江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角 1.5 專題提能—“三角”專題提能課達(dá)標(biāo)訓(xùn)練(含解析)

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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角 1.5 專題提能—“三角”專題提能課達(dá)標(biāo)訓(xùn)練(含解析) 1.在三角形ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,a=1,B=2A且c

2、ABC中,已知AB=,cos B=,AC邊上的中線BD=,則sin A的值為_(kāi)_______. 解析:設(shè)E為BC的中點(diǎn),連結(jié)DE,則DE∥AB,且DE=AB=,設(shè)BE=x, 在△BDE中,由余弦定理可得, 5=x2++2××x, 解得x=1或x=-(舍去), 故BC=2,從而AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=, 即AC=, 又sin B=,故=,sin A=. 答案: 4.若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,則α+β的值是________. 解析:∵sin 2α=,α∈, ∴cos 2α=-且α∈. 又∵sin(β-α)=,β∈, ∴co

3、s(β-α)=-. 因此sin(β+α)=sin[(β-α)+2α] =sin(β-α)cos 2α+cos(β-α)sin 2α =×+× =-, cos(β+α)=cos[(β-α)+2α] =cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α =×-× =, 又α+β∈, ∴α+β=. 答案: B組——方法技巧練 1.在正△ABC中,D是BC邊上的點(diǎn),AB=3,BD=1,則·=________. 解析:∵=+=+=+(-)=+, ∴·=2+·=×32+×3×3×=. 答案: 2.若關(guān)于x的方程sin x+cos x=k在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,

4、則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_______. 解析:方程sin x+cos x=k在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解等價(jià)于y=sin x+cos x與y=k在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn).又y=sin x+cos x=2sin,x∈,作出函數(shù)y=2sin,x∈與y=k的函數(shù)圖象如圖所示,由圖象可知,當(dāng)k∈[,2)時(shí)原方程有兩解. 答案:[,2) 3.設(shè)f(x)=sin4x-sin xcos x+cos4x,則f(x)的值域是________. 解析:f(x)=sin4x-sin xcos x+cos4x=1-sin 2x-sin22x. 令t=sin 2x∈[-1,1], 則g(t)=1-t-t2=-2,

5、 所以g(t)min=g(1)=0,g(t)max=g=, 即f(x)的值域是. 答案: 4.已知向量a,b,滿足|a|=1,a與b的夾角為,若對(duì)一切實(shí)數(shù)x,|xa+2b|≥|a+b|恒成立,則|b|的取值范圍是________. 解析:由|a|=1,a與b的夾角為,可得a·b=|b|,對(duì)|xa+2b|≥|a+b| 兩邊平方可得,x2a2+4xa·b+4b2≥a2+2a·b+b2,化簡(jiǎn)得x2+2x|b|+3|b|2-|b|-1≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立. 所以Δ=4|b|2-4(3|b|2-|b|-1)≤0,解得|b|≥1. 答案:[1,+∞) 5.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)

6、邊分別為a,b,c,若+=. (1)求證:0

7、8, 即|+|=2. 6.在△ABC中,已知tan A·tan B-tan A-tan B=. (1)求角C的大??; (2)設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若c=2,且△ABC是銳角三角形,求a2+b2的取值范圍; (3)若△ABC的面積為,求△ABC的周長(zhǎng)的最小值. 解:(1)由已知得,tan C=-tan (A+B)=-=-=,因?yàn)?

8、,所以ab=4. 周長(zhǎng)l=a+b+c=a+b+=a+b+, 因?yàn)閍+b≥2=4,所以l≥6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),所以周長(zhǎng)的最小值為6. C組——?jiǎng)?chuàng)新應(yīng)用練 1.直線y=2x和圓x2+y2=1交于A,B兩點(diǎn),以O(shè)x為始邊,OA,OB為終邊的角分別為α,β,則sin(α+β)的值為_(kāi)_______. 解析:聯(lián)立直線與圓的方程可得,交點(diǎn)坐標(biāo)為,,又β=π+α,所以sin(α+β)=sin(π+2α)=-sin 2α=-2××=-. 答案:- 2.設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0,若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性,且f=f=-f,則f(x)的最小正周期為_(kāi)______

9、_. 解析:因?yàn)閒(x)在區(qū)間,上具有單調(diào)性,且f=-f,故函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為.由f=f,可得函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=.設(shè)f(x)的最小正周期為T,所以≥-,即T≥.所以-=,即T=π. 答案:π 3.在直角△ABC中,兩條直角邊分別為a,b,斜邊和斜邊上的高分別為c,h,則的取值范圍是________. 解析:因?yàn)閏=,h=bsin A,a=btan A,所以=.設(shè)sin A+cos A=t,則問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=在10,a與b的夾角

10、θ∈,且a°b和b°a都在集合中,則a°b=________. 解析:a°b===,① b°a===.② ∵θ∈,∴0, ∴0<≤1.∴00, (1)用k表示a·b; (2)求a·b的最小值,并求此時(shí)a·b的夾角的大?。? 解:(1)已知|ka+b

11、|=|a-kb|,兩邊平方,得|ka+b|2=3|a-kb|2, 即k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2-2ka·b), ∴8k·a·b=(3-k2)a2+(3k2-1)b2, a·b=. ∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),∴a2=1,b2=1, ∴a·b==. (2)∵k2+1≥2k,即≥=, ∴a·b的最小值為, 又∵a·b=|a|·|b|·cos〈a·b〉,|a|=|b|=1, ∴=1×1×cos〈a,b〉. ∴cos〈a,b〉=,此時(shí)a與b的夾角為60°. 6.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,tan C=

12、. (1)求角C的大小; (2)若△ABC的外接圓直徑為1,求a2+b2+c2的取值范圍. 解:(1)因?yàn)閠an C=,即=, 所以sin Ccos A+sin Ccos B=cos Csin A+cos Csin B, 即sin Ccos A-cos Csin A=cos Csin B-sin Ccos B, 所以sin(C-A)=sin(B-C). 所以C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(不成立), 即2C=A+B,所以C=. (2)法一:由C=,可得c=2Rsin C=1×=, 且a=2Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B, 設(shè)A=+α,B=-α,由0<A<,0<B<, 知-<α<. 所以a2+b2+c2=+sin2A+sin2B =++ =- =+cos 2α. 由-<α<知-<2α<,-<cos 2α≤1, 故<a2+b2+c2≤. 法二:因?yàn)镃=,所以c=2Rsin C=1×=, 又因?yàn)閏2=a2+b2-2abcos C,所以=a2+b2-ab≥ab,故ab≤, 又a2+b2=+ab,所以

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