(2)真子集：若A?B，但集合B中至少有一個元素不屬于集合A，則AB或BA．
(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B．
(4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本運算
并集
交集
補集
2、
圖形表示
符號表示
A∪B
A∩B
?UA
意義
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x?A}
4.集合關(guān)系與運算的常用結(jié)論
(1)若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個．
(2)子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.
(3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
(4)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
【考點突破】
考點一、集合的基本概念
【例1】(1) 已知集合M＝{1,2}，N＝{3,4,5}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈N}，則集合P
3、的元素個數(shù)為( )
A．3 B．4
C．5 D．6
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝( )
A． B．
C．0 D．0或
[答案] (1) B (2) D
[解析] (1) 因為a∈M，b∈N，所以a＝1或2，b＝3或4或5.當a＝1時，若b＝3，則x＝4；若b＝4，則x＝5；若b＝5，則x＝6.同理，當a＝2時，若b＝3，則x＝5；若b＝4，則x＝6；若b＝5，則x＝7，由集合中元素的特性知P＝{4,5,6,7}，則P中的元素共有4個．
(2)若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實
4、根．
當a＝0時，x＝，符合題意；
當a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝，
所以a的取值為0或.
【類題通法】
與集合中的元素有關(guān)的解題策略
(1)確定集合中的代表元素是什么，即集合是數(shù)集還是點集．
(2)看這些元素滿足什么限制條件．
(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．
【對點訓練】
1. 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[答案] B
[解析] 因為A表示圓x2＋y2＝1
5、上的點的集合，B表示直線y＝x上的點的集合，直線y＝x與圓x2＋y2＝1有兩個交點，所以A∩B中元素的個數(shù)為2.
2. 已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝?，則實數(shù)a的取值范圍為________.
[答案]
[解析] ∵A＝?，∴方程ax2＋3x－2＝0無實根，
當a＝0時，x＝不合題意；
當a≠0時，Δ＝9＋8a＜0，∴a＜－，故實數(shù)a的取值范圍為.
考點二、集合間的基本關(guān)系
【例2】(1) 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0
6、) 已知集合A＝{x|－10時，∵A＝{x|－1
7、然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系．
結(jié)構(gòu)法
從元素的結(jié)構(gòu)特點入手，結(jié)合通分、化簡、變形等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進行判斷．
數(shù)軸法
在同一個數(shù)軸上表示出兩個集合，比較端點之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系．
2. 利用集合間關(guān)系求解參數(shù)問題的策略
化簡要分類
若參數(shù)在元素的性質(zhì)特征之中，多以一次不等式或二次不等式的形式出現(xiàn)，此時要對其進行合理分類，分類的主要依據(jù)就是參數(shù)對該不等式的對應方程的解的影響．分類的主要層次為：①最高次冪系數(shù)是否為0；②方程是否有解；③解之間的大小關(guān)系．
關(guān)系要分類
已知兩個集合之間的關(guān)系求參數(shù)的取值，要注意對集合是否為空集進行
8、分類討論，因為是任意一個集合的子集．
“端點”要取舍
利用集合之間的子集關(guān)系確定參數(shù)所滿足的條件，實際上就是比較兩個區(qū)間端點值的大小關(guān)系，所以集合對應區(qū)間的端點的取舍對兩個集合之間的關(guān)系有制約作用，這也是區(qū)分子集與真子集的關(guān)鍵．如已知A＝(1,3]，B＝[a，b](a0}，則集合A與B的關(guān)系是( )
A．B?A B．B?A
C．B∈A D．A∈B
[答案] A
[解析] 因為A＝{x|－x2－x＋2<0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|2x－5>0}＝.
9、
在數(shù)軸上標出集合A與集合B，如圖所示，
可知，B?A.
2．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍是________．
[答案] (－∞，4]
[解析] 當B＝?時，有m＋1≥2m－1，則m≤2.
當B≠?時，若B?A，如圖．
則
解得2＜m≤4.
綜上，m的取值范圍為(－∞，4].
考點三、集合的基本運算
【例3】(1) 已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，則A∩B中元素的個數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2) 已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x
10、＋1)(x－2)<0，x∈Z}，則A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
(3) 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|00}，B＝{x|－2≤x≤2}，則如圖所示陰影部分所表示的集合為( )
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x
11、≤2}
[答案] (1) B (2) C (3) D (4) D
[解析] (1) A，B兩集合中有兩個公共元素2,4，故選B.
(2)因為B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－14}，因此?RA＝{x|－1≤x≤4}，題中的陰影部分所表示的集合為(?RA)∩B＝{x|－
12、1≤x≤2}，故選D.
【類題通法】
1．在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．
2．集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍．
【對點訓練】
3．(1) 設集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，則A∩B＝( )
A．{1，3} B．{3，5}
C．{5，7} D．{1，7}
(2) 設集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，則A∪B＝( )
A．(－1，1) B．(0，1)
C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
(3) 設集合U＝{1，2
13、，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，則?U(A∪B)＝( )
A．{2，6} B．{3，6}
C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}
(4) 集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，則圖中陰影部分所表示的集合是( )
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}
C．{x|00，則A＝(0，＋∞).
又B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1).
因此A∪B＝(－1，＋∞).
(3) ∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，
又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此?U(A∪B)＝{2，6}.
(4) 易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴?UB＝[1，＋∞)，A∩(?UB)＝[1，2).因此陰影部分表示的集合為A∩(?UB)＝{x|1≤x<2}.
2022高考數(shù)學 考點突破——集合與常用邏輯用語：集合學案
