2022高考數學 考點突破——基本初等函數：二次函數與冪函數學案

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1、2022高考數學 考點突破——基本初等函數：二次函數與冪函數學案 【考點梳理】 1．二次函數 (1)二次函數解析式的三種形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 頂點式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，頂點坐標為(h，k)； 零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點． (2)二次函數的圖象與性質 函數 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 圖象 定義域 R 值域 單調性 在上減， 在上增 在上增， 在上減 對稱性 函數的圖象關于x＝－對稱 2．冪函

2、數 (1)定義：形如y＝xα(α∈R)的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α是常數． (2)五種常見冪函數的圖象與性質 函數 特征 性質 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 圖象 定義域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調性 增 (－∞，0)減， (0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)減 公共點 (1,1) 【考點突破】 考點一、求二次函數的解析式 【例1】已

3、知二次函數f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，則此二次函數的解析式是 ． [答案] f(x)＝－4x2＋4x＋7 [解析] 法一(利用一般式)： 設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由題意得 解得 ∴所求二次函數為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用頂點式)： 設f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， ∴拋物線的圖象的對稱軸為x＝＝. ∴m＝.又根據題意函數有最大值8，∴n＝8. ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－4

4、2＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用零點式)： 由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1， 故可設f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數的最大值是8，即＝8， 解得a＝－4， ∴所求函數的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【類題通法】 用待定系數法求二次函數的解析式，關鍵是靈活選取二次函數解析式的形式，選法如下 【對點訓練】 已知二次函數f(x)的圖象經過點(4，3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)的解析式是 ． [答案]

5、 f(x)＝x2－4x＋3 [解析] ∵f(2－x)＝f(2＋x)對x∈R恒成立， ∴f(x)的對稱軸為x＝2. 又∵f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2， ∴f(x)＝0的兩根為1和3. 設f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的圖象過點(4，3)， ∴3a＝3，a＝1. ∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. 考點二、二次函數的圖象與性質 【例2】如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3，0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結論： ①b2>4ac；②2a

6、－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正確； 對稱軸為x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②錯誤； 結合圖象知，當x＝－1時，y>0，即a－b＋c>0，③錯誤； 由對稱軸為x＝－1知，b＝2a，又函數圖象開口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a0

7、，二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　) [答案] D [解析] A項，∵a<0，－<0，∴b<0.又∵abc>0，∴c>0，由圖知f(0)＝c<0，故A錯；B項，∵a<0，－>0，∴b>0，又∵abc>0，∴c<0，而f(0)＝c>0，故B錯；C項，∵a>0，－<0，∴b>0，又∵abc>0，∴c>0，而f(0)＝c<0，故C錯；D項，∵a>0，－>0，∴b<0，又∵abc>0，∴c<0，由圖知f(0)＝c<0，故選D. 【例3】已知函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，1]上的最大值為2，則a的值為(　　) A．2 B．－1或－

8、3 C．2或－3 D．－1或2 [答案] D [解析] 函數f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1圖象的對稱軸為x＝a，且開口向下，分三種情況討論如下： ①當a≤0時，函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，1]上是減函數， ∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1. ②當0＜a≤1時，函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，a]上是增函數，在[a，1]上是減函數， ∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1， 由a2－a＋1＝2，解得a＝或a＝.∵0＜a≤1，∴兩個值都不滿足，

9、舍去． ③當a＞1時，函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，1]上是增函數， ∴f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝2，∴a＝2. 綜上可知，a＝－1或a＝2. 【類題通法】 二次函數在閉區(qū)間上的最值 設f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，則二次函數f(x)在閉區(qū)間[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情況： 對稱軸 與區(qū)間 的關系 m

10、{f(n)，f(m)}， f(x)min＝f f(x)max＝f(n)， f(x)min＝f(m) 【對點訓練】 已知函數f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函數f(x)的最小值． [解析] (1)當a＝0時，函數f(x)＝－2x在[0，1]上單調遞減，∴f(x)min＝f(1)＝－2. (2)當a>0時，函數f(x)＝ax2－2x的圖象的開口方向向上，且對稱軸為直線x＝. ①當≤1，即a≥1時，f(x)＝ax2－2x的圖象對稱軸在區(qū)間[0，1]內， ∴f(x)在上單調遞減，在上單調遞增， ∴f(x)min＝f＝－＝－. ②當>1，即0

11、2－2x的圖象對稱軸在區(qū)間[0，1]的右側， ∴f(x)在[0，1]上單調遞減，∴f(x)min＝f(1)＝a－2. (3)當a<0時，函數f(x)＝ax2－2x的圖象的開口方向向下，且對稱軸x＝<0，在y軸的左側， ∴函數f(x)＝ax2－2x在[0，1]上單調遞減． ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. 綜上所述f(x)min＝ 【例4】已知a是實數，函數f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，則實數a的取值范圍為________． [答案] [解析] 由題意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立． 當x＝0時，適合； 當x≠0時，a＜2

12、－. 因為∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，當x＝1時，右邊取最小值，所以a＜. 綜上，實數a的取值范圍是. 【類題通法】 求解與二次函數有關的不等式恒成立問題，其本質是最值問題，往往先對已知條件進行化簡、轉化： (1)判別式法轉化 ①ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要條件是 ②ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要條件是 (2)分離變量法轉化 不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立，等價于在區(qū)間D上f(x)min>A，接下來求出函數f(x)在區(qū)間D上的最小值；不等式f(x)

13、 【對點訓練】 已知函數f(x)＝ax2－2x＋2，若對一切x∈，f(x)>0都成立，則實數a的取值范圍為(　　) A． B． C． D． [答案] B [解析] 由題意得，對一切x∈，f(x)>0都成立，即a>＝－＋＝－22＋在x∈上恒成立，而－22＋≤，則實數a的取值范圍為. 考點三、冪函數的圖象與性質 【例5】冪函數y＝x (m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 [答案] C [解析] 從圖象上看，由于圖象不過原點，且在第一象

14、限下降，故m2－2m－3<0，即－1

15、____． [答案] 1 [解析] ∵f(x)在(0，＋∞)上是減函數， ∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. 又m∈N*，∴m＝1或m＝2. 由于f(x)的圖象關于y軸對稱． ∴m2－2m－3的值應為偶數， 又當m＝2時，m2－2m－3為奇數， ∴m＝2舍去．因此m＝1. 【例6】設a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關系是_____________． [答案] a>c>b [解析] ∵y＝x (x>0)為增函數，∴a>c.∵y＝x(x∈R)為減函數，∴c>b.∴a>c>b. 【類題通法】 冪值大小比較的常見類型及解題策略 (1)同底不同指，可以利用指數函數單調性進行比較． (2)同指不同底，可以利用冪函數單調性進行比較． (3)既不同底又不同指，常常找到一個中間值，通過比較兩個冪值與中間值的大小來判斷兩個冪值的大小． 【對點訓練】 已知a＝2，b＝4，c＝25，則(　　) A．b