2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修一 1-3-1 單調(diào)性與最大（?。┲?教案

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修一 1-3-1 單調(diào)性與最大（小）值 教案 教學(xué)目標(biāo) 1．使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法． 2．通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力；通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力． 3．通過(guò)知識(shí)的探究過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程． 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明． 教學(xué)難點(diǎn)：歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證

2、明函數(shù)的單調(diào)性． 教學(xué)方法 教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)． 教學(xué)手段 計(jì)算機(jī)、投影儀． 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 課前布置任務(wù)： (1)由于某種原因，xx年北京奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式時(shí)間由原定的7月25日推遲到8月8日，請(qǐng)查閱資料說(shuō)明做出這個(gè)決定的主要原因. (2)通過(guò)查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式當(dāng)天氣溫變化情況． 課上通過(guò)交流，可以了解到開(kāi)幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開(kāi)始下降，比較適宜舉辦大型國(guó)際體育賽事． 下圖是北京市某年8月8日一天24小時(shí)內(nèi)氣溫隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)圖． 圖1 引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考．

3、 問(wèn)題：觀察圖形，能得到什么信息？ 預(yù)案：(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時(shí)達(dá)到； (2)在某時(shí)刻的溫度； (3)某些時(shí)段溫度升高，某些時(shí)段溫度降低． 在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對(duì)我們的生活是很有幫助的． 問(wèn)題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預(yù)案：水位高低、燃油價(jià)格、股票價(jià)格等． 歸納：用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變?。? 【設(shè)計(jì)意圖】由生活情境引入新課，激發(fā)興趣． 歸納探索，形成概念 對(duì)于自變量變化時(shí)，函數(shù)值是變大還是變小，初中時(shí)同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識(shí)，但是沒(méi)有嚴(yán)格的定義，今天我們的任務(wù)首先就是建

4、立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義． 1．借助圖象，直觀感知 問(wèn)題1：分別作出函數(shù)y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝x2，y＝的圖象，并且觀察自變量變化時(shí)，函數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 圖2 預(yù)案：(1)函數(shù)y＝x＋2在整個(gè)定義域內(nèi)y隨x的增大而增大；函數(shù)y＝－x＋2在整個(gè)定義域內(nèi)y隨x的增大而減?。? (2)函數(shù)y＝x2在[0，＋∞)上y隨x的增大而增大，在(－∞，0)上y隨x的增大而減?。? (3)函數(shù)y＝在(0，＋∞)上y隨x的增大而減小，在(－∞，0)上y隨x的增大而減小． 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類(lèi)描述(增函數(shù)、減函數(shù))，同時(shí)明確函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)． 問(wèn)題2：能

5、不能根據(jù)自己的理解說(shuō)說(shuō)什么是增函數(shù)、減函數(shù)？ 預(yù)案：如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來(lái)越大，我們說(shuō)函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來(lái)越小，我們說(shuō)函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為減函數(shù)． 教師指出：這種認(rèn)識(shí)是從圖象的角度得到的，是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的直觀認(rèn)識(shí)． 【設(shè)計(jì)意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識(shí)． 2．探究規(guī)律，理性認(rèn)識(shí) 問(wèn)題1：下圖是函數(shù)y＝x＋(x＞0)的圖象，能說(shuō)出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎？ 圖3 學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置． 通過(guò)討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖

6、象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時(shí)不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究． 【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性． 問(wèn)題2：如何從解析式的角度說(shuō)明f(x)＝x2在[0，＋∞)為增函數(shù)？ 預(yù)案：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù)，例如1和2，因?yàn)?2＜22，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)為增函數(shù)． (2)仿(1)，取很多組驗(yàn)證均滿(mǎn)足，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)為增函數(shù)． (3)任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，因?yàn)閤12－x22＝(x1＋x2)(x1－x2)＜0，即x12＜x22， 所以f(x)＝x2在[0，＋∞)為增函數(shù)． 對(duì)于學(xué)

7、生錯(cuò)誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言進(jìn)行辨析，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量x1，x2. 【設(shè)計(jì)意圖】把對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性的高度，完成對(duì)概念的第二次認(rèn)識(shí)．事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好了鋪墊． 3．抽象思維，形成概念 問(wèn)題：你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述出增函數(shù)的定義嗎？ 師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類(lèi)比得出減函數(shù)的定義． (1)板書(shū)定義 (2)鞏固概念 判斷題： ①已知f(x)＝，因?yàn)閒(－1)＜f(2)，所以函數(shù)f(x)是增函數(shù)． ②若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2)＜

8、f(3)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù)． ③若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)． ④因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上都是減函數(shù)，所以f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數(shù)． 通過(guò)判斷題，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)： ①單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開(kāi)了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②對(duì)于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))． ③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A，B上都是增(或減)函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在A∪B

9、上是增(或減)函數(shù)． 思考：如何說(shuō)明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)？ 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過(guò)對(duì)判斷題的辨析，加深學(xué)生對(duì)定義的理解，完成對(duì)概念的第三次認(rèn)識(shí)． 掌握證法，適當(dāng)延展 【例】證明函數(shù)f(x)＝x＋在(，＋∞)上是增函數(shù)． 1．分析解決問(wèn)題 針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題，組織學(xué)生討論、交流． 證明：任取x1，x2∈(，＋∞)，且x1＜x2，設(shè)元 f(x1)－f(x2)＝－求差 ＝(x1－x2)＋ ＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝(x1－x2)，變形 ∵＜x1＜x2， ∴x1－x2＜0，x1x2＞2，∴f(x1)－f(x

10、2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，斷號(hào) ∴函數(shù)f(x)＝x＋在(，＋∞)上是增函數(shù)．定論 2．歸納解題步驟 引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論． 練習(xí)：證明函數(shù)f(x)＝在[0，＋∞)上是增函數(shù)． 問(wèn)題：要證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，除了用定義來(lái)證，如果可以證得對(duì)任意的x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2有＞0可以嗎？ 引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性，讓學(xué)生嘗試用這種等價(jià)形式證明函數(shù)f(x)＝在[0，＋∞)上是增函數(shù)． 【設(shè)計(jì)意圖】初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價(jià)形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單

11、調(diào)性埋下伏筆． 歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí) 學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲，交流學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié)． 1．小結(jié) (1)概念探究過(guò)程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性． (2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論． (3)數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化，類(lèi)比等． 2．作業(yè) 書(shū)面作業(yè)：課本習(xí)題1.3　A組第1,2,3題． 1．教學(xué)內(nèi)容的分析 函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其他性質(zhì)提供了方法依據(jù)． 對(duì)于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面：

12、(1)要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言去刻畫(huà)圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對(duì)高一的學(xué)生是比較困難的；(2)單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)． 2．教學(xué)目標(biāo)的確定 根據(jù)本課教材的特點(diǎn)、教學(xué)大綱對(duì)本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，從三個(gè)不同的方面確定了教學(xué)目標(biāo)，重視單調(diào)性概念的形成過(guò)程和對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)；強(qiáng)調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語(yǔ)言表達(dá)能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成． 3．教學(xué)方法和教學(xué)手段的選擇

13、 本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，采用教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法．本節(jié)課使用了多媒體投影和計(jì)算機(jī)來(lái)輔助教學(xué)，目的是充分發(fā)揮其快捷、生動(dòng)、形象的特點(diǎn)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解和認(rèn)識(shí)． 4．教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì) 為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)上采取了以下的措施： (1)在探索概念階段，讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，完成對(duì)單調(diào)性定義的三次認(rèn)識(shí)，使得學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)不斷深入． (2)在應(yīng)用概念階段，通過(guò)對(duì)證明過(guò)程的分析，幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步

14、驟． (3)可對(duì)判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱?，加深?duì)定義的理解，同時(shí)也為用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆． 第2課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 (1)使學(xué)生理解函數(shù)的最值是在整個(gè)定義域上來(lái)研究的，它是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用． (2)啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、認(rèn)識(shí)問(wèn)題和創(chuàng)造性地解決問(wèn)題． 2．過(guò)程與方法 (1)通過(guò)滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義的教育． (2)探究與活動(dòng)，明白考慮問(wèn)題要細(xì)致，說(shuō)理要明確． 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀 理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等現(xiàn)象． 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)最大(小)值的定義和求法． 教學(xué)難點(diǎn)：如何求一個(gè)具體函數(shù)的最值． 導(dǎo)

15、入新課 思路1．某工廠(chǎng)為了擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，計(jì)劃重新建造一個(gè)面積為10 000 m2的矩形新廠(chǎng)址，新廠(chǎng)址的長(zhǎng)為x m，則寬為m，所建圍墻y m，假如你是這個(gè)工廠(chǎng)的廠(chǎng)長(zhǎng)，你會(huì)選擇一個(gè)長(zhǎng)和寬各為多少米的矩形土地，使得新廠(chǎng)址的圍墻y最短？ 學(xué)生先思考或討論，教師指出此題意在求函數(shù)y＝2，x＞0的最小值．引出本節(jié)課題：在生產(chǎn)和生活中，我們非常關(guān)心花費(fèi)最少、用料最省、用時(shí)最省等最值問(wèn)題，這些最值對(duì)我們的生產(chǎn)和生活是很有幫助的．那么什么是函數(shù)的最值呢？這就是我們今天學(xué)習(xí)的課題．用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，這就是函數(shù)的思想，用函數(shù)解決問(wèn)題． 思路2．畫(huà)出下列函數(shù)的圖象，指出圖象的

16、最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，并說(shuō)明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？ ①f(x)＝－x＋3；②f(x)＝－x＋3，x∈[－1,2]； ③f(x)＝x2＋2x＋1；④f(x)＝x2＋2x＋1，x∈[－2,2]． 學(xué)生回答后，教師引出課題：函數(shù)的最值． 推進(jìn)新課 (1)如圖4所示是函數(shù)y＝－x2－2x、y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)、y＝f(x)的圖象．觀察這三個(gè)圖象的共同特征． 圖4 (2)函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)與函數(shù)有什么關(guān)系？ (3)你是怎樣理解函數(shù)圖象最高點(diǎn)的？ (4)問(wèn)題(1)中，在函數(shù)y＝f(x)的圖象上任取一點(diǎn)A(x，y)，如圖5所示，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y

17、0)，誰(shuí)能用數(shù)學(xué)符號(hào)解釋?zhuān)汉瘮?shù)y＝f(x)的圖象有最高點(diǎn)C? 圖5 (5)在數(shù)學(xué)中，形如問(wèn)題(1)中函數(shù)y＝f(x)的圖象上最高點(diǎn)C的縱坐標(biāo)就稱(chēng)為函數(shù)y＝f(x)的最大值．誰(shuí)能給出函數(shù)最大值的定義？ (6)函數(shù)最大值的定義中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，這個(gè)不等式反映了函數(shù)y＝f(x)的函數(shù)值具有什么特點(diǎn)？其圖象又具有什么特征？ (7)函數(shù)最大值的幾何意義是什么？ (8)函數(shù)y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)有最大值嗎？為什么？ (9)點(diǎn)(－1,3)是不是函數(shù)y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的最高點(diǎn)？ (10)由問(wèn)題(9)你發(fā)現(xiàn)了什么值得注意的地方？ 討論結(jié)果：(1

18、)函數(shù)y＝－x2－2x的圖象有最高點(diǎn)A，函數(shù)y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的圖象有最高點(diǎn)B，函數(shù)y＝f(x)的圖象有最高點(diǎn)C.也就是說(shuō)，這三個(gè)函數(shù)的圖象的共同特征是都有最高點(diǎn)． (2)函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)的意義：橫坐標(biāo)x是自變量的取值，縱坐標(biāo)y是自變量為x時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大?。? (3)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中的最大值，即函數(shù)的最大值． (4)由于點(diǎn)C是函數(shù)y＝f(x)圖象上的最高點(diǎn)，則點(diǎn)A在點(diǎn)C的下方，即對(duì)定義域內(nèi)任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是對(duì)函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)任意x，均有f(x)≤f(x0)成立． (5)一般地，設(shè)函數(shù)y＝f

19、(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足： ①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，稱(chēng)M是函數(shù)y＝f(x)的最大值． (6)f(x)≤M反映了函數(shù)y＝f(x)的所有函數(shù)值不大于實(shí)數(shù)M；這個(gè)函數(shù)的特征是圖象有最高點(diǎn)，并且最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是M. (7)函數(shù)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)． (8)函數(shù)y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)沒(méi)有最大值，因?yàn)楹瘮?shù)y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的圖象沒(méi)有最高點(diǎn)． (9)不是，因?yàn)樵摵瘮?shù)的定義域中沒(méi)有－1. (10)討論函數(shù)的最大值，要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則；函數(shù)圖象上有最高點(diǎn)時(shí)，這個(gè)函數(shù)才存在最大值，最高點(diǎn)必須是

20、函數(shù)圖象上的點(diǎn)． (1)類(lèi)比函數(shù)的最大值，請(qǐng)你給出函數(shù)的最小值的定義及其幾何意義. (2)類(lèi)比上面問(wèn)題(9)，你認(rèn)為討論函數(shù)最小值應(yīng)注意什么？ 活動(dòng)：讓學(xué)生思考函數(shù)最大值的定義，利用定義來(lái)類(lèi)比定義．最高點(diǎn)類(lèi)比最低點(diǎn)，不等號(hào)“≤”類(lèi)比不等號(hào)“≥”．函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的最值． 討論結(jié)果：(1)函數(shù)最小值的定義是： 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足： ①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，稱(chēng)M是函數(shù)y＝f(x)的最小值． 函數(shù)最小值的幾何意義：函數(shù)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)． (2)討論函數(shù)的最小值

21、，也要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則；函數(shù)圖象上有最低點(diǎn)時(shí)，這個(gè)函數(shù)才存在最小值，最低點(diǎn)必須是函數(shù)圖象上的點(diǎn)． 例1求函數(shù)y＝在區(qū)間[2,6]上的最大值和最小值． 活動(dòng)：先思考或討論，再到黑板上書(shū)寫(xiě)．當(dāng)學(xué)生沒(méi)有解題思路時(shí)，才提示：圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最大值，圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值．根據(jù)函數(shù)的圖象觀察其單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求得最大值和最小值．利用變換法畫(huà)出函數(shù)y＝的圖象，只取在區(qū)間[2,6]上的部分．觀察可得函數(shù)的圖象是上升的． 解：設(shè)2≤x1＜x2≤6，則有 f(x1)－f(x2)＝－＝＝. ∵2≤x1＜x2≤6， ∴x2－x1＞0

22、，(x1－1)(x2－1)＞0. ∴f(x1)＞f(x2)，即函數(shù)y＝在區(qū)間[2,6]上是減函數(shù)． ∴當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝在區(qū)間[2,6]上取得最大值f(2)＝2； 當(dāng)x＝6時(shí)，函數(shù)y＝在區(qū)間[2,6]上取得最小值f(6)＝. 變式訓(xùn)練 1．求函數(shù)y＝x2－2x(x∈[－3,2])的最大值和最小值． 解：最大值是f(－3)＝15，最小值是f(1)＝－1. 2．函數(shù)f(x)＝x4＋2x2－1的最小值是__________． 解析：(換元法)轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值． 設(shè)x2＝t，y＝t2＋2t－1(t≥0)， 又當(dāng)t≥0時(shí)，函數(shù)y＝t2＋2t－1是增函數(shù)， 則當(dāng)t＝0時(shí)，函

23、數(shù)y＝t2＋2t－1(t≥0)取最小值－1. 所以函數(shù)f(x)＝x4＋2x2－1的最小值是－1. 答案：－1 3．畫(huà)出函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3的圖象，指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值． 分析：函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，先畫(huà)出y軸右側(cè)的圖象，再對(duì)稱(chēng)到y(tǒng)軸左側(cè)合起來(lái)得函數(shù)的圖象；借助圖象，根據(jù)單調(diào)性的幾何意義寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間． 解：函數(shù)圖象如圖6所示． 圖6 由圖象得，函數(shù)的圖象在區(qū)間(－∞，－1)和[0,1]上是上升的，在[－1,0]和(1，＋∞)上是下降的，最高點(diǎn)是(±1,4)， 故函數(shù)在(－∞，－1)，[0,1]上是增函數(shù)；函數(shù)在[－1,0]，(1，＋∞)上是減函數(shù)，最大值是4.

24、 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及最值的求法．求函數(shù)的最值時(shí)，先畫(huà)函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再用定義法證明，最后借助單調(diào)性寫(xiě)出最值，這種方法適用于做解答題． 單調(diào)法求函數(shù)最值：先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最值；常用到下面的結(jié)論：①如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y＝f(x)在x＝b處有最大值f(b)；②如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c)上單調(diào)遞增，則函數(shù)y＝f(x)在x＝b處有最小值f(b). 例2“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一．制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂．如果煙花距地面的高

25、度h m與時(shí)間t s之間的關(guān)系為h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少？(精確到1 m) 活動(dòng)：可以指定一位學(xué)生到黑板上書(shū)寫(xiě)，教師在下面巡視，并及時(shí)幫助做錯(cuò)的學(xué)生改錯(cuò)．并對(duì)學(xué)生的板書(shū)及時(shí)評(píng)價(jià)．將實(shí)際問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象求出最大值．“煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻”就是當(dāng)t取什么值時(shí)函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18取得最大值；“這時(shí)距地面的高度是多少(精確到1 m)”就是函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的最大值；轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋

26、18的最大值及此時(shí)自變量t的值． 解：作出函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的圖象，如圖7所示， 圖7 顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時(shí)刻，縱坐標(biāo)就是這時(shí)距地面的高度． 由二次函數(shù)的知識(shí)，對(duì)于函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，我們有： 當(dāng)t＝－＝1.5時(shí)，函數(shù)有最大值h＝≈29. 即煙花沖出后1.5 s是它爆裂的最佳時(shí)刻，這時(shí)距地面的高度約是29 m. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的最值問(wèn)題，以及應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．解應(yīng)用題的步驟是：①審清題意讀懂題；②將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決；③歸納結(jié)論． 注

27、意：要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則；求二次函數(shù)的最值要借助于圖象即數(shù)形結(jié)合． 變式訓(xùn)練 1．把長(zhǎng)為12厘米的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是(　　) A．cm2　　　B．4 cm2　　　C．3cm2　　　D．2cm2 解析：設(shè)一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為x cm，則另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為(4－x) cm，兩個(gè)三角形的面積和為S，則S＝x2＋(4－x)2＝(x－2)2＋2≥2.當(dāng)x＝2時(shí)，S取最小值2cm2.故選D. 答案：D 2．某超市為了獲取最大利潤(rùn)做了一番試驗(yàn)，若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按10元一件的價(jià)格出售時(shí)，每天可銷(xiāo)售60件，現(xiàn)在采用提高銷(xiāo)售價(jià)格減少進(jìn)貨

28、量的辦法增加利潤(rùn)，已知這種商品每漲1元，其銷(xiāo)售量就要減少10件，問(wèn)該商品售價(jià)定為多少時(shí)才能賺取最大利潤(rùn)，并求出最大利潤(rùn)． 分析：設(shè)未知數(shù)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立函數(shù)關(guān)系式，再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義作出回答．利潤(rùn)＝(售價(jià)－進(jìn)價(jià))×銷(xiāo)售量． 解：設(shè)商品售價(jià)定為x元時(shí)，利潤(rùn)為y元，則y＝(x－8)[60－(x－10)·10] ＝－10[(x－12)2－16]＝－10(x－12)2＋160(10＜x＜16)， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝12時(shí)，y有最大值160元， 即售價(jià)定為12元時(shí)可獲最大利潤(rùn)160元. 課本本節(jié)練習(xí)5. 【補(bǔ)充練習(xí)】 某廠(chǎng)xx年擬舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該

29、廠(chǎng)產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量(即該廠(chǎng)的年產(chǎn)量)x萬(wàn)件與去年促銷(xiāo)費(fèi)m(萬(wàn)元)(m≥0)滿(mǎn)足x＝3－.已知xx年生產(chǎn)的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠(chǎng)家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)． (1)將xx年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)m(萬(wàn)元)的函數(shù)； (2)求xx年該產(chǎn)品利潤(rùn)的最大值，此時(shí)促銷(xiāo)費(fèi)為多少萬(wàn)元？ 分析：(1)年利潤(rùn)＝銷(xiāo)售價(jià)格×年銷(xiāo)售量－固定投入－促銷(xiāo)費(fèi)－再投入，銷(xiāo)售價(jià)格＝1.5×每件產(chǎn)品平均成本；(2)利用單調(diào)法求函數(shù)的最大值． 解：(1)每件產(chǎn)品的成本為元，故xx年的利潤(rùn)為 y＝1.5××x－(8＋

30、16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8－m＝28－－m(萬(wàn)元)(m≥0)． (2)可以證明當(dāng)0≤m≤3時(shí)，函數(shù)y＝28－－m是增函數(shù)，當(dāng)m＞3時(shí)，函數(shù)y＝28－－m是減函數(shù)，所以當(dāng)m＝3時(shí)，函數(shù)y＝28－－m取最大值21萬(wàn)元． 問(wèn)題：求函數(shù)y＝的最大值． 解：(方法一)利用計(jì)算機(jī)軟件畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖8所示， 故圖象最高點(diǎn)是. 圖8 則函數(shù)y＝的最大值是. (方法二)函數(shù)的定義域是R， 可以證明當(dāng)x＜－時(shí)，函數(shù)y＝是增函數(shù)； 當(dāng)x≥－時(shí)，函數(shù)y＝是減函數(shù)． 則當(dāng)x＝－時(shí)，函數(shù)y＝取最大值， 即函數(shù)y＝的最大值是. (方法三)函數(shù)的定義域是R， 由y＝，得yx2＋

31、yx＋y－1＝0. ∵x∈R，∴關(guān)于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0必有實(shí)數(shù)根． 當(dāng)y＝0時(shí)，關(guān)于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，即y＝0不屬于函數(shù)的值域． 當(dāng)y≠0時(shí)，則關(guān)于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0是一元二次方程， 則有Δ＝(－y)2－4×y(y－1)≥0.∴0＜y≤. ∴函數(shù)y＝的最大值是. 點(diǎn)評(píng)：方法三稱(chēng)為判別式法，形如函數(shù)y＝(d≠0)，當(dāng)函數(shù)的定義域是R(此時(shí)e2－4df＜0)時(shí)，常用判別式法求最值，其步驟是：①把y看成常數(shù)，將函數(shù)解析式整理為關(guān)于x的方程的形式mx2＋nx＋k＝0；②分類(lèi)討論m＝0是否符合題意；③當(dāng)m≠0時(shí)，關(guān)于x的方程mx2＋nx＋k

32、＝0中有x∈R，則此一元二次方程必有實(shí)數(shù)根，得n2－4mk≥0，得關(guān)于y的不等式，解不等式組此不等式組的解集與②中y的值取并集得函數(shù)的值域，從而得函數(shù)的最大值和最小值． 本節(jié)課學(xué)習(xí)了：(1)函數(shù)的最值；(2)求函數(shù)最值的方法：①圖象法，②單調(diào)法，③判別式法；(3)求函數(shù)最值時(shí)，要注意函數(shù)的定義域． 課本習(xí)題1.3A組　5,6. 為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)上采取了以下措施： 1．在探索概念階段，讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，完成對(duì)函數(shù)最值定義的三次認(rèn)識(shí)，使得學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)不斷深入． 2．在應(yīng)用概念階段，通過(guò)對(duì)證明過(guò)程的分析，幫助學(xué)生掌握用圖象和單調(diào)法求函數(shù)最值的方法和步驟．