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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)32 數(shù)列求和 理
[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．[2019·湖北省四校聯(lián)考]在數(shù)列{an}中，a1＝2，an是1與anan＋1的等差中項(xiàng)．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.
解析：(1)∵an是1與anan＋1的等差中項(xiàng)，
∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝，
∴an＋1－1＝－1＝，∴＝＝1＋，
∵＝1，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝.
(2)由(1)得＝＝－，
∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
2．[2019·福建福州六校聯(lián)考]已知數(shù)列{an}的前
2、n項(xiàng)和Sn＝，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若b1＝a1＋1，b2－a2＝2.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求滿足Tn＋an>300的最小的n值．
解析：(1)a1＝S1＝1，
n>1時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝n，
又n＝1時(shí)，a1＝n成立，∴an＝n(n∈N*)，
則由題意可知b1＝2，b2＝4，
∴{bn}的公比q＝＝2，∴bn＝2n(n∈N*)．
(2)Tn＝＝2(2n－1)，Tn＋an＝2(2n－1)＋n，
∴Tn＋an隨n增大而增大，
又T7＋a7＝2×127＋7＝261<300，T8＋a8＝2×255＋8＝518>300，
∴所求
3、最小的n值為8.
3．[2019·石家莊檢測(cè)]已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝an＋.
(1)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
解析：(1)由an＋1＝an＋，可得＝＋，
又bn＝，∴bn＋1－bn＝，由a1＝1，得b1＝1，
累加可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋，即bn－b1＝＝1－，∴bn＝2－.
(2)由(1)可知an＝2n－，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，
則Tn＝＋＋＋…＋?、伲?
Tn＝＋＋＋…＋?、?，
①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－，
∴Tn＝4－.
易知數(shù)列{2n}的前
4、n項(xiàng)和為n(n＋1)，
∴Sn＝n(n＋1)－4＋.
4．[2019·廣州市綜合測(cè)試]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足＋＋…＋＝5－(4n＋5)·n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解析：(1)因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以Sn＝2n2－n.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1也符合上式，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為a
5、n＝4n－3.
(2)當(dāng)n＝1時(shí)，＝，所以b1＝2a1＝2.
當(dāng)n≥2時(shí)，由＋＋…＋＝5－(4n＋5)·n， ①
得＋＋…＋＝5－(4n＋1)n－1.?、?
①－②，得＝(4n－3)n.
因?yàn)閍n＝4n－3，所以bn＝＝2n(當(dāng)n＝1時(shí)也符合)，
所以＝＝2，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以Tn＝＝2n＋1－2.
5．[2019·鄭州測(cè)試]在等差數(shù)列{an}中，已知a3＝5，且a1，a2，a5為遞增的等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn＝(k∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}
6、的公差為d，易知d≠0，
由題意得，(a3－2d)(a3＋2d)＝(a3－d)2，
即d2－2d＝0，解得d＝2或d＝0(舍去)，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.
(2)當(dāng)n＝2k，k∈N*時(shí)，
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b3＋…＋b2k－1＋b2＋b4＋…＋b2k＝a1＋a2＋…＋ak＋(20＋21＋…＋2k－1)＝＋＝k2＋2k－1＝＋2－1；
當(dāng)n＝2k－1，k∈N*時(shí)，n＋1＝2k，
則Sn＝Sn＋1－bn＋1＝＋2－1－2－1＝＋2.
綜上，Sn＝(k∈N*)．
6．[2019·安徽省高中聯(lián)合質(zhì)量檢測(cè)]已知{an}是公差不為
7、0的等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝1，a2＝b2，a5＝b3.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)記Sn＝＋＋…＋，是否存在m∈N*，使得Sm≥3成立，若存在，求出m，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，數(shù)列{bn}的公比為q，
則由題意知∴d＝0或d＝2，
∵d≠0，∴d＝2，q＝3，∴an＝2n－1，bn＝3n－1.
(2)由(1)可知，
Sn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋＋…＋＋，兩式相減得，Sn＝1＋＋＋…＋－＝1＋×－＝2－<2，∴Sn<3.故不存在m∈N*，使得Sm≥3成立．
[能力挑戰(zhàn)]
8、
7．[2019·山東淄博模擬]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，且a10＝19，S10＝100；數(shù)列{bn}對(duì)任意n∈N*，總有b1·b2·b3·…·bn－1·bn＝an＋2成立．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)記cn＝(－1)n，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
解析：(1)設(shè){an}的公差為d，則a10＝a1＋9d＝19，S10＝10a1＋×d＝100.
解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.
所以b1·b2·b3·…·bn－1·bn＝2n＋1，①
當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝3，當(dāng)n≥2時(shí)，b1·b2·b3·…·bn－1＝2n－1.②
①②兩式相除得bn＝(n≥2)．
因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，b1＝3適合上式，所以bn＝(n∈N*)．
(2)由已知cn＝(－1)n，
得cn＝(－1)n
＝(－1)n，
則Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝－＋－＋…＋(－1)n，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
Tn＝－＋－＋…＋(－1)n·
＝＋＋＋…＋
＝－1＋＝－；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
Tn＝－＋－＋…＋(－1)n·
＝＋＋＋…＋
＝－1－＝－.
綜上，Tn＝
2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)32 數(shù)列求和 理
