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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 6個解答題綜合仿真練(四)(含解析)
1.如圖,四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD為菱形,且PA⊥底面ABCD,PA=AC,E是PA的中點,F(xiàn)是PC的中點.
(1)求證:PC∥平面BDE;
(2)求證:AF⊥平面BDE.
證明:(1)連結(jié)OE,因為O為菱形ABCD對角線的交點,
所以O(shè)為AC的中點.
又因為E為PA的中點,
所以O(shè)E∥PC.
又因為OE?平面BDE,PC?平面BDE,所以PC∥平面BDE.
(2)因為PA=AC,△PAC是等腰三角形,
又F是PC的中點,所以AF⊥PC.
又OE∥PC,所以AF⊥OE
2、.
又因為PA⊥底面ABCD,BD?平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又因為AC,BD是菱形ABCD的對角線,
所以AC⊥BD.
因為PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,
因為AF?平面PAC,所以AF⊥BD.
因為OE∩BD=O,所以AF⊥平面BDE.
2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且cos A=,tan (B-A)=.
(1)求tan B的值;
(2)若c=13,求△ABC的面積.
解:(1)在△ABC中,由cos A=,知sin A==,
所以tan A==,
所以tan B=tan [(B-A)+A]===3.
(2)在△ABC中
3、,由tan B=3,知B是銳角,所以sin B=,cos B=,
則sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.
由正弦定理=,得b===15,
所以△ABC的面積S=bcsin A=×15×13×=78.
3.已知橢圓M:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A,B,一個焦點為F(-1,0),點F到相應(yīng)準線的距離為3.經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C,D兩點.
(1)求橢圓M的方程;
(2)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2,求|S1-S2|的最大值.
解:(1)由焦點F(-1,0)知c=1,又-c=3,
所以a2=4,從而b2=
4、a2-c2=3.
所以橢圓M的方程為+=1.
(2)若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=-1,此時S1=S2,|S1-S2|=0;
若直線l的斜率存在,可設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),k≠0,C(x1,y1),D(x2,y2).
聯(lián)立消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
所以x1+x2=.
此時|S1-S2|=·AB·||y1|-|y2||=2|y1+y2|
=2|k(x1+1)+k(x2+1)|=2|k||(x1+x2)+2|
=2|k|=2|k|=.
因為k≠0,所以|S1-S2|=≤==,
當且僅當=4|k|,即k=±時取等號.
所以
5、|S1-S2|的最大值為.
4.如圖,矩形ABCD是一個歷史文物展覽廳的俯視圖,點E在AB上,在梯形BCDE區(qū)域內(nèi)部展示文物,DE是玻璃幕墻,游客只能在△ADE區(qū)域內(nèi)參觀.在AE上點P處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控攝像頭,∠MPN為監(jiān)控角,其中M,N在線段DE(含端點)上,且點M在點N的右下方.經(jīng)測量得知:AD=6米,AE=6米,AP=2米,∠MPN=.記∠EPM=θ(弧度),監(jiān)控攝像頭的可視區(qū)域△PMN的面積為S平方米.
(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式,并寫出θ的取值范圍;
(2)求S的最小值.
解:(1)法一:在△PME中,∠EPM=θ,PE=AE-AP=4米,∠PEM=,∠PME=-θ,
6、由正弦定理得=,
所以PM===,
在△PNE中,
由正弦定理得=,
所以PN===,
所以△PMN的面積S=PM·PN·sin∠MPN==
==,
當M與E重合時,θ=0;
當N與D重合時,tan∠APD=3,
即∠APD=,θ=-,
所以0≤θ≤-.
綜上可得,S=,θ∈.
法二:在△PME中,∠EPM=θ,PE=AE-AP=4米,∠PEM=,∠PME=-θ,
由正弦定理得=,
所以ME===,
在△PNE中,由正弦定理得=,
所以NE==
=,
所以MN=NE-ME=,
又點P到DE的距離為d=4sin=2,
所以△PMN的面積S=MN·
7、d
==
==,
當M與E重合時,θ=0;當N與D重合時,
tan∠APD=3,即∠APD=,θ=-,
所以0≤θ≤-.
綜上可得,S=,θ∈.
(2)當2θ+=,即θ=∈時,S取得最小值為=8(-1).
所以可視區(qū)域△PMN面積的最小值為8(-1)平方米.
5.設(shè)a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=ax+x2-xln a-a.
(1)當a=e時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)的最小值;
(3)指出函數(shù)f(x)的零點個數(shù),并說明理由.
解:(1)當a=e時,f(x)=ex+x2-x-e,f′(x)=ex+2x-1.
設(shè)g(x)=ex+2x-1,則g(
8、0)=0,且g′(x)=ex+2>0.
所以g(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,
當x>0時,g(x)>g(0)=0;
當x<0時,g(x)0時,f′(x)>0;當x<0時,f′(x)<0.
綜上,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0).
(2)f′(x)=axln a+2x-ln a=(ax-1)ln a+2x,
①當a>1時,若x>0,則ax>1,ln a>0,所以f′(x)>0,
若x<0,則ax<1,ln a>0,所以f′(x)<0.
②當00,則ax<1,ln a<0,
所以f′(x)>0,
9、
若x<0,則ax>1,ln a<0,所以f′(x)<0,
所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,(0,+∞)上單調(diào)遞增.所以f(x)min=f(0)=1-a.
(3)由(2)得,a>0,a≠1,f(x)min=1-a.
①若1-a>0,即00,函數(shù)f(x)不存在零點.
②若1-a<0,即a>1時,f(x)min=1-a<0.
f(x)的圖象在定義域內(nèi)是不間斷的曲線,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
f(a)=aa+a2-aln a-a>a2-aln a-a=a(a-ln a-1).
令t(a)=a-ln a-1(
10、a>1),t′(a)=1->0,
所以t(a)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;
所以t(a)>t(1)=0.所以f(a)>0.故f(x)在(0,a)上有一個零點.
又f(-a)=a-a+a2+aln a-a>a2-a=a(a-1)>0,
故f(x)在(-a,0)上有一個零點.
所以f(x)在(-∞,0)上和(0,+∞)上各有一個零點,
即f(x)有2個零點.
綜上,當01時,函數(shù)f(x)有2個零點.
6.已知數(shù)列{an}的通項公式an=2n-(-1)n,n∈N*.設(shè)an1,an2,…,ani(其中n1
11、
(1)若i=3.
①當n1,n2,n3為連續(xù)正整數(shù)時,求n1的值;
②當n1=1時,求證:n3-n2為定值;
(2)求i的最大值.
解:(1)①依題意,an1,an1+1,an1+2成等差數(shù)列,即2an1+1=an1+an1+2,
從而2[2n1+1-(-1)n1+1]=2n1-(-1)n1+2n1+2-(-1)n1+2,
當n1為奇數(shù)時,解得2n1=-4,不存在這樣的正整數(shù)n1;
當n1為偶數(shù)時,解得2n1=4,所以n1=2.
②證明:依題意,a1,an2,an3成等差數(shù)列,即2an2=a1+an3,
從而2[2n2-(-1)n2]=3+2n3-(-1)n3,
當n2,
12、n3均為奇數(shù)時,2n2-2n3-1=1,左邊為偶數(shù),故矛盾;
當n2,n3 均為偶數(shù)時,2n2-1-2n3-2=1,左邊為偶數(shù),故矛盾;
當n2為偶數(shù),n3奇數(shù)時,2n2-2n3-1=3,左邊為偶數(shù),故矛盾;
當n2為奇數(shù),n3偶數(shù)時,2n2+1-2n3=0,即n3-n2=1.
(2)設(shè)as,ar,at(s