江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù)列 4.1 小題考法—數(shù)列中的基本量計算講義（含解析）

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 數(shù)列 4.1 小題考法—數(shù)列中的基本量計算講義（含解析） 小題考情分析 大題考情分析 常考點 等差數(shù)列的基本量計算(5年2考) 等比數(shù)列的基本量計算(5年3考) 近幾年的數(shù)列解答題，其常規(guī)類型可分為二類：一類是判斷、證明某個數(shù)列是等差、等比數(shù)列(如2017年T19)；另一類是已知等差、等比數(shù)列求基本量，這個基本量涵義很廣泛，有項、項數(shù)、公差、公比、通項、和式以及它們的組合式，甚至還包括相關(guān)參數(shù)(如2018年T20)． 數(shù)列的壓軸題還對代數(shù)推理能力的要求較高，其中數(shù)列與不等式的結(jié)合(如2018年T20,2016年T20)；數(shù)列與方程的結(jié)合(如

2、2015年T20)．這些壓軸題難度很大，綜合能力要求較高. 偶考點 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及最值問題 考點(一) 等差、等比數(shù)列的基本運算 　主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式及有關(guān)的五個基本量間的“知三求二”運算. 答案： 2．公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，則λ的值為________． 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a6＝3a4，得a1＋5d＝3(a1＋3d)，則a1＝－2d，又S10＝λa4，所以λ＝＝＝＝25. 答案：25 3．(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項

3、和為Sn.已知S3＝，S6＝，則a8＝________. 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由S6≠2S3，得q≠1，則解得 則a8＝a1q7＝×27＝32. 答案：32 4．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，a3，a1成等差數(shù)列，則的值為________． 解析：設(shè){an}的公比為q且q>0，因為a2，a3，a1成等差數(shù)列，所以a1＋a2＝2×a3＝a3，即a1＋a1q＝a1q2，因為a1≠0，所以q2－q－1＝0，解得q＝或q＝<0(舍去)，所以＝＝q2＝. 答案： [方法技巧] 等差(比)數(shù)列基本運算的策略 (1)在等差(比)數(shù)列中，首項a1和公差d(公比q

4、)是兩個最基本的元素． (2)在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項的運算時，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體代換法的使用，以減少計算量. 考點(二) 等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 　　 　　　　　　　　　　　　 主要考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及與前n項和有關(guān)的最值問題. [題組練透] 1．在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝4，則log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________. 解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，則2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a

5、10＝25(a5＋a6)＝25×4，∴l(xiāng)og2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20. 答案：20 2．(2018·南京、鹽城、連云港二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S15＝30，a7＝1，則S9的值為________． 解析：因為S15＝30，所以＝30，a1＋a15＝4，即2a8＝4，a8＝2，又因為a7＝1，所以公差d＝1，a5＝a7－2d＝－1，S9＝＝9a5＝－9. 答案：－9 3．在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，則＝________. 解析：由題知，a3＋a15＝6>0，a3a15＝8>0，則a3>0，a1

6、5>0，由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a17＝a3a15＝8＝a?a9＝±2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a9＝a3q6>0，故a9＝2，故＝＝2. 答案：2 4．設(shè)正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝3，S9－S6＝12，則S6＝________. 解析：在等比數(shù)列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，即3，S6－3,12成等比數(shù)列，所以(S6－3)2＝3×12＝36，所以S6－3＝±6，所以S6＝9或S6＝－3(舍去)． 答案：9 5．(2018·蘇州暑假測試)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，若對任意n

7、∈N*，總有Sn≤Sk，則k的值是________． 解析：在等差數(shù)列{an}中，設(shè)公差為d，因為“an－Sn＝a1＋(n－1)d－＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)”的二次項系數(shù)為1，所以－＝1，即公差d＝－2，令n＝2，得a1＝13，所以前n項和Sn＝13n＋×(－2)＝14n－n2＝49－(n－7)2，故前7項和最大，所以k＝7. 答案：7 [方法技巧] 等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題求解策略 (1)等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用的關(guān)鍵是抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解． (2)應(yīng)牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，特別是等差數(shù)列中“若m＋n＝

8、p＋q，則am＋an＝ap＋aq”這一性質(zhì)與求和公式Sn＝的綜合應(yīng)用． [必備知能·自主補缺] (一) 主干知識要記牢 1．等差數(shù)列、等比數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0) 前n項和公式 Sn＝＝na1＋ d (1)q≠1，Sn＝＝； (2)q＝1，Sn＝na1 2．判斷等差數(shù)列的常用方法 (1)定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (2)通項公式法：an＝pn＋q(p，q為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (3)中項公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n

9、∈N*)?{an}是等差數(shù)列． 3．判斷等比數(shù)列的常用方法 (1)定義法：＝q(q是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列． (2)通項公式法：an＝cqn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列． (3)中項公式法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列． (二) 二級結(jié)論要用好 1．等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論 (1)p＋q＝m＋n?ap＋aq＝am＋an. (2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd. (3)連續(xù)k項的和(如Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…)構(gòu)成的數(shù)列是

10、等差數(shù)列． (4)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)2m，公差為d，所有奇數(shù)項之和為S奇，所有偶數(shù)項之和為S偶，則所有項之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝. (5)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)2m－1，所有奇數(shù)項之和為S奇，所有偶數(shù)項之和為S偶，則所有項之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝. [針對練]　一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32∶27，則該數(shù)列的公差d＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列的前12項中奇數(shù)項的和為S奇，偶數(shù)項的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d. 由已

11、知條件，得 解得 又S偶－S奇＝6d， 所以d＝＝5. 答案：5 2．等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論 (1)p＋q＝m＋n?ap·aq＝am·an. (2){an}，{bn}成等比數(shù)列?{anbn}成等比數(shù)列． (3)連續(xù)m項的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列(注意：這連續(xù)m項的和必須非零才能成立)． (4)若等比數(shù)列有2n項，公比為q，奇數(shù)項之和為S奇，偶數(shù)項之和為S偶，則＝q. (5)對于等比數(shù)列前n項和Sn，有： ①Sm＋n＝Sm＋qmSn； ②＝(q≠±1)． [課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練] A組——抓牢中檔小題 1．(2018·南京三模)若

12、等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，n∈N*，且a1＝1，S6＝3S3，則a7的值為________． 解析：由S6＝3S3，得(1＋q3)S3＝3S3.因為S3＝a1(1＋q＋q2)≠0，所以q3＝2，得a7＝4. 答案：4 2．(2018·南通三模)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若公差d＝2，a5＝10，則S10的值是________． 解析：法一：因為等差數(shù)列{an}中a5＝a1＋4d＝10，d＝2，所以a1＝2，所以S10＝10×2＋×2＝110. 法二：在等差數(shù)列{an}中，a6＝a5＋d＝12，所以S10＝＝5(a5＋a6)＝5×(10＋12)＝110. 答案：11

13、0 3．(2018·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(二))已知公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝4，則＝________. 解析：因為S10＝10a1＋d＝10a1＋45d，S5＝5a1＋d＝5a1＋10d，所以＝＝＝4，可得d＝2a1，故＝2. 答案：2 4．(2018·蘇中三市、蘇北四市三調(diào))已知{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和．若a3＝2，S12＝4S6，則a9的值為________． 解析：由S12＝4S6，當(dāng)q＝1，顯然不成立，所以q≠1，則＝4，因為≠0，所以1－q12＝4(1－q6)，即(1－q6)(q6－3)＝0，所以q6＝3或q＝－1，所以a9＝a3q6＝6或2.

14、 答案：2或6 5．若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q， 則a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3； b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2. 所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2， 所以＝1. 答案：1 6．已知公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝3，則的值為________． 解析：由題意＝＝3，化簡得d＝4a1， 則＝＝＝. 答案： 7．(2018·常州期末)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4

15、，則a3的最小值為________． 解析：依題意有a2a4＝a，a2a3a4＝(a3)3＝a2＋a3＋a4≥a3＋2＝3a3，整理有a3(a－3)≥0，因為an>0，所以a3≥，所以a3的最小值為. 答案： 8．(2018·鹽城期中)在數(shù)列{an}中，a1＝－2101，且當(dāng)2≤n≤100時，an＋2a102－n＝3×2n恒成立，則數(shù)列{an}的前100項和S100＝________. 解析：因為當(dāng)2≤n≤100時，an＋2a102－n＝3×2n恒成立， 所以a2＋2a100＝3×22，a3＋2a99＝3×23，…，a100＋2a2＝3×2100，以上99個等式相加， 得3(a2＋

16、a3＋…＋a100)＝3(22＋23＋…＋2100)＝3(2101－4)，所以a2＋a3＋…＋a100＝2101－4， 又因為a1＝－2101，所以S100＝a1＋(a2＋a3＋…＋a100)＝－4. 答案：－4 9．(2018·揚州期末)已知各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若4a4，a3,6a5成等差數(shù)列，且a3＝3a，則S3＝________. 解析：設(shè)各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q，則q>0，且a1>0， 由4a4，a3,6a5成等差數(shù)列，得2a3＝4a4＋6a5， 即2a3＝4a3q＋6a3q2，解得q＝. 又由a3＝3a，解得a1＝， 所以S

17、3＝a1＋a2＋a3＝＋＋＝. 答案： 10．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，S10＝16，S100－S90＝24，則S100＝________. 解析：依題意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列的公差為d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200. 答案：200 11．(2018·揚州期末)在正項等比數(shù)列{an}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，則a5＋a6的最小值為________． 解析：令a

18、1＋a2＝t(t>0)，則a4＋a3－2a2－2a1＝6可化為tq2－2t＝6(其中q為公比)，所以a5＋a6＝tq4＝q4＝6 ≥6＝48(當(dāng)且僅當(dāng)q＝2時等號成立)． 答案：48 12．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，an＋1＝2Sn＋2n，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 解析：當(dāng)n≥2時，an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＋2n－2n－1＝2an＋2n－1，從而an＋1＋2n＝3(an＋2n－1)． 又a2＝2a1＋2＝4，a2＋2＝6，故數(shù)列{an＋1＋2n}是以6為首項，3為公比的等比數(shù)列，從而an＋1＋2n＝6×3n－1，即an＋1＝2×

19、3n－2n，又a1＝1＝2×31－1－21－1，故an＝2×3n－1－2n－1. 答案：2×3n－1－2n－1 13．?dāng)?shù)列{an}中，若對?n∈N*，an＋an＋1＋an＋2＝k(k為常數(shù))，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，則該數(shù)列的前100項的和等于________． 解析：由an＋an＋1＋an＋2＝k，an＋1＋an＋2＋an＋3＝k，得an＋3＝an， 從而a7＝a1＝2，a9＝a3＝3，a98＝a2＝4， 因此a1＋a2＋a3＝9， 所以S100＝33(a1＋a2＋a3)＋a1＝33×9＋2＝299. 答案：299 14．(2018·無錫期末)已知等比數(shù)列{an}滿

20、足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差數(shù)列，則a1·a2·…·an的最大值為________． 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2a5＝a3a4＝2a3， 由于a3≠0，可得a4＝2. 因為a4，，2a7成等差數(shù)列， 所以2×＝a4＋2a7，可得a7＝， 由a7＝a4q3，可得q＝， 由a4＝a1q3，可得a1＝16， 從而an＝a1qn－1＝16×n－1. 法一：令an≥1可得n≤5，故當(dāng)1≤n≤5時，an≥1，當(dāng)n≥6時，0

21、24×23×22×…×25－n＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝2＝2. 因為n∈N*，所以當(dāng)且僅當(dāng)n＝4或5時，取得最大值10，從而Tn取得最大值T10＝210＝1 024. 答案：1 024 B組——力爭難度小題 1．已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋b(a＞0，b＞0)有兩個不同的零點m，n，且m，n和－2三個數(shù)適當(dāng)排序后，既可成為等差數(shù)列，也可成為等比數(shù)列，則a＋b的值為________． 解析：由題意可得m＋n＝a，mn＝b，因為a＞0，b＞0，可得m＞0，n＞0，又m，n，－2這三個數(shù)適當(dāng)排序后可成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，可得① 或② 解①得m＝4，n＝1，

22、解②得m＝1，n＝4. 所以a＝5，b＝4，則a＋b＝9. 答案：9 2．已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)且公比q>1，前n項積為Tn，且a2a4＝a3，則使得Tn>1的n的最小值為________． 解析：由a2a4＝a3得a＝a3，又{an}的各項均為正數(shù)，故a3＝1，T5＝a1a2a3a4a5＝a＝1，當(dāng)n＝6時，T6＝T5·a6，又公比q>1，a3＝1，故a6>1，T6>1. 答案：6 3．設(shè)a1，a2，…，a10成等比數(shù)列，且a1a2·…·a10＝32，設(shè)x＝a1＋a2＋…＋a10，y＝＋＋…＋，則＝________. 解析：由a1a2·…·a10＝32，得a1a2·

23、…·a10＝(a1a10)5＝32，則a1a10＝2，設(shè)公比為q，則a1a10＝aq9＝2，因為x＝a1＋a2＋…＋a10＝，y＝＋＋…＋＝＝，所以＝aq9＝2. 答案：2 4．(2018·南京考前模擬)數(shù)列{an}中，an＝2n－1，現(xiàn)將{an}中的項依原順序按第k組有2k項的要求進(jìn)行分組：(1,3)，(5,7,9,11)，(13,15,17,19,21,23)，…，則第n組中各數(shù)的和為________． 解析：設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn＝n2，因為2＋4＋…＋2n＝n(n＋1)＝n2＋n,2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)＝n2－n.所以第n組中各數(shù)的和為Sn2＋n－

24、Sn2－n＝(n2＋n)2－(n2－n)2＝4n3. 答案：4n3 5．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若2S4＝S2＋2，則S6的最小值為________． 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為2S4＝S2＋2， 當(dāng)q＝1時，則8a1＝2a1＋2，解得a1＝，所以S6＝2. 當(dāng)q≠1時，2×＝＋2，所以＝，則S6＝＝(1＋q2＋q4)＝＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)q2＝時取等號． 綜上可得S6的最小值為. 答案： 6．(2018·江蘇高考)已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}．將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列{an}．記Sn

25、為數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn>12an＋1成立的n的最小值為________． 解析：所有的正奇數(shù)和2n(n∈N*)按照從小到大的順序排列構(gòu)成{an}，在數(shù)列{an}中，25前面有16個正奇數(shù)，即a21＝25，a38＝26.當(dāng)n＝1時，S1＝1<12a2＝24，不符合題意；當(dāng)n＝2時，S2＝3<12a3＝36，不符合題意；當(dāng)n＝3時，S3＝6<12a4＝48，不符合題意；當(dāng)n＝4時，S4＝10<12a5＝60，不符合題意；……；當(dāng)n＝26時，S26＝＋＝441＋62＝503<12a27＝516，不符合題意；當(dāng)n＝27時，S27＝＋＝484＋62＝546>12a28＝540，符合題意．故使得Sn>12an＋1成立的n的最小值為27. 答案：27