3、利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意限定角的范圍，判斷符號．
5．利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．
6．應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
題型二 三角恒等變換
1．若＝，則tan 2α＝________.
解析：因為＝＝＝，
所以tan α＝2，所以tan 2α＝＝＝－.
答案：－
2．若sin＝，α∈，則cos α的值為________．
4、
解析：∵α∈，∴α－∈.
又∵sin＝，∴cos＝，
∴cos α＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.
答案：
3．(2018·南京四校聯(lián)考)已知角α，β滿足tan αtan β＝.若cos(α－β)＝，則cos(α＋β)的值為________．
解析：法一：由tan αtan β＝，cos (α－β)＝得，解得
故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝.
法二：設(shè)cos (α＋β)＝x，
即cos αcos β－sin αsin β＝x，?、?
由cos (α－β)＝得，cos αcos β＋sin αsin β＝，?、?
由①②得co
5、s αcos β＝＋，sin αsin β＝－，
兩式相除得tan αtan β＝＝，解得x＝，
即cos (α＋β)＝.
答案：
4．已知cos－sin α＝，則sin的值是________．
解析：由cos－sin α＝，
得cos α－sin α＝，
即－＝，即sin＝－.
所以sin＝sin
＝－sin＝.
答案：
5．設(shè)α∈，β∈，若sin＝，
tan＝，則tan(2α＋β)的值為________．
解析：因為α∈，所以α＋∈.
又sin＝，所以cos＝，
所以sin＝2sincos＝，
cos＝2cos2－1＝－，
所以tan ＝－.
又2α＋β
6、＝＋，
所以tan(2α＋β)＝tan
＝＝＝－.
答案：－
[臨門一腳]
三角恒等變換中常見的兩種形式：一是化簡；二是求值．
(1)三角函數(shù)的化簡常見的方法有切化弦、利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式及和、差、倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．
(2)三角函數(shù)求值分為給值求值(條件求值)與給角求值，對條件求值問題要充分利用條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．
題型三 三角函數(shù)的定義域和值域
1．函數(shù)y＝tan的定義域為___________________________________________．
解析：由2x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，故所求定義域為.
答案：
2．函數(shù)y＝2
7、sin(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為________．
解析：因為0≤x≤9，所以－≤x－≤，
所以sin∈.
所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.
答案：2－
3．函數(shù)y＝2cos2x＋5sin x－4的值域為________．
解析：y＝2cos2x＋5sin x－4
＝2(1－sin2x)＋5sin x－4
＝－2sin2x＋5sin x－2
＝－22＋.
故當(dāng)sin x＝1時，ymax＝1，
當(dāng)sin x＝－1時，ymin＝－9，
故y＝2cos2x＋5sin x－4的值域為[－9,1]．
答案：[－9,1]
[臨門一腳]
1．求三角函
8、數(shù)定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解，不能忽視y＝tan x的定義域的限制．
2．三角函數(shù)的值域有幾種常見類型：一是可以化為標(biāo)準(zhǔn)型的，利用三角函數(shù)圖象求解；二是可以化為二次型的，利用換元法求解，但要注意“新元”的取值范圍；三是可以用導(dǎo)數(shù)法來解決．
題型四 三角函數(shù)的圖象
1．將函數(shù)y＝sin 4x的圖象向左平移個單位長度，得到y(tǒng)＝sin(4x＋φ)的圖象，則φ＝________.
解析：將函數(shù)y＝sin 4x的圖象向左平移個單位長度，得到y(tǒng)＝sin ＝sin，所以φ＝.
答案：
2.已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)
9、f(x)的解析式為______________________________．
解析：由題圖可知，A＝1，函數(shù)f(x)的最小正周期T＝4＝π，∴ω＝＝2.
又當(dāng)x＝時，f(x)取得最大值1，
∴1＝sin，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z.又|φ|<，∴φ＝，
則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝sin.
答案：f(x)＝sin
3．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝sin(x∈[0,2π])的圖象和直線y＝的交點(diǎn)的個數(shù)是____________．
解析：由sin＝，解得x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝2kπ－或x＝2kπ＋，k∈Z，又因為x∈[0,2
10、π]，所以x＝或，所以函數(shù)y＝sin (x∈[0,2π])的圖象和直線y＝ 的交點(diǎn)的個數(shù)是2.
答案：2
4．將函數(shù)y＝5sin的圖象向左平移φ個單位長度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則φ＝______________.
解析：將函數(shù)y＝5sin的圖象向左平移φ個單位長度后，所得函數(shù)為f(x)＝5sin，即f(x)＝5sin.因為所得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋，k∈Z，因為0＜φ＜，所以φ＝.
答案：
[臨門一腳]
1．要弄清楚是平移哪個函數(shù)的圖象，得到哪個函數(shù)的圖象．
2．要注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公
11、式化為同名函數(shù)．
3．由y＝Asin ωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象時，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是|φ|.
4．五點(diǎn)法求y＝Asin(ωx＋φ)中的φ的方法：根據(jù)圖象確定φ時要注意第一個平衡點(diǎn)和第二個平衡點(diǎn)的區(qū)別．
題型五 三角函數(shù)的性質(zhì)
1．(2018·鎮(zhèn)江高三期末)函數(shù)y＝3sin圖象的相鄰兩對稱軸的距離為________．
解析：因為函數(shù)y＝3sin的最小正周期T＝＝π，所以該函數(shù)圖象的相鄰兩對稱軸的距離為.
答案：
2．函數(shù)y＝2sin與y軸最近的對稱軸方程是________．
解析：由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，因此，當(dāng)k＝－1時，直線
12、x＝－是與y軸最近的對稱軸．
答案：x＝－
3．若函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)的圖象過點(diǎn)(0，)，則函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間是____________．
解析：由題意可得，2sin(2×0＋φ)＝，
∴sin φ＝.
又0<φ<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∵0≤x≤π，
∴k＝0時，≤x≤，
∴函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間是.
答案：
4．若函數(shù)f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函數(shù)，則φ＝________.
解析：若f(x)為偶函數(shù)，則f(0)＝
13、±1，
即sin＝±1，所以＝kπ＋(k∈Z)．
所以φ＝3kπ＋(k∈Z)．
因為φ∈[0,2π]，所以φ＝.
答案：
5．若函數(shù)f(x)＝4cos ωxsin＋1(ω>0)的最小正周期是π，則函數(shù)f(x)在上的最小值是________．
解析：由題意知，f(x)＝4cos ωxsin＋1
＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋1
＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin，
由f(x)的最小正周期是π，且ω>0，
可得＝π，ω＝1，
則f(x)＝2sin.
又x∈，
所以2x－∈，
故函數(shù)f(x)在上的最小值是－1.
答案：－1
[臨門一腳]
1．
14、求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，只需把ωx＋φ看作一個整體代入y＝sin x的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把ω化為正數(shù)．
2．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)的充要條件為φ＝kπ(k∈Z)；為偶函數(shù)的充要條件為φ＝kπ＋(k∈Z)．
3．求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的對稱軸，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；如要求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．
4．三角函數(shù)的性質(zhì)主要是劃歸為y＝Asin(ωx＋φ)，再利用y＝sin x性質(zhì)求解．三角函數(shù)劃歸主
15、要是針對“角、名、次”三個方面．
B組——高考提速練
1．sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°的值為________．
解析：因為sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝sin 18°·sin 78°＋cos 18°·cos 78°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝.
答案：
2．函數(shù)y＝的定義域是_______________________________．
解析：由2sin x－1≠0得sin x≠，
故x≠＋2kπ(k∈Z)且x≠＋2kπ(k∈Z)，
即x≠(－1)k·＋kπ(k∈Z)．
答案：
3
16、．函數(shù)y＝2sin2x＋3cos2x－4的最小正周期為________.
解析：因為y＝2sin2x＋3cos2x－4＝cos2x－2＝－2＝cos2x－，故最小正周期為T＝＝＝π.
答案：π
4．函數(shù)y＝sin的單調(diào)遞增區(qū)間為______________________________．
解析：由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
5．已知cos＝，且|φ|<，則tan φ＝________.
解析：cos＝sin φ＝，
又|φ|<，則cos φ＝，所以tan φ＝.
答
17、案：
6.函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分圖象如圖所示，若AB＝5，則ω的值為________．
解析：如圖，過點(diǎn)A作垂直于x軸的直線AM，過點(diǎn)B作垂直于y軸的直線BM，直線AM和直線BM相交于點(diǎn)M，在Rt△AMB中，AM＝4，BM＝·＝，AB＝5，由勾股定理得AM2＋BM2＝AB2，所以16＋2＝25，＝3，ω＝.
答案：
7．若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝，則sin(α－β)的值為________．
解析：由tan β＝2tan α得，2sin αcos β＝cos αsin β，所以2sin αcos β＝，所以sin αcos β
18、＝，
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝－.
答案：－
8．已知函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象與原函數(shù)圖象重合，則ω的最小值等于________．
解析：將函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的圖象向右平移個單位長度后，所得函數(shù)為y＝f.因為所得圖象與原函數(shù)圖象重合，所以f(x)＝f，所以kT＝，k∈N*，即＝，k∈N*，所以ω＝3k，k∈N*，所以ω的最小值等于3.
答案：3
9．已知函數(shù)f(x)＝sin 2ωx－cos 2ωx(其中ω∈(0,1))，若f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[0
19、，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為____________．
解析：f(x)＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin，
∵f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
∴2sin＝0，
∴ω－＝kπ，k∈Z，解得ω＝3k＋，k∈Z，
∵ω∈(0,1)，∴ω＝，
∴f(x)＝2sin，
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴f(x)在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為.
答案：
10．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，則 的值為________．
解析：＝
＝
＝＝＝.
答案：
11．如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，
20、那么|φ|的最小值為________．
解析：由題意得3cos＝3cos＝0，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，
所以φ＝kπ－，k∈Z，
取k＝0，得|φ|的最小值為.
答案：
12.函數(shù)y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分圖象如圖，設(shè)P是圖象的最高點(diǎn)，A，B是圖象與x軸的交點(diǎn)，則∠APB＝________.
解析：由題意知T＝2，作PD⊥x軸，
垂足為D，則PD＝1，AD＝，BD＝，
設(shè)α＝∠APD，β＝∠BPD，則tan α＝，tan β＝，∠APB＝α＋β，
故tan∠APB＝＝8.
答案：8
13.的值是________．
解析：原式＝
＝
＝＝.
答案：
14．已知函數(shù)f(x)＝sin x(x∈[0，π])和函數(shù)g(x)＝tan x的圖象交于A，B，C三點(diǎn)，則△ABC的面積為________．
解析：由題意知，x≠，令sin x＝tan x，可得sin x＝，x∈∪，可得sin x＝0或cos x＝，則x＝0或π或，不妨設(shè)A(0,0)，B(π，0)，C，則△ABC的面積為×π×＝.
答案：
江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 14個填空題強(qiáng)化練（五）三角函數(shù)（含解析）
