2022年高中數(shù)學北師大版選修2-2第1章 復習點撥：宜用反證法證明的幾類命題

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1、 2022年高中數(shù)學北師大版選修2-2第1章 復習點撥：宜用反證法證明的幾類命題 反證法是證明數(shù)學命題的一種重要方法，當直接證明思路受阻，難以成功時，反證法常使人茅塞頓開，柳暗花明．它通常用來證明下列幾類命題． 一、否定性命題 問題的結(jié)論是以否定形式出現(xiàn)（例如“沒有…”，“不是…”，“不存在…”等）的命題，宜用反證法． 例1　求證：是無理數(shù)． 分析：在實數(shù)集內(nèi)，證它是無理數(shù)，即證它不是有理數(shù)． 證明：假設不是無理數(shù)，即為有理數(shù)，則設＝　，互質(zhì)）從而　得，　 上式表明：偶數(shù)等于奇數(shù)，這與偶數(shù)不等于奇數(shù)矛盾，于是假設不成立． 故是無理數(shù)． 例2　證明：一個三角形中不可能有兩個直

2、角． 分析：用三角形內(nèi)角和為證一個三角形中不存在兩個直角． 證明：假設一個三角形中有兩個直角．不妨設Ａ＝，Ｂ＝． ∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝＋＋Ｃ＝＋Ｃ＞ 這與三角形內(nèi)角和定理矛盾．　∴　假設不成立，即原命題成立． 二、“至少”或“至多”類命題 若一個命題的結(jié)論是“至少…”或“至多…”，“不都…”則可考慮用反證法． 例3　已知、、、Ｒ，且＝2（＋） 求證：方程＋＋＝０和＋＋＝０中，至少有一個方程有實根． 分析：“至少有一個”是“有一個”、　“有兩個”，它的反面是“一個都沒有”． 證明：假設這兩個一元二次方程都沒有實根，那么他們的判別式都小于０，即： 　 　∴　　　∵＝２（＋）代入上式得 　　，即．這與“任何實數(shù)的平方為非負數(shù)”相矛盾，所以假設不成立． 故這兩方程中，至少有一個方程有實根． 三、唯一性命題 若一個命題的結(jié)論是“…唯一”的形式出現(xiàn)，則可考慮用反證法． 例4 求證：在一個平面內(nèi)，過直線外一點P只能作出一條直線垂直于． 證明：假設過點Ｐ可以作兩條直線垂直于直線如圖，那么PAB＝PBA＝． A B P 　　　　于是APB＋PAB＋PBA＞． 即PAB的內(nèi)角和大于， 這與定理“三角形內(nèi)角和等于”相矛盾， 故假設不成立．