6、四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形,再把它的邊沿虛線折起,做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒(如圖).設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x厘米,矩形紙板的兩邊AB,BC的長(zhǎng)分別為a厘米和b厘米,其中a≥b.
(1)當(dāng)a=90時(shí),求紙盒側(cè)面積的最大值;
(2)試確定a,b,x的值,使得紙盒的體積最大,并求出最大值.
解:(1)因?yàn)榫匦渭埌錋BCD的面積為3 600,
故當(dāng)a=90時(shí),b=40,
從而包裝盒子的側(cè)面積
S=2×x(90-2x)+2×x(40-2x)
=-8x2+260x,x∈(0,20).
因?yàn)镾=-8x2+260x=-8(x-16.25)2+2 112.5,
故當(dāng)x=16.25時(shí),紙盒側(cè)面
7、積最大,最大值為2 112.5平方厘米.
(2)包裝盒子的體積V=(a-2x)(b-2x)x=x[ab-2(a+b)x+4x2],x∈,b≤60.
V=x[ab-2(a+b)x+4x2]≤x(ab-4x+4x2)
=x(3 600-240x+4x2)=4x3-240x2+3 600x,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=60時(shí)等號(hào)成立.
設(shè)f(x)=4x3-240x2+3 600x,x∈(0,30).
則f′(x)=12(x-10)(x-30).
于是當(dāng)0<x<10時(shí),f′(x)>0,所以f(x)在(0,10)上單調(diào)遞增;
當(dāng)10<x<30時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在(10,30)上單調(diào)
8、遞減.
因此當(dāng)x=10時(shí),f(x)有最大值f(10)=16 000,此時(shí)a=b=60,x=10.
答:當(dāng)a=b=60,x=10時(shí)紙盒的體積最大,最大值為16 000立方厘米.
B組——大題增分練
1.(2018·常州期末)已知小明(如圖中①AB所示)身高1.8米,路燈OM高3.6米,AB,OM均垂直于水平地面,分別與地面交于點(diǎn)A,O.點(diǎn)光源從M發(fā)出,小明在地面上的影子記作AB′.
(1)小明沿著圓心為O,半徑為3米的圓周在地面上走一圈,求AB′掃過(guò)的圖形面積;
(2)若OA=3米,小明從A出發(fā),以1米/秒的速度沿線段AA1走到A1,∠OAA1=,且AA1=10米,如圖②所示.t秒時(shí)
9、,小明在地面上的影子長(zhǎng)度記為f(t)(單位:米),求f(t)的表達(dá)式與最小值.
解: (1) 由題意AB∥OM,===,OA=3,所以O(shè)B′=6.
小明在地面上的身影AB′掃過(guò)的圖形是圓環(huán),其面積為π×62-π×32=27π(平方米).
(2) 經(jīng)過(guò)t秒,小明走到了A0處,身影為A0B0′,
由(1)知==,
所以f(t)=A0B0′=OA0
=,
化簡(jiǎn)得f(t)== ,0
10、皮ABCD進(jìn)行裁剪.已知點(diǎn)F為AD的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上,裁剪時(shí)先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點(diǎn)C,D分別落在直線BC下方點(diǎn)M,N處,F(xiàn)N交邊BC于點(diǎn)P),再沿直線PE裁剪.
(1)當(dāng)∠EFP=時(shí),試判斷四邊形MNPE的形狀,并求其面積;
(2)若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大,請(qǐng)給出裁剪方案,并說(shuō)明理由.
解:(1)當(dāng)∠EFP=時(shí),由條件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=,
所以∠FPE=,即FN⊥BC,
所以四邊形MNPE為矩形,此時(shí)PN=FN-PF=3-2=1 (m),所以四邊形MNPE的面積S=PN·MN=2(m2).
(2)法一:設(shè)∠EFD=θ,
由
11、條件,知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ.
所以PF==,
NP=NF-PF=3-,ME=3-.
由得
所以四邊形MNPE面積為S=(NP+ME)MN
=×2=6--
=6--=6-
≤6-2 =6-2.
當(dāng)且僅當(dāng)tan θ=,即tan θ=,θ=時(shí)取“=”.
此時(shí),(*)成立.
答:當(dāng)∠EFD=時(shí),沿直線PE裁剪,四邊形MNPE的面積最大,最大值為m2.
法二:設(shè)BE=t m,3
12、四邊形MNPE面積為
S=(NP+ME)MN
=×2=
=6-≤6-2.
當(dāng)且僅當(dāng)(t-3)=,即t=3+=3+時(shí)取“=”. 此時(shí),(*)成立.
答:當(dāng)點(diǎn)E距B點(diǎn)3+ m時(shí),沿直線PE裁剪,四邊形MNPE的面積最大,最大值為(6-2)m2.
3.(2018·揚(yáng)州期末)如圖,射線OA和OB均為筆直的公路,扇形OPQ區(qū)域(含邊界)是一蔬菜種植園,其中P,Q分別在射線OA和OB上.經(jīng)測(cè)量得,扇形OPQ的圓心角(即∠POQ)為、半徑為1千米,為了方便菜農(nóng)經(jīng)營(yíng),打算在扇形OPQ區(qū)域外修建一條公路MN,分別與射線OA,OB交于M,N兩點(diǎn),并要求MN與扇形弧相切于點(diǎn)S.設(shè)∠POS=α(單位:弧度
13、),假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計(jì).
(1) 試將公路MN的長(zhǎng)度表示為α的函數(shù),并寫(xiě)出α的取值范圍;
(2) 試確定α的值,使得公路MN的長(zhǎng)度最小,并求出其最小值.
解:(1) 因?yàn)镸N與扇形弧相切于點(diǎn)S,
所以O(shè)S⊥MN.
在Rt△OSM中,因?yàn)镺S=1,∠MOS=α,
所以SM=tan α.
在Rt△OSN中,∠NOS=-α,
所以SN=tan,
所以MN=tan α+tan=,
其中<α<.
(2) 法一:(基本不等式) 因?yàn)?α<,
所以tan α-1>0.
令t=tan α-1>0,則tan α=(t+1),
所以MN=.
由基本不等式得MN≥·=2,
14、當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=2時(shí)取“=”.
此時(shí)tan α=,由于<α<,故α=.
答:當(dāng)α=時(shí),MN的長(zhǎng)度最小,為2千米.
法二:(三角函數(shù)) MN=
==
=.
因?yàn)?α<,所以<2α-<,
故
15、AB.問(wèn):A,B兩點(diǎn)應(yīng)選在何處可使得小道AB最短?
解:法一:如圖,分別由兩條道路所在直線建立直角坐標(biāo)系xOy,則C(1,1).
設(shè)A(a,0),B(0,b)(0<a<1,0<b<1),則直線AB方程為+=1,即bx+ay-ab=0.
因?yàn)锳B與圓C相切,所以=1.
化簡(jiǎn)得ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2.
因此AB= =
= = .
因?yàn)?<a<1,0<b<1,
所以0<a+b<2,于是AB=2-(a+b).
又ab=2(a+b)-2≤2,
解得0<a+b≤4-2,或a+b≥4+2(舍去).
所以AB=2-(a+b)≥2-(4-2)=2-2,當(dāng)
16、且僅當(dāng)a=b=2-時(shí)取等號(hào),
所以AB最小值為2-2,此時(shí)a=b=2-.
故當(dāng)A,B兩點(diǎn)離道路的交點(diǎn)都為2-(百米)時(shí),小道AB最短.
法二:如圖,設(shè)圓C與道路1,道路2,AB的切點(diǎn)分別為E,F(xiàn),D,連結(jié)CE,CA,CD,CB,CF.
設(shè)∠DCE=θ,θ∈,
則∠DCF=-θ.
在Rt△CDA中,AD=tan.
在Rt△CDB中,BD=tan.
所以AB=AD+BD=tan+tan
=tan+.
令t=tan,0<t<1,
則AB=f(t)=t+=t+1+-2≥2-2,
當(dāng)且僅當(dāng)t=-1時(shí)取等號(hào).
所以AB最小值為2-2,此時(shí)A,B兩點(diǎn)離兩條道路交點(diǎn)的距離是1-(-1)=2-.
故當(dāng)A,B兩點(diǎn)離道路的交點(diǎn)都為2-(百米)時(shí),小道AB最短.