2022年高考數學二輪復習 第三篇 方法應用篇 專題3.3 待定系數法（講）理

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1、2022年高考數學二輪復習 第三篇 方法應用篇 專題3.3 待定系數法（講）理 一、待定系數法： 待定系數法是根據已知條件，建立起給定的算式和所求的結果之間的恒等式，得到以需要待定的系數為未知數的方程或方程組，解方程或方程組得到待定的系數的一種數學方法． 待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使用待定系數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式，如果具有，就可以用待定系數法求解.例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函數式、求復數、

2、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達形式，所以都可以用待定系數法求解. 二、待定系數法解題的基本步驟： 使用待定系數法，它解題的基本步驟是： 第一步，確定所求問題含有待定系數的解析式； 第二步，根據恒等的條件，列出一組含待定系數的方程； 第三步，解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決. 本文在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎上，從以下四個方面總結高考中的待定系數法. 1．用待定系數法求曲線方程 確定曲線方程常用的方法有定義法、直接法、待定系數法等，當已知曲線類型及曲線的幾何性質時，往往利用待定系數法，通過設出方程形式，布列方程

3、（組），使問題得到解決. 例1.【xx屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三上學期期末】已知圓與圓相切于原點，且過點，則圓的標準方程為__________． 【答案】 【解析】設圓的標準方程為，其圓心為，半徑為 ∵可化簡為 ∴其圓心為，半徑為 ∵兩圓相切于原點，且圓過點 ∴ 解得 ∴圓的標準方程為 故答案為 例2.【xx屆山西省孝義市高三下學期名校最新高考模擬卷（一）】已知橢圓的左、右焦點分別為、，且點到橢圓上任意一點的最大距離為3，橢圓的離心率為. (1)求橢圓的標準方程； (2)是否存在斜率為的直線與以線段為直徑的圓相交于、兩點，與橢圓相交于、，且？若存在，求出直線的方程；若不存在，

4、說明理由. 【答案】（1）；（2）. 解析：(1)設， 的坐標分別為， ，根據橢圓的幾何性質可得，解得， ，則，故橢圓的方程為. (2)假設存在斜率為的直線，那么可設為，則由(1)知， 的坐標分別為， ，可得以線段為直徑的圓為，圓心到直線的距離，得， ， 聯立得，設， ， 則， 得， ， ， 解得，得.即存在符合條件的直線. 2．用待定系數法求函數解析式 利用待定系數法確定一次函數、二次函數的解析式，在教材中有系統(tǒng)的介紹，通過練習應學會“遷移”，靈活應用于同類問題解答之中. 例3.【xx屆湖南省長沙市長郡中學高三】已知函數的圖象過點，且點是其對稱中心，將函數的圖象

5、向右平移個單位得到函數的圖象，則函數的解析式為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由函數f（x）過點（，2），（﹣，0）得： 解得： ∴f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）， ∴g（x）=2sin2x， 故答案為：A. 例4.【xx屆天津市耀華中學高三上學期第三次月考】若冪函數在上為增函數，則實數的值為_________. 【答案】2 例5.設是二次函數，方程有兩個相等的實根，且． （Ⅰ）的表達式； （Ⅱ）若直線把的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求的值． 【答案】（I）；（II）．

6、 【解析】試題分析：（1）由已知設，由，求出 的值，由有兩個相等實根有，求出的值，得出的表達式；（2）由題意有，解方程求出 的值。 試題解析：（1）設，則． 由已知，得， ． ． 又方程有兩個相等的實數根， ，即．故； （2）依題意，得， ， 整理，得，即， ． 例6.某同學用“五點法”畫函數f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一個周期內的圖象時,列表并填入了部分數據,如表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 5

7、 -5 0 (1)請將上表數據補充完整,并直接寫出函數f(x)的解析式. (2)將y=f(x)圖象上所有點向左平行移動θ(θ>0)個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若y=g(x)圖象的一個對稱中心為,求θ的最小值. 【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）當時，取得最小值. 【解析】（Ⅰ）根據表中已知數據，解得. 數據補全如下表： 0 0 5 0 0 且函數表達式為. 3．用待定系數法求數列通項式 等差數列、等比數列是高中階段重點研究的兩類數列，在高考題

8、中，除設計直接考查等差數列、等比數列的題目外，還常常命制通過轉化而成為我們熟悉數列的問題，而利用待定系數法往往可以實現這一轉化.利用待定系數法求數列的解析式，首先把某些已知條件轉化成我們熟知的簡單的數列的形式，比如等差數列、等比數列等，用字母表示，然后根據數列的性質，解出未知數，即可得結果． 例7.已知等差數列的前項和為，，，則數列的前100項和為（ ） A． B． C. D． 【答案】C 【解析】 由題意，得，解得，所以，所以…＋＝，故選C． 例8.在等比數列中，． （1）求數列的通項公式； （2）設

9、，且為遞增數列，若，求證：． 【答案】（1）；（2）證明見解析. 【解析】 （1）∵， ∴， ∴． （2）由題意知， ∴， ∴． 4．用待定系數法求解的其它類型 例9. 若向量,是不共線的兩向量，且，（），則A，B，C三點共線的條件是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 例10.【xx高考新課標2】設向量，不平行，向量與平行，則實數_________． 【答案】. 【解析】因為向量與平行，所以，則所以． 【反思提升】綜上所述，待定系數法實際就是將待定的未知數與已知數建立數量關系，從而列出方程或方程組，解方程或方程組即可得待定的未知數．之后就只需根據題目給出的條件，解題即可．用待定系數法解題，思路較為清晰，操作比較方便，在諸如函數、數列、解析幾何、平面向量等題目中都可以應用．但是在解題過程中，待定系數法并不是最為簡單，最為合適的方法．解題時要根據具體的題目，選擇簡單又適合的方法．