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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第一章《“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)》教案2 新人教A版選修2-3
例4.在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數(shù)
解：∵
∴在(x+1)5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為1，含x的項(xiàng)為，
在(2+x)5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為25=32，含x的項(xiàng)為
∴展開式中含x的項(xiàng)為 ，
∴此展開式中x的系數(shù)為240
例5.已知的展開式中，第五項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為14；3，求展開式的常數(shù)項(xiàng)
解：依題意
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10
設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，又
令，
此所求常數(shù)項(xiàng)為180
例6． 設(shè)，
當(dāng)時，求
2、的值
解：令得：
，
∴，
點(diǎn)評：對于，令即可得各項(xiàng)系數(shù)的和的值；令即，可得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系
例7．求證：．
證（法一）倒序相加：設(shè) ①
又∵ ②
∵，∴，
由①+②得：，
∴，即．
（法二）：左邊各組合數(shù)的通項(xiàng)為
，
∴ ．
例8．在的展開式中,求:
①二項(xiàng)式系數(shù)的和;
②各項(xiàng)系數(shù)的和;
③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;
④奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和;
⑤的奇次項(xiàng)系數(shù)和與的偶次項(xiàng)系數(shù)和.
分析:因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)特指組合數(shù),故在①,③中只需求組合數(shù)的和,而與二項(xiàng)式中的系數(shù)無關(guān).
解：設(shè)(*),
各項(xiàng)系數(shù)和即為,奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為,的奇次項(xiàng)系數(shù)和為,的偶次項(xiàng)系數(shù)和.
由于(*)是恒等式,故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和.
①二項(xiàng)式系數(shù)和為.
②令,各項(xiàng)系數(shù)和為.
③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為,
偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.
④設(shè),
令,得到…(1),
令,(或,)得…(2)
(1)+(2)得,
∴奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為;
(1)-(2)得,
∴偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為.
⑤的奇次項(xiàng)系數(shù)和為;
的偶次項(xiàng)系數(shù)和為.
點(diǎn)評:要把“二項(xiàng)式系數(shù)的和”與“各項(xiàng)系數(shù)和”,“奇(偶)數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與奇(偶)次項(xiàng)系數(shù)和”嚴(yán)格地區(qū)別開來,“賦值法”是求系數(shù)和的常規(guī)方法之一.
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