（通用版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第一章 集合與常用邏輯用語學案 理

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1、 第一章 集合與常用邏輯用語 第一節(jié)　集　合 本節(jié)主要包括2個知識點：1.集合的概念與集合間的基本關系； 2.集合的基本運算. 突破點(一)　集合的概念與集合間的基本關系　 1．集合的有關概念 (1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性． (2)集合與元素的關系：若a屬于集合A，記作a∈A；若b不屬于集合A，記作b?A. (3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法． 2．集合間的基本關系 　表示 關系　　 文字語言 記法 集合間的基本關系 子集 集合A中任意一個元素都是集合B中的元素 A?B或B?A 真子集 集合A是集合B的子集

2、，并且B中至少有一個元素不屬于A AB或BA 相等 集合A的每一個元素都是集合B的元素，集合B的每一個元素也都是集合A的元素 A?B且B?A?A＝B 空集 空集是任何集合的子集 ??A 空集是任何非空集合的真子集 ?B且B≠? 1．判斷題 (1)若{x2，1}＝{0,1}，則x＝0,1.(　　) (2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則A＝B＝C.(　　) (3)任何集合都有兩個子集．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．填空題 (1)已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，則實

3、數(shù)x的值為________． 解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4. 答案：1或4 (2)已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是________． 解析：∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5個元素． 答案：5 (3)集合A＝{x∈N|0

4、B，∴a＋3＝1，∴a＝－2. 答案：－2 集合的概念與集合間的基本關系 　　1.與集合概念有關問題的求解策略 (1)確定構成集合的元素是什么，即確定性． (2)看這些元素的限制條件是什么，即元素的特征性質． (3)根據元素的特征性質求參數(shù)的值或范圍，或確定集合中元素的個數(shù)，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性． 2．判斷集合間關系的常用方法 列舉法 根據題中限定條件把集合元素表示出來，然后比較集合元素的異同，從而找出集合之間的關系 結構法 從元素的結構特點入手，結合通分、化簡、變形等技巧，從元素結構上找差異進行判斷 數(shù)軸法 在同一個數(shù)軸上表示出兩個集合，

5、比較端點之間的大小關系，從而確定集合與集合之間的關系 　　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例]　(1)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，則集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中元素的個數(shù)為(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)(2018·蘭州模擬)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，則下列結論正確的是(　　) A．A＝B B．A∩B＝? C．A?B D．B?A (3)(2018·湖南長沙一中月考)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}．若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)

6、 C．(－∞，0) D．(－∞，0] [解析]　(1)因為x∈A，y∈B，所以當x＝－1，y＝0,2時，z＝x＋y＝－1,1；當x＝1，y＝0,2時，z＝x＋y＝1,3，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，共3個元素，選C. (2)A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，結合數(shù)軸可得：B?A. (3)由題意得集合A＝{x|x2－2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，要使得A?B，則a≥2.故選A. [答案]　(1)C　(2)D　(3)A [易錯提醒] (1)在用數(shù)軸法判斷集合間的關系時，其端點能否取到，一定要注意用回代檢驗的方法來確定．如果兩個集合的端點相同，

7、則兩個集合是否能同時取到端點往往決定了集合之間的關系． (2)將兩個集合之間的關系準確轉化為參數(shù)所滿足的條件時，應注意子集與真子集的區(qū)別，此類問題多與不等式(組)的解集相關．確定參數(shù)所滿足的條件時，一定要把端點值代入進行驗證，否則易產生增解或漏解．　　 1．(2018·河北邯鄲一中調研)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}，則B＝(　　) A．{0,1,2,3,4} B．{0,1,2} C．{0,2,4} D．{1,2} 解析：選A　當x＝0，y＝0,1,2時，x＋y＝0,1,2；當x＝1，y＝0,1,2時，x＋y＝1,2,3；當x＝2，y＝0,

8、1,2時，x＋y＝2,3,4.所以B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈A}＝{0,1,2,3,4}． 2．已知集合A＝{x∈N|x<2}，B＝{y|y＝lg(x＋1)，x∈A}，C＝{x|x∈A或x∈B}，則集合C的真子集的個數(shù)為(　　) A．3 B．7 C．8 D．15 解析：選B　因為A＝{x∈N|x<2}，所以A＝{0,1}，因為B＝{y|y＝lg(x＋1)，x∈A}，所以B＝{0，lg 2}．因為C＝{x|x∈A或x∈B}，所以C＝{0,1，lg 2}．所以集合C的真子集的個數(shù)為23－1＝7.故選B. 3．(2018·河北衡水中學調研)設A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集

9、，A＝{1,2}，則滿足A?B的B的個數(shù)是(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：選B　滿足條件的集合B可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，所以滿足A?B的B的個數(shù)是4.故選B. 4．(2018·成都模擬)已知集合A＝{x∈N|14，解得k>16.故選C. 法二：取k＝16，則集合A＝{x∈N|

10、1

11、B＝{x|x∈A，且x∈B} 集合的補集 若全集為U，則集合A的補集為?UA ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 2.集合的三種基本運算的常見性質 (1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∪A＝A，A∪?＝A. (2)A∩?UA＝?，A∪?UA＝U，?U(?UA)＝A. (3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?. 1．判斷題 (1)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(　　) (2)若集合A＝，則?RA＝.(　　) (3)設集合U＝{x|－3

12、×　(2)×　(3)√ 2．填空題 (1)(2018·浙江模擬)已知集合P＝{x∈R|0≤x≤4}，Q＝{x∈R||x|<3}，則P∪Q＝________. 解析：由題意，得P＝[0,4]，Q＝(－3,3)，∴P∪Q＝(－3，4]． 答案：(－3,4] (2)(2018·安徽合肥模擬)已知集合A＝{x|x2<4}，B＝{x|x－1≥0}，則A∩B＝________. 解析：由題意，得A＝{x|x2<4}＝(－2,2)，B＝{x|x－1≥0}＝[1，＋∞)，所以A∩B＝[1,2)． 答案：[1,2) (3)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}

13、，集合B＝{1,3,4,6,7}，則集合A∩(?UB)＝________. 解析：因為?UB＝{2,5,8}，所以A∩(?UB)＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}． 答案：{2,5} (4)設集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，則?U(A∪B)＝________. 解析：∵A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，∴A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，∴?U(A∪B)＝{2,6}． 答案：{2,6} 集合的交集或并集 [例1]　(1)(2018·湖南十校聯(lián)考)已知集合P＝{x|1≤2x<4}

14、，Q＝{1,2,3}，則P∩Q＝(　　) A．{1} B．{1,2} C．{2,3} D．{1,2,3} (2)(2018·山東菏澤模擬)設集合A＝，B＝{x|x2<1}，則A∪B＝(　　) A．{x|1

15、(1)(2018·山東臨沂模擬)設集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，則圖中陰影部分表示的集合為(　　) A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2} C．{x|0－1} B．{x|x≥1} C．? D．{x|－10}＝{

16、x|x<1}，則?UB＝{x|x≥1}，陰影部分表示的集合為A∩(?UB)＝{x|1≤x<2}． (2)依題意得M＝{x|－1－1}． [答案]　(1)B　(2)A [方法技巧] 解決交、并、補混合運算的一般思路 (1)用列舉法表示的集合進行交、并、補集運算時，常采用Venn圖法解決，此時要搞清Venn圖中的各部分區(qū)域表示的實際意義． (2)用描述法表示的數(shù)集進行運算，常采用數(shù)軸分析法解決，此時要注意“端點”能否取到． (3)若給定的集合是點集，常采用數(shù)形結合法求解．　　 集合的新定義問題

17、 [例3]　(2018·合肥模擬)對于集合M，N，定義M－N＝{x|x∈M，且x?N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)．設A＝{y|y＝x2－3x，x∈R}，B＝{y|y＝－2x，x∈R}，則A⊕B＝(　　) A. B. C.∪[0，＋∞) D.∪(0，＋∞) [解析]　因為A＝，B＝{y|y<0}， 所以A－B＝{y|y≥0}，B－A＝， A⊕B＝(A－B)∪(B－A)＝. 故選C. [答案]　C [方法技巧] 解決集合新定義問題的著手點 (1)正確理解新定義：耐心閱讀，分析含義，準確提取信息是解決這類問題的前提，剝去新定義、新法則、新運算的外表，利用所學的集合性質

18、等知識將陌生的集合轉化為我們熟悉的集合，是解決這類問題的突破口． (2)合理利用集合性質：運用集合的性質(如元素的性質、集合的運算性質等)是破解新定義型集合問題的關鍵．在解題時要善于從題設條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質的一些因素，并合理利用．　　 1.(2018·長春模擬)設集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，則A∪B＝(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：選C　∵A＝(0，＋∞)，B＝(－1,1)，∴A∪B＝(－1，＋∞)．故選C. 2.(2018·廣州模擬)若全集U＝R，集合A＝{x|1<2

19、x<4}，B＝{x|x－1≥0}，則A∩?UB＝(　　) A．{x|11}，則A∩B＝(　　) A．(2,4] B．[2,4] C．(－∞，0)∪(0,4] D．(－∞，－1)∪[0,4] 解析：選A　因為A＝{x|1≤3x≤81}＝{x|30≤3x≤34}＝{x|0≤x≤4}，B

20、＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2}＝{x|x<－1或x>2}，所以A∩B＝{x|0≤x≤4}∩{x|x<－1或x>2}＝{x|2

21、的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和為21. 5.如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義集合AB為陰影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x>0}，則AB為(　　) A．{x|02} 解析：選D　因為A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1

22、?A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x>2}，故選D. [全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律] 1．(2017·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，則(　　) A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝? 解析：選A　∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}， ∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故選A. 2．(2017·全國卷Ⅱ)設集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝(

23、　　) A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} 解析：選C　因為A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程為x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}． 3．(2017·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：選B　因為A表示圓x2＋y2＝1上的點的集合，B表示直線y＝x上的點的集合，直線y＝x與圓x2＋y2＝1有兩個交點，所以A∩B中元素的個數(shù)為2. 4．(201

24、6·全國卷Ⅰ)設集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B＝(　　) A. B. C. D. 解析：選D　∵x2－4x＋3<0，∴10，∴x>，∴B＝.∴A∩B＝{x|1

25、}，所以A∪B＝{0,1,2,3}． 6．(2015·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，則A∩B＝(　　) A．{－1,0} B．{0,1} C．{－1,0,1} D．{0,1,2} 解析：選A　由題意知B＝{x|－2

26、A＝B B．A∩B＝? C．AB D．BA 解析：選D　∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴BA. 2．(2018·萊州一中模擬)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C?A}，則集合B中元素的個數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：選C　A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4個子集，因此集合B中元素的個數(shù)為4，選C. 3．(2018·廣雅中學測試)若全集U＝R，則正確表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}關系的Venn圖是(　　) 解析：選B　由題意知，N＝{

27、x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，而M＝{－1,0,1}，所以NM，故選B. 4．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________． 解析：由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝－，當m＝1時，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據集合中元素的互異性可知不滿足題意；當m＝－時，m＋2＝，則2m2＋m＝3，故m＝－. 答案：－ 5．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A?B，則實數(shù)a－b 的取值范圍是________． 解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因為A?B，所以a≤2

28、，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即實數(shù)a－b的取值范圍是(－∞，－2]． 答案：(－∞，－2] 對點練(二)　集合的基本運算 1．設集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，則M∪N＝(　　) A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(－∞，1] 解析：選A　M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，M∪N＝[0,1]． 2．若集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，則A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{0,1} D．{0，－1} 解析：選C　因為B＝{y|y＝x2，x∈A}

29、＝{0,1}，所以A∩B＝{0,1}． 3．(2018·中原名校聯(lián)考)設全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，則(?UA)∪B＝(　　) A．(2,3] B．(－∞，1]∪(2，＋∞) C．[1,2) D．(－∞，0)∪[1，＋∞) 解析：選D　因為?UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(?UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)． 4．設P和Q是兩個集合，定義集合P－Q＝{x|x∈P，且x?Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝(　　) A．{x|0

30、{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3} 解析：選B　由log2x<1，得00}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝(2,3]，則a＋b＝(　　) A．－5 B．5 C．－1 D．1 解析：選A　P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}．由P∪Q＝R及P∩Q＝(2,3]，得Q＝[－1,3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，

31、a＋b＝－5，故選A. 6．(2018·唐山統(tǒng)一考試)若全集U＝R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，則圖中陰影部分表示的集合是(　　) A．{x|20}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|

32、x>4}，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－4,3) B．[－3,4] C．(－3,4) D．(－∞，4] 解析：選B　集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故選B. 8．已知全集U＝{x∈Z|0

33、N)＝{1,3,4,5,6,7}，M∪N＝{2,3,5,6}，?U(M∪N)＝{1,4,7}，(?UM)∩N＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，選C. [大題綜合練——遷移貫通] 1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}． (1)若A∩B＝[0,3]，求實數(shù)m的值； (2)若A??RB，求實數(shù)m的取值范圍． 解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}． (1)因為A∩B＝[0,3]， 所以所以m＝2. (2)?RB＝{x|xm＋2}， 因為A??RB，所以m－2>3或m＋2

34、<－1， 即m>5或m<－3. 因此實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 2．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}． (1)當m＝－1時，求A∪B； (2)若A?B，求實數(shù)m的取值范圍； (3)若A∩B＝?，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)當m＝－1時，B＝{x|－2

35、≥0，即實數(shù)m的取值范圍為[0，＋∞)． 3．(2018·江西玉山一中月考)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}． (1)分別求A∩B，(?RB)∪A； (2)已知集合C＝{x|11，即log2x>log22， ∴x>2，∴B＝{x|x>2}． ∴A∩B＝{x|2

36、集時，滿足C?A，a≤1； 當C為非空集合時，可得1

37、有關系． 1．判斷題 (1)“x2＋2x－3<0”是命題. (　　) (2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”．(　　) 答案：(1)×　(2) × 2．填空題 (1)“若a≤b，則ac2≤bc2”，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個數(shù)是________． 解析：其中原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題． 答案：2 (2)命題“若x>1，則x>0”的否命題是______________________________________． 答案：若x≤1，則x≤0 (3)設m∈R，命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否

38、命題是________________________________________________________________________． 答案：若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0 (4)有下列幾個命題： ①“若a>b，則>”的否命題； ②“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題； ③“若x2<4，則－2

39、真假判斷 [例1]　下列命題中為真命題的是(　　) A．若＝，則x＝y(tǒng) B．若x2＝1，則x＝1 C．若x＝y(tǒng)，則＝ D．若x

40、需舉一反例即可．　 　 四種命題的關系 由原命題寫出其他三種命題，關鍵要分清原命題的條件和結論，將條件與結論互換即得逆命題，將條件與結論同時否定即得否命題，將條件與結論互換的同時進行否定即得逆否命題． [例2]　(1)(2018·西安八校聯(lián)考)已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q是p的(　　) A．逆命題 B．否命題 C．逆否命題 D．否定 (2)原命題為“若

41、．假，假，假 [解析]　(1)命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”可寫成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題． (2)原命題即“若an＋1

42、 (2)利用四種命題間的等價關系：當一個命題不易直接判斷真假時，可轉化為判斷其等價命題的真假．　　 1.下列命題中為真命題的是(　　) A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程 B．拋物線y＝ax2＋2x－1與x軸至少有一個交點 C．互相包含的兩個集合相等 D．空集是任何集合的真子集 解析：選C　A中，當m＝0時，是一元一次方程，故是假命題；B中，當Δ＝4＋4a<0，即a<－1時，拋物線與x軸無交點，故是假命題；C是真命題；D中，空集不是本身的真子集，故是假命題． 2.(2018·河北承德模擬)已知命題α：如果x<3，那么x<5；命題β：如果x≥3，那么x≥5；命題γ：如

43、果x≥5，那么x≥3.關于這三個命題之間的關系，下列三種說法正確的是(　　) ①命題α是命題β的否命題，且命題γ是命題β的逆命題； ②命題α是命題β的逆命題，且命題γ是命題β的否命題； ③命題β是命題α的否命題，且命題γ是命題α的逆否命題． A．①③ B．② C．②③ D．①②③ 解析：選A　命題的四種形式，逆命題是把原命題中的條件和結論互換，否命題是把原命題的條件和結論都加以否定，逆否命題是把原命題中的條件與結論先都否定，然后交換條件與結論所得，因此①正確，②錯誤，③正確，故選A. 3.(2018·黃岡調研)給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過第四

44、象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：選C　易知原命題是真命題，則其逆否命題也是真命題，而逆命題、否命題是假命題，故它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題只有一個． 4.有下列四個命題： ①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題； ②“面積相等的三角形全等”的否命題； ③“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實數(shù)解”的逆否命題； ④“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題． 其中為真命題的是________(填寫所有真命題的序號)． 解析：①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題是“若x，y互為倒數(shù)

45、，則xy＝1”，顯然是真命題；②“面積相等的三角形全等”的否命題是“若兩個三角形面積不相等，則這兩個三角形不全等”，顯然是真命題；③若x2－2x＋m＝0有實數(shù)解，則Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實數(shù)解”是真命題，故其逆否命題是真命題；④若A∩B＝B，則B?A，故原命題是假命題，所以其逆否命題是假命題．故真命題為①②③. 答案：①②③ 突破點(二)　充分條件與必要條件　 1．充分條件與必要條件的概念 若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件 p是q的充分不必要條件 p?q且q p p是q的必要不充分條件 p q且q?p p是q的充

46、要條件 p?q p是q的既不充分也不必要條件 p q且q p 2.充分條件與必要條件和集合的關系 p成立的對象構成的集合為A，q成立的對象構成的集合為B p是q的充分條件 A?B p是q的必要條件 B?A p是q的充分不必要條件 AB p是q的必要不充分條件 BA p是q的充要條件 A＝B 1．判斷題 (1)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(　　) (2)當p是q的充要條件時，也可說成q成立當且僅當p成立．(　　) (3)“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分條件．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．填空題

47、(1)若x∈R，則“x>1”是“<1”的____________條件． 答案：充分不必要 (2)設x>0，y∈R，則“x>y”是“x>|y|”成立的________條件． 答案：必要不充分 (3)在△ABC中，A＝B是tan A＝tan B的________條件． 答案：充要 (4)設p，r都是q的充分條件，s是q的充要條件，t是s的必要條件，t是r的充分條件，那么p是t的________條件，r是t的________條件．(用“充分”“必要”“充要”填空) 解析：由題知p?q?s?t，又t?r，r?q，故p是t的充分條件，r是t的充要條件． 答案：充分　充要

48、 充分條件與必要條件的判斷 [例1]　(1)(2017·浙江高考)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4＋S6>2S5”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(2017·北京高考)設m，n為非零向量，則“存在負數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　(1)因為{an}為等差數(shù)列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－

49、2S5＝d，所以d>0?S4＋S6>2S5. (2)∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2. ∴當λ<0，n≠0時，m·n<0. 反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈， 當〈m，n〉∈時，m，n不共線． 故“存在負數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件． [答案]　(1)C　(2)A [方法技巧] 充分、必要條件的三種判斷方法 (1)定義法：根據p?q，q?p進行判斷． (2)集合法：根據p，q成立對應的集合之間的包含關系進行判斷． (3)等價轉化法：根據一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉化為

50、其逆否命題進行判斷．這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何種條件，即可轉化為判斷“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何種條件． 　　 根據充分、必要條件求參數(shù)范圍 [例2]　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為________． [解析]　由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}， 由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P. 則解得0≤m≤3. 所以當0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3]．

51、 [答案]　[0,3] [方法技巧] 根據充分、必要條件求參數(shù)范圍的思路方法 (1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間關系列出關于參數(shù)的不等式(組)求解． (2)求解參數(shù)的取值范圍時， 一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．　　 1.(2018·長沙四校聯(lián)考)“x>1”是“l(fā)og2(x－1)<0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　由lo

52、g2(x－1)<0得01”是“l(fā)og2(x－1)<0”的必要不充分條件，選B. 2.已知“x>k”是“<1”的充分不必要條件，則k的取值范圍是(　　) A．[2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，－1] 解析：選A　由<1，得－1＝<0，解得x<－1或x>2.因為“x>k”是“<1”的充分不必要條件，所以k≥2. 3.(2017·天津高考)設θ∈R，則“<”是“sin θ<”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　法一：由<，得0<θ<，故sin θ<.

53、由sin θ<，得－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，推不出“<”．故“<”是“sin θ<”的充分而不必要條件． 法二：. 故“<”是“sin θ<”的充分而不必要條件． 4.(2016·北京高考)設a，b是向量，則“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選D　若|a|＝|b|成立，則以a，b為鄰邊的平行四邊形為菱形．a＋b，a－b表示的是該菱形的對角線，而菱形的兩條對角線長度不一定相等，所以|a＋b|＝|

54、a－b|不一定成立，從而不是充分條件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，則以a，b為鄰邊的平行四邊形為矩形，而矩形的鄰邊長度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，從而不是必要條件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要條件． 5.(2018·河北石家莊模擬)已知命題p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：法一：由≤2，得－2≤x≤10， ∴綈p：A＝{x|x>10或x<－2}． 由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)， 得1－m≤x≤1＋m(m>0)， ∴綈q：B＝

55、{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}． ∵綈p是綈q的必要不充分條件， ∴BA?解得m≥9. 法二：∵綈p是綈q的必要不充分條件， ∴q是p的必要不充分條件， ∴p是q的充分不必要條件． 由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)． ∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}． 又由≤2，得－2≤x≤10， ∴p：P＝{x|－2≤x≤10}． ∴PQ?解得m≥9. 答案：[9，＋∞) [全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律] 1．(2014·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x) 在

56、x＝x0 處導數(shù)存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的極值點，則(　　) A．p 是q 的充分必要條件 B．p是 q的充分條件，但不是q 的必要條件 C．p是 q的必要條件，但不是q 的充分條件 D．p 既不是q 的充分條件，也不是 q的必要條件 解析：選C　設f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是單調增函數(shù)，在x＝0處不存在極值，故若p則q是一個假命題，由極值的定義可得若q則p是一個真命題．故選C. 2．(2017·全國卷Ⅰ)設有下面四個命題： p1：若復數(shù)z滿足∈R，則z∈R； p2：若復數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R； p3：若復數(shù)z1，z2滿足

57、z1z2∈R，則z1＝2； p4：若復數(shù)z∈R，則∈R. 其中的真命題為(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 解析：選B　設復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，對于p1，∵＝＝∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命題； 對于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命題； 對于p3，設z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，則z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R， ∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠2， ∴p3不

58、是真命題； 對于p4，∵z＝a＋bi∈R， ∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R， ∴p4是真命題. [課時達標檢測] [小題對點練——點點落實] 對點練(一)　命題及其關系 1．命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是(　　) A．若x＋y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù) B．若x＋y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù) C．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù) D．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù) 解析：選C　由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達是“x，y不都是偶數(shù)”，“x

59、＋y是偶數(shù)”的否定表達是“x＋y不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”，故選C. 2．命題“若△ABC有一內角為，則△ABC的三內角成等差數(shù)列”的逆命題(　　) A．與原命題同為假命題 B．與原命題的否命題同為假命題 C．與原命題的逆否命題同為假命題 D．與原命題同為真命題 解析：選D　原命題顯然為真，原命題的逆命題為“若△ABC的三內角成等差數(shù)列，則△ABC有一內角為”，它是真命題． 3．在命題“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，則{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命題、否命題、逆否命題中結論成立的是(　　) A．都真 B．都假

60、C．否命題真 D．逆否命題真 解析：選D　對于原命題：“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，則{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”，這是一個真命題，所以其逆否命題也為真命題；但其逆命題：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠?，則拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下”是一個假命題，因為當不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空時，可以有a>0，即拋物線的開口可以向上，因此否命題也是假命題．故選D. 4．(2018·德州一中模擬)下列命題中為真命題的序號是________． ①若x≠0，則x＋≥2； ②命題：若x2＝1，則x＝1或x＝－1的逆否命題為：若x≠1且x≠－1，則x2≠1； ③“a

61、＝1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件； ④命題“若x<－1，則x2－2x－3>0”的否命題為“若x≥－1，則x2－2x－3≤0”． 解析：當x<0時，x＋≤－2，故①是假命題；根據逆否命題的定義可知，②是真命題；“a＝±1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件，故③是假命題；根據否命題的定義知④是真命題． 答案：②④ 5．“在△ABC中，若∠C＝90°，則∠A，∠B都是銳角”的否命題為：________________________________________________________________________. 解

62、析：原命題的條件：在△ABC中，∠C＝90°， 結論：∠A，∠B都是銳角．否命題是否定條件和結論． 即“在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A，∠B不都是銳角”． 答案：在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A，∠B不都是銳角 對點練(二)　充分條件與必要條件 1．(2016·山東高考)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　由題意知a?α，b?β，若a，b相交，則a，b有公共點，從而α，β有公共點，可得出α，β相交；反之，若α，

63、β相交，則a，b的位置關系可能為平行、相交或異面．因此“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．故選A. 2．(2018·浙江名校聯(lián)考)一次函數(shù)y＝－x＋的圖象同時經過第一、三、四象限的必要不充分條件是(　　) A．m>1，且n<1 B．mn<0 C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0 解析：選B　因為y＝－x＋的圖象經過第一、三、四象限，故－>0，<0，即m>0，n<0，但此為充要條件，因此，其必要不充分條件為mn<0. 3．(2018·河南豫北名校聯(lián)盟精英對抗賽)設a，b∈R，則“l(fā)og2a>log2b”是“2a－b>1”的(　　) A．充分不必要條件

64、 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　log2a>log2b?a>b>0,2a－b>1?a>b，所以“l(fā)og2a>log2b”是“2a－b>1”的充分不必要條件．故選A. 4．(2018·重慶第八中學調研)定義在R上的可導函數(shù)f(x)，其導函數(shù)為f′(x)，則“f′(x)為偶函數(shù)”是“f(x)為奇函數(shù)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．∴[f(－x)]′＝[－f(x)]′，∴f′(－x)·(－x)′＝－f′(x)，∴f′(－x)＝f

65、′(x)，即f′(x)為偶函數(shù)；反之，若f′(x)為偶函數(shù)，如f′(x)＝3x2，f(x)＝x3＋1滿足條件，但f(x)不是奇函數(shù)，所以“f′(x)為偶函數(shù)”是“f(x)為奇函數(shù)”的必要不充分條件．故選B. 5．(2018·山西懷仁一中期中)命題“?x∈[1,2)，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件可以是(　　) A．a≥4 B．a>4 C．a≥1 D．a>1 解析：選B　x2－a≤0?a≥x2.因為x2∈[1,4)，所以a≥4.故a>4是已知命題的一個充分不必要條件．故選B. 6．(2018·廣東梅州質檢)已知命題p：“方程x2－4x＋a＝0有實根”，且綈p為真命題的充分不

66、必要條件為a>3m＋1，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(0,1) 解析：選B　命題p：“方程x2－4x＋a＝0有實根”為真時，Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.∴綈p為真命題時，a>4.又∵綈p為真命題的充分不必要條件為a>3m＋1，∴(3m＋1，＋∞)是(4，＋∞)的真子集，∴3m＋1>4，解得m>1，故選B. 7．(2018·福建閩侯二中期中)設命題p：|4x－3|≤1；命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由|4x－3|≤1，得≤x≤1；由x2－(2a＋1)·x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1.∵綈p是綈q的必要不充分條件，∴q是p的必要不充分條件，∴p是q的充分不必要條件．∴[a，a＋1]．∴a≤.且a＋1≥1，兩個等號不能同時成立，解得0≤a≤.∴實數(shù)a的取值范圍是. 答案： [大題綜合練——遷移貫通] 1．寫出命題“已知a，b∈R，若關于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，則a2≥4b”的逆命題、否命題、逆