江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 14個(gè)填空題強(qiáng)化練（六）解三角形（含解析）

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 14個(gè)填空題強(qiáng)化練（六）解三角形（含解析） 題型一　正弦定理和余弦定理 1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝4，b＝5，c＝6，則＝________. 解析：由正弦定理得＝， 由余弦定理得cos A＝， ∵a＝4，b＝5，c＝6， ∴＝＝2··cos A ＝2××＝1. 答案：1 2．在銳角△ABC中，AB＝3，AC＝4.若△ABC的面積為3，則BC的長是________． 解析：因?yàn)镾△ABC＝AB·ACsin A，所以3＝×3×4×sin A，所以sin A＝，因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以A＝

2、60°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，解得BC＝. 答案： 3．已知在△ABC中，A＝120°，AB＝，角B的平分線BD＝，則BC＝________. 解析：在△ABD中，由正弦定理得＝， ∴sin∠ADB＝＝，∴∠ADB＝45°， ∴∠ABD＝15°，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝30°， ∴AC＝AB＝.在△ABC中，由余弦定理得 BC＝ ＝. 答案： 4．在斜三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若＋＝，則的最大值為________． 解析：由＋＝可得， ＋＝， 即＝， ∴＝， 即＝， ∴sin2C＝sin A

3、sin Bcos C. 根據(jù)正弦定理及余弦定理可得， c2＝ab·，整理得a2＋b2＝3c2. ∴＝＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立． 答案： [臨門一腳] 1．正弦定理的應(yīng)用： (1)已知兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角； (2)已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其他的邊和角． 2．利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題： (1)已知三邊，求三個(gè)角； (2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角． 3．要注意運(yùn)用a>b?A>B?sin A>sin B對所求角的限制，控制解的個(gè)數(shù)． 4．對邊、角混合的問題的處理辦法一般是實(shí)施邊、角統(tǒng)一，而

4、正弦定理、余弦定理在實(shí)施邊和角相互轉(zhuǎn)化時(shí)有重要作用，如果邊是一次式，一般用正弦定理轉(zhuǎn)化，如果邊是二次式，一般用余弦定理． 5．對“銳角三角形”的概念要充分應(yīng)用，必須三個(gè)角都是銳角的三角形才是銳角三角形，防止角范圍的擴(kuò)大． 題型二　解三角形的實(shí)際應(yīng)用 1.如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A、B兩點(diǎn)的距離為________m. 解析：∠B＝180°－∠ACB－∠CAB＝30°，由正弦定理得，AB＝＝＝50(m)． 答案：50 2.如圖，兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、

5、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD的大小是________． 解析：∵AD2＝602＋202＝4 000， AC2＝602＋302＝4 500. 在△CAD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝＝， ∴∠CAD＝45°. 答案：45° 3.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為________米． 解析：依題意得OD＝100米，CD＝150米，連接OC，易

6、知∠ODC＝180°－∠AOB＝60°，因此由余弦定理有OC2＝OD2＋CD2－2OD·CD·cos∠ODC，即OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500， ∴OC＝50(米)． 答案：50 [臨門一腳] 1．理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、視角、方位角等． 2．測量問題和追擊問題關(guān)鍵是構(gòu)建三角形，利用正余弦定理研究． 3．幾何圖形中長度和面積的最值問題的研究關(guān)鍵是選好參數(shù)(邊、角或者建立坐標(biāo)系)，構(gòu)建函數(shù)來研究，不要忽視定義域的研究． B組——高考提速練 1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝，b＝1，c＝2，則A等于_

7、_______． 解析：∵cos A＝＝＝， 又∵0°

8、艘船上午8：00在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午8：30到達(dá)B處，此時(shí)又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距4 n mile，則此船的航行速度是________n mile/h. 解析：在△ABS中，由正弦定理，有＝， ∴AB＝＝8， 故此船的航行速度是8÷＝16(n mile/h)． 答案：16 5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B＝45°，C＝60°，c＝2，則最短邊的邊長等于______． 解析：可知A＝75°，角B最小，所以b邊最小，由正弦定理＝，得＝，解得b＝. 答案： 6．在△ABC中，角A，B，C

9、所對的邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，則角A的大小為________． 解析：由sin B＋cos B＝，得sin＝1，所以B＋＝，B＝，由正弦定理＝，得sin A＝＝＝.又因?yàn)閎>a，所以B>A，所以A＝. 答案： 7．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若a2－c2＝3b，且sin B＝8cos Asin C，則邊b＝________. 解析：由sin B＝8cos Asin C及正、余弦定理，知b＝8c·，整理得a2＝b2＋c2，與a2－c2＝3b聯(lián)立解得b＝4. 答案：4 8.如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別

10、為67°，30°，此時(shí)氣球的高度是46 m，則河流的寬度BC約等于________m．(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位．參考數(shù)據(jù)：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) 解析：過A作BC邊上的高AD，D為垂足．在Rt△ACD中，AC＝92，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝×sin∠BAC＝×sin 37°≈×0.60＝60(m)． 答案：60 9．在△ABC中，已知AB＝，C＝，則·的最大值為________． 解析：因?yàn)锳B＝，C＝，設(shè)角A，B，C所對的邊為a，b，c，所以由余弦定理得3＝a2＋b2－2ab

11、cos＝a2＋b2－ab≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號成立，又·＝abcos C＝ab，所以當(dāng)a＝b＝時(shí)，(·)max＝. 答案： 10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tan C＝________. 解析：因?yàn)?S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，由面積公式與余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，＝4，所以＝4，解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)． 答案：－ 11．在銳角三角形ABC中，A＝2B，B，C

12、的對邊長分別是b，c，則的取值范圍是________． 解析：A＝2B<，A＋B＝3B>，所以

13、yA＝，即yA＝，又雙曲線方程為－＝1，代入可得xA＝， 所以·＝·＝－1＋3＝. 答案： 13．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsin A，則C＝________. 解析：因?yàn)閍2＝3b2＋3c2－2bcsin A＝b2＋c2－2bccos A，所以＝sin A－cos A＝2sin. 又＝＋≥2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號)，2sin≤2，當(dāng)且僅當(dāng)A＝時(shí)取等號，故＝2sin＝2，所以b＝c，A＝，故C＝. 答案： 14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若△ABC為銳角三角形，且滿足b2－a2＝ac，則－的取值范圍是________． 解析：由余弦定理得b2－a2＝(a2＋c2－2accos B)－(b2＋c2－2bccos A)＝a2－b2＋2c(bcos A－acos B)，即b2－a2＝c(bcos A－acos B)＝ac?bcos A－acos B＝a?sin(B－A)＝sin A?B＝2A.又△ABC為銳角三角形，所以