江蘇省2022高考數學二輪復習 專題三 解析幾何 3.4 專題提能—“解析幾何”專題提能課達標訓練（含解析）

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1、江蘇省2022高考數學二輪復習 專題三 解析幾何 3.4 專題提能—“解析幾何”專題提能課達標訓練（含解析） 1．過點P(2，－1)且傾斜角的正弦值為的直線方程為________________________． 解析：設所求直線的傾斜角為α，則由題設知sin α＝，因為0≤α<π， 所以cos α＝±＝±，所以tan α＝＝±，則所求直線方程為y＋1＝±(x－2)，即5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0. 答案：5x－12y－22＝0或5x＋12y＋2＝0 2．若橢圓的短軸長為2，長軸是短軸的2倍，則橢圓的中心到其準線的距離是________． 解析：因為短軸長為2，即b

2、＝1，所以a＝2，則橢圓的中心到其準線的距離是. 答案： 3．設雙曲線的漸近線為y＝±x，則其離心率為________． 解析：由題意可得＝或＝，從而e＝＝＝或. 答案：或 4．若關于x的方程 ＝a(x－1)＋1有兩個不相等的實數根，那么實數a的取值范圍是________． 解析：作出函數y＝的圖象，它是單位圓的上半部分，作出直線y＝a(x－1)＋1，它是過點A(1,1)的直線，由圖象可知，實數a的取值范圍是. 答案： B組——方法技巧練 1．已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點．若|AB|＝2，則

3、|CD|＝________. 解析：由直線l：mx＋y＋3m－＝0知其過定點(－3，)，圓心O到直線l的距離為d＝. 由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直線l 的斜率為－m＝，所以直線l的傾斜角α＝. 畫出符合題意的圖形如圖所示，過點C作CE⊥BD，則∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4. 答案：4 2.如圖，設F1，F2分別是橢圓E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為________． 解析：設F1(－c,0)，F2(c,0)，

4、其中c＝， 則可設A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|， 可得＝3，故 即代入橢圓方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故橢圓方程為x2＋＝1. 答案：x2＋y2＝1 3．橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點F(c,0)關于直線y＝x的對稱點Q在橢圓上，則橢圓的離心率是________． 解析：法一：設橢圓的另一個焦點F1(－c,0)，如圖，連結QF1，QF，設QF與直線y＝x交于點M，又題意知M為線段QF的中點，且OM⊥FQ，O為線段F1F的中點， ∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，F1Q＝2OM. 在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，OF＝c. 解得OM＝，

5、MF＝，故QF＝2MF＝，QF1＝2OM＝. 由橢圓的定義QF＋QF1＝＋＝2a，整理得b＝c，∴a＝＝c， 故e＝. 法二：設Q(x0，y0)，則FQ的中點坐標為，kFQ＝. 依題意得 解得 又因為(x0，y0)在橢圓上，所以＋＝1. 令e＝，則4e6＋e2＝1，故離心率e＝. 答案： 4．若橢圓＋＝1(a>b>0)上存在一點M，它到左焦點的距離是它到右準線距離的2倍，則橢圓離心率的最小值為________. 解析：由題意，設點M的橫坐標為x，根據焦半徑公式得，a＋ex＝2，x＝，有－a≤≤a，不等式各邊同除以a，得－1≤≤1，則－1≤e＋2，即e2＋3e－2≥0，又0

6、

7、DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面積為，求該橢圓的標準方程． 解：設F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2. 由＝2，得|DF1|＝＝c. 從而S△DF1F2＝|DF1|·|F1F2|＝c2＝，故c＝1. 從而|DF1|＝.由DF1⊥F1F2，得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，因此|DF2|＝， 所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2， 故a＝，b2＝a2－c2＝1. 所以所求橢圓的標準方程為＋y2＝1. C組——創(chuàng)新應用練 1．設m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|·|PB

8、|的最大值是________． 解析：易求定點A(0,0)，B(1,3)．當P與A和B均不重合時，不難驗證PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(當且僅當|PA|＝|PB|＝時，等號成立)，當P與A或B重合時，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5. 答案：5 2．已知O為坐標原點，F是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為________． 解析：如圖所示，由題意得 A(－

9、a,0)，B(a,0)，F(－c,0)． 設E(0，m)， 由PF∥OE，得＝， 則|MF|＝.① 又由OE∥MF，得＝， 則|MF|＝.② 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝. 答案： 3．設點M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是________． 解析：依題意，直線MN與圓O有公共點即可，即圓心O到直線MN的距離小于等于1即可，過O作OA⊥MN，垂足為A，在Rt△OMA中，因為∠OMA＝45°，故|OA|＝|OM|sin 45°＝|OM|≤1，所以|OM|≤，則≤，解得－1≤x1≤1. 答案：[－1,

10、1] 4．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點M使得＝，則該橢圓離心率的取值范圍為________． 解析：在△MF1F2中，＝， 而＝， ∴＝＝.① 又M是橢圓＋＝1上一點，F1，F2是橢圓的焦點， ∴|MF1|＋|MF2|＝2a.② 由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝. 顯然|MF2|>|MF1|， ∴a－c<|MF2|0，∴e2＋2e－1>0，又0b>0)，四點P1(1

11、,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三點在橢圓C上． (1)求C的方程； (2)設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為－1，證明：l過定點． 解：(1)由于P3，P4兩點關于y軸對稱， 故由題設知橢圓C經過P3，P4兩點． 又由＋>＋知，橢圓C不經過點P1， 所以點P2在橢圓C上． 因此解得 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明：設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2. 如果l與x軸垂直，設l：x＝t，由題設知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐標分別為，. 則k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合題設． 從而可

12、設l：y＝kx＋m(m≠1)． 將y＝kx＋m代入＋y2＝1得 (4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 由題設可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 而k1＋k2＝＋ ＝＋ ＝. 由題設k1＋k2＝－1， 故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0. 即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0. 解得k＝－. 當且僅當m>－1時，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l過定點(2，－1)． 6.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的中心在原點O，右焦點F在x軸上，橢

13、圓與y軸交于A，B兩點，其右準線l與x軸交于T點，直線BF交橢圓于C點，P為橢圓上弧AC上的一點． (1)求證：A，C，T三點共線； (2)如果＝3，四邊形APCB的面積最大值為，求此時橢圓的方程和P點坐標． 解：(1)證明：設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，① 則A(0，b)，B(0，－b)，T， AT：＋＝1，② BF：＋＝1，③ 聯立②③，解得交點C，代入①得： ＋＝＝1. 滿足①式，則C點在橢圓上，A，C，T三點共線． (2)過C作CE⊥x軸，垂足為E(圖略)，則△OBF∽△ECF. ∵＝3，CE＝b，EF＝c，則C，代入①得： ＋＝1，∴a2＝2c2，b2＝c2. 設P(x0，y0)，則x0＋2y＝2c2， 此時C，AC＝c，S△ABC＝·2c·＝c2， 直線AC的方程為x＋2y－2c＝0， 點P到直線AC的距離為d＝＝， S△APC＝d·AC＝··c＝·c. 只需求x0＋2y0的最大值． ∵(x0＋2y0)2＝x＋4y＋2·2x0y0≤x＋4y＋2(x＋y)＝3(x＋2y)＝6c2， ∴x0＋2y0≤c， 當且僅當x0＝y0＝c時，(x0＋2y0)max＝c. ∴四邊形的面積最大值為c2＋c2＝c2＝， ∴c2＝1，a2＝2，b2＝1， 此時橢圓方程為＋y2＝1，P點坐標.