江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 14個(gè)填空題強(qiáng)化練(十一)直線與圓(含解析)
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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 14個(gè)填空題強(qiáng)化練(十一)直線與圓(含解析) 題型一 直線的方程 1.已知直線l:ax+y-2-a=0在x軸和y軸上的截距相等,則a的值為_(kāi)_______. 解析:由題意可知a≠0.當(dāng)x=0時(shí),y=a+2. 當(dāng)y=0時(shí),x=. 所以=a+2,解得a=-2或a=1. 答案:-2或1 2.將直線y=3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,再向右平移1個(gè)單位,所得到的直線方程為_(kāi)_______________. 解析:將直線y=3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線y=-x,再向右平移1個(gè)單位,所得直線的方程為y=-(x-1),即x+3y-1=0.
2、 答案:x+3y-1=0 3.若直線y=2x+10,y=x+1,y=ax-2交于一點(diǎn),則a=________. 解析:直線y=2x+10與y=x+1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-9,-8),代入y=ax-2,得-8=a·(-9)-2,解得a=. 答案: 4.點(diǎn)A(1,1)到直線xcos θ+ysin θ-2=0的距離的最大值為_(kāi)_______. 解析:由點(diǎn)到直線的距離公式,得 d==2-sin, 又θ∈R,所以dmax=2+. 答案:2+ [臨門(mén)一腳] 1.求直線方程的一般方法 (1)直接法:根據(jù)條件,選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式,直接寫(xiě)出方程. (2)待定系數(shù)法:先設(shè)出方程,再根據(jù)條件
3、求出待定系數(shù). 2.五種直線方程靈活選擇,要牢記用斜率首先考慮斜率不存在;用截距要考慮截距為0或不存在的情況,不能出現(xiàn)漏解的情況. 題型二 圓的方程 1.已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個(gè)圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________________. 解析:由(2k)2+42-4(3k+8)=4(k2-3k-4)>0,解得k<-1或k>4. 答案:(-∞,-1)∪(4,+∞) 2.圓心在y軸上且過(guò)點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切,則該圓的方程是________________. 解析:設(shè)圓心為(0,b),半徑為r,則r=|b|, 所以圓的方程為x2+(y-b)2=b2
4、. 因?yàn)辄c(diǎn)(3,1)在圓上, 所以9+(1-b)2=b2,解得b=5. 所以圓的方程為x2+(y-5)2=25. 答案:x2+(y-5)2=25 3.已知圓x2+y2+2x-4y+a=0關(guān)于直線y=2x+b成軸對(duì)稱(chēng)圖形,則a-b的取值范圍是________. 解析:由題意知,直線y=2x+b過(guò)圓心,而圓心坐標(biāo)為(-1,2),故b=4,圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=5-a,所以a<5,由此,得a-b<1. 答案:(-∞,1) 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1:(x-4)2+(y-8)2=1,圓C2:(x-6)2+(y+6)2=9.若圓心在x軸上的圓C同
5、時(shí)平分圓C1和圓C2的圓周,則圓C的方程是____________. 解析:法一:設(shè)圓C的半徑為r,圓心坐標(biāo)為C(a,0). 因?yàn)閳AC平分圓C1的圓周, 所以r2=CC+1. 同理可得r2=CC+9, 所以 CC=CC+8, 即(a-4)2+82=(a-6)2+62+8,解得a=0, 從而得r2=CC+1=42+82+1=81, 故圓C的方程為x2+y2=81. 法二:設(shè)圓C的方程為:(x-a)2+y2=r2. 則圓C與C1的公共弦方程為 (2a-8)x-16y+79+r2-a2=0.(*) 因?yàn)閳AC平分圓C1的圓周, 所以直線(*)經(jīng)過(guò)圓C1的圓心, 即a2-8a
6、-r2+81=0.① 同理,由圓C平分圓C2的圓周,得 a2-12a-r2+81=0,② 聯(lián)立①②得a=0,r2=81. 故圓C的方程為x2+y2=81. 答案:x2+y2=81 [臨門(mén)一腳] 1.三個(gè)獨(dú)立條件確定一個(gè)圓,一般用待定系數(shù)法,如果已知圓心或半徑可用標(biāo)準(zhǔn)式;如果已知圓經(jīng)過(guò)某些點(diǎn)常用一般式.并要注重圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化. 2.不能忘記求圓的方程時(shí),圓的一般式方程要滿(mǎn)足的條件D2+E2-4F>0. 3.如果遇到求解與三角形有關(guān)的圓的方程,應(yīng)該研究三角形特征如等邊三角形或直角三角形的外接圓和內(nèi)切圓,更容易用標(biāo)準(zhǔn)式求解. 題型三 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 1
7、.若直線l1:y=x+a和直線l2:y=x+b將圓(x-1)2+(y-2)2=8分成長(zhǎng)度相等的四段弧,則a2+b2=________. 解析:不妨設(shè)a>b,由題意可知,每段圓弧的圓心角為90°,故弦心距為2,從而由=2及=2,得a=2+1,b=-2+1,故a2+b2=18. 答案:18 2.(2018·鎮(zhèn)江高三期末)已知圓C與圓x2+y2+10x+10y=0相切于原點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)A(0,-6),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________. 解析:由題意可知,圓C的圓心在直線y=x上,設(shè)圓C的圓心為(a,a),半徑為r,則r2=a2+a2=a2+(a+6)2,解得a=-3,所以圓心為
8、(-3,-3),r2=18,圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+(y+3)2=18. 答案:(x+3)2+(y+3)2=18 3.過(guò)點(diǎn)P(-4,0)的直線l與圓C:(x-1)2+y2=5相交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A恰好是線段PB的中點(diǎn),則直線l的方程為_(kāi)_______________. 解析:根據(jù)題意,由于(-4-1)2>5,所以點(diǎn)P在圓C外,過(guò)圓心C作CM⊥AB于M,連結(jié)AC.易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x+4),即kx-y+4k=0,則CM==,AM==.又點(diǎn)A恰好是線段PB的中點(diǎn),所以PM=3AM,在Rt△PMC中,CM2+PM2=PC2,即+=25,得180k2=20,即
9、k=±,故直線l的方程為x±3y+4=0. 答案:x±3y+4=0 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,-2),點(diǎn)B(1,-1),P為圓x2+y2=2上一動(dòng)點(diǎn),則的最大值是________. 解析:法一:設(shè)點(diǎn)P(x,y),則x2+y2=2, 所以= ===, 令λ=, 則x+(2λ-1)y+3λ-2=0, 由題意,直線x+(2λ-1)y+3λ-2=0與圓x2+y2=2有公共點(diǎn), 所以≤,解得0<λ≤4, 所以的最大值為2. 法二:當(dāng)AP不與圓相切時(shí),設(shè)AP與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D, 由條件AB與圓C相切,則∠ABP=∠ADB, 所以△ABP∽△ADB, 所以==
10、≤=2, 所以的最大值為2. 答案:2 [臨門(mén)一腳] 1.直線與圓的位置關(guān)系用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系判定較好. 2.涉及圓的切線時(shí),要考慮過(guò)切點(diǎn)與切線垂直的半徑,計(jì)算弦長(zhǎng)時(shí),要注意應(yīng)用半徑、弦心距、半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形. 3.根據(jù)相交、相切的位置關(guān)系求直線方程時(shí),要注意先定性再定量,不能漏解. 4.圓上存在一點(diǎn)的存在性問(wèn)題可以通過(guò)求解動(dòng)點(diǎn)軌跡轉(zhuǎn)化為位置關(guān)系問(wèn)題. B組——高考提速練 1.“a=1”是“直線ax-y+2a=0與直線(2a-1)x+ay+a=0互相垂直”的____________條件(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
11、 解析:∵兩直線互相垂直,∴a·(2a-1)+(-1)·a=0,即2a2-2a=0,解得a=0或a=1. 答案:充分不必要 2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-5,-4),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5的直線方程是________________________________________________________________________. 解析:由題意設(shè)所求方程為y+4=k(x+5),即kx-y+5k-4=0.由·|5k-4|·=5,得k=或k=,故所求直線方程為8x-5y+20=0或2x-5y-10=0. 答案:8x-5y+20=0或2x-5y-10=0 3.圓心在直線2x-y
12、-7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0,-4),B(0,-2),則圓C的方程為_(kāi)______________________. 解析:因?yàn)閳A過(guò)A(0,-4),B(0,-2),所以圓心C的縱坐標(biāo)為-3,又圓心C在直線2x-y-7=0上,所以圓心C為(2,-3),從而圓的半徑為r=AC==,故所求的圓C的方程為(x-2)2+(y+3)3=5. 答案:(x-2)2+(y+3)3=5 4.已知圓C:x2+y2+mx-4=0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x-y+3=0對(duì)稱(chēng),則實(shí)數(shù)m的值是________. 解析:因?yàn)閳A上兩點(diǎn)A,B關(guān)于直線x-y+3=0對(duì)稱(chēng),所以直線x-y+3=0過(guò)圓心,從而-+3=0,即m=
13、6. 答案:6 5.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓x2-4x+y2+2=0相切的直線方程為_(kāi)_______. 解析:圓x2-4x+y2+2=0的圓心為(2,0),半徑為,易知過(guò)原點(diǎn)與該圓相切時(shí),直線有斜率.設(shè)斜率為k,則直線方程為y=kx,則=, 所以k2=1,所以k=±1,所以直線方程為y=±x. 答案:y=±x 6.已知圓C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圓C2與圓C1關(guān)于直線x-y-1=0對(duì)稱(chēng),則圓C2的方程為_(kāi)____________________________________________________. 解析:由題意得C1(-1,1),圓心C2與C1關(guān)于直線x-y-1=
14、0對(duì)稱(chēng),且半徑相等,則C2(2,-2),所以圓C2的方程為(x-2)2+(y+2)2=1. 答案:(x-2)2+(y+2)2=1 7.已知直線x+y-a=0與圓C:(x-2)2+(y+2)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且△ABC為等腰直角三角形,則實(shí)數(shù)a=________. 解析:由題意得圓的圓心為C(2,-2),半徑為2,由△ABC為等腰直角三角形可知圓心到直線的距離為,所以=,所以a=±2. 答案:±2 8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若與點(diǎn)A(2,2)的距離為1且與點(diǎn)B(m,0)的距離為3的直線恰有兩條,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________. 解析:由題意知,以A(2
15、,2)為圓心,1為半徑的圓與以B(m,0)為圓心,3為半徑的圓相交,所以4<(m-2)2+4<16,所以-2+2 16、為y-0=(x+1),即3x-4y+3=0,故點(diǎn)B到直線l的距離為=1.
答案:1
10.已知圓C:x2+y2-4x-2y-20=0,直線l:4x-3y+15=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn),D為圓C上異于A,B兩點(diǎn)的任一點(diǎn),則△ABD面積的最大值為_(kāi)_________.
解析:因?yàn)閳AC的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=25,所以圓心C(2,1),半徑r=5,所以圓心C到直線l:4x-3y+15=0的距離為d==4,所以AB=2=2=6,因?yàn)镈為圓C上異于A,B兩點(diǎn)的任一點(diǎn),所以D到直線AB即直線l:4x-3y+15=0的距離的最大值為d+r=9,所以△ABD面積的最大值為×6×9=27 17、.
答案:27
11.設(shè)△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A(3,-1),∠B,∠C的平分線方程分別為x=0,y=x,則直線BC的方程是________.
解析:點(diǎn)A(3,-1)關(guān)于直線x=0,y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′(-3,-1),A″(-1,3)且都在直線BC上,故得直線BC的方程為2x-y+5=0.
答案:2x-y+5=0
12.已知點(diǎn)P(t,2t)(t≠0)是圓C:x2+y2=1內(nèi)一點(diǎn),直線tx+2ty=m與圓C相切,則直線l:x+y+m=0與圓C的位置關(guān)系是________.
解析:由點(diǎn)P(t,2t)(t≠0)是圓C:x2+y2=1內(nèi)一點(diǎn),得|t|<1.因?yàn)橹本€tx+2ty=m與圓C相切, 18、所以=1,所以|m|<1.圓C:x2+y2=1的圓心(0,0)到直線x+y+m=0的距離d=<1=r.所以直線l與圓C的位置關(guān)系為相交.
答案:相交
13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)點(diǎn)M(1,0)的直線l與圓x2+y2=5交于A,B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)在第一象限,且=2,則直線l的方程為_(kāi)________.
解析:由題意,設(shè)直線l的方程為x=my+1,與圓x2+y2=5聯(lián)立,可得(m2+1)y2+2my-4=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則-y2=2y1,y1+y2=-,y1y2=-,
聯(lián)立解得m=1,∴直線l的方程為x-y-1=0.
答案:x-y-1=0
14.在平面 19、直角坐標(biāo)系xOy中,圓O:x2+y2=1,圓M:(x+a+3)2+(y-2a)2=1(a為實(shí)數(shù)).若圓O與圓M上分別存在點(diǎn)P,Q,使得∠OQP=30°,則a的取值范圍為_(kāi)_______.
解析:過(guò)Q作圓O的切線QR,切點(diǎn)為R,
根據(jù)圓的切線性質(zhì),有∠OQR≥∠OQP=30°;
反過(guò)來(lái),如果∠OQR≥30°,則存在圓O上的點(diǎn)P,使得∠OQP=30°.
所以,若圓O上存在點(diǎn)P,使得∠OQP=30°,則∠OQR≥30°.
因?yàn)镺P=1,所以O(shè)Q>2時(shí)不成立,所以O(shè)Q≤2,
即點(diǎn)Q在圓面x2+y2≤4上.
又因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上,
所以圓M:(x+a+3)2+(y-2a)2=1與圓面x2+y2≤4有公共點(diǎn),所以O(shè)M≤3.
因?yàn)镺M2=(0+a+3)2+(0-2a)2,
所以(0+a+3)2+(0-2a)2≤9,
解得-≤a≤0.
答案:
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