2022年高二數學《三角函數的定義》教案設計之三

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1、2022年高二數學《三角函數的定義》教案設計之三 一。、教學目標 1．知識目標：（1）讓學生理解任意角的三角函數的定義； （2）掌握三角函數（正弦、余弦、正切）的定義域; (3) .理解并掌握各種三角函數在各象限內的符號. 2．能力目標：（1）培養(yǎng)學生應用圖形分析數學問題的能力； （2）學會運用任意三角函數的定義求相關角的三角函數值； （3）樹立映射觀點，正確理解三角函數是以實數為自變量的函數； （4）判斷.三角函數值在各象限內的符號. 3．情感目標：（1）通過網絡載體，利用幾何畫板的直觀演示，培養(yǎng)學生主動

2、探索、善于發(fā)現的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神； （2）在學習過程中通過相互討論培養(yǎng)學生的團結協作精神； （3）通過三角函數定義的學習，從中體會三角函數像一般函數一樣，具有一般函數的抽象美。 二、教學重點 （1） 任意角的正弦、余弦、正切的定義； （2） 三角函數的定義域； （3） 根據任意角的三角函數定義求三角函數值。 （4） 判斷.三角函數值在各象限內的符號. 三、教學難點 任意角的正弦、余弦、正切的定義； 教學 環(huán)節(jié) 教學內容 師生互動 設計意圖 復 習 引 入 角的概念 初中學過的銳角三角 函數的定義 教師運用多媒體展示在初中

3、 學習的銳角三角函數的定義。 師：前面我們學習了角的概念的推廣和弧度制，今天我們在這些知識的基礎上一起來學習任意角的三角函數。我們在初中已學習了銳角三角函數，下面先復習銳角三角函數的有關知識。 共同回顧，點明主題 概 念 形 成 概 念 形 成 概 念 形 成 1．用坐標的形式表示出初中所學的

4、銳角三角函數： 設點P (x,y)是銳角α終邊上的任意一點，,點P到原點O的距離是r（）, 　　則用含x、y、r的式子表示角α的正弦、余弦、正切值分別是： sinα=，cosα=，tanα=。 2．任意角的三角函數 （1）確立任意角α在直角坐標系中的位置； 以坐標原點為角α的頂點，以OX軸的正方向為角α的始邊； （2）在其終邊上任取一點P(x,y)，設點P到原點的距離為r，OP =r（r≠0），根據三角形的相似知識得： 由此得 （3） 三角函數定義如下： 叫做角α的余弦，記作cosα ,即cosα=； 叫做角α的正弦，記作sinα，即sinα

5、=； 叫做角α的正切，記作tanα，即tanα= 角α的其他三種函數： 角α的正割：secα== 角α的余割：= 角α的余切： = 1．以坐標原點為角α的頂點，以OX軸的正方向為角α的始邊，則角α的終邊落在直角坐標系的第一象限內，若點P (x,y)是角α終邊上的任意一點，,點P到原點O的距離是r（）,試將角α的三角函數用x、y、r的式子表示出來。 學生作圖，教師在此過程中要引導學生在坐標系中作出符合銳角三角函數定義要求的直角三角形。該過程中要適時指點學生，并加強學生與學生之間的討論與流。 回答問題：教師通過多媒體將此過程展示給學生，明確坐標與三角函

6、數的關系。 2．教師提出問題： 問題1：根據剛才我們在直角坐標系中討論的銳角三角函數，你能給出任意三角的三角函數定義嗎？ 教師一邊鼓勵學生大膽說出自己的想法，一邊組織學生討論，并及時肯定。 回答問題： 通過鼓勵和肯定一些好的想法，讓一位能代表大多數意見的學生主動說出自己對任意角三角函數的定義。 問題2：角α的三角函數值不受終邊上的點P的位置的影響嗎？ 這是一個較有思考價值的問題，教師要注意正確地引導和必要地提示，銳角三角函數的大小僅與銳角的大小有關，與直角三角形的大小無關。類似地……（留給學生思考）教師邊引導，邊結合多媒體演示。 問題3.依據函數的定義,這幾個比值可以分別構成函

7、數嗎?若能構成,它們的自變量是什么? X還是y? r還是角α? 1、 將初中定義的銳角三角函數放到坐標系中討論，指明研究函數問題的工具，完成從三角形到坐標系的轉化，為后面在直角坐標系中定義任意角的三角函數搭建平臺。 2、通過對比，讓學生對知識進行類比、遷移及聯想，樹立他們勇于探索的信心。 通過分組討論，加強學生間的交流與合作，充分發(fā)揮學生學習的主動性。 概 念 深 化 概 念 深 化 1． 角是“任意角”，當β=2kπ+α(k∈Z)時，β與α的同名三角函數值應該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數值

8、都相等。 2． 定義中只說怎樣的比值叫做α的什么函數，并沒有說α的終邊在什么位置（終邊在坐標軸上除外），即函數的定義與α的終邊位置無關。實際上，如果終邊在坐標軸上，上述定義同樣適用。 3． 三角函數是以“比值”為函數值的函數。 4． 對于正弦函數sinα=,因為r>0，所以恒有意義，即α取任意實數，恒有意義，也就是說sinα恒有意義，所以正弦函數的定義域是R；類似地可寫出余弦函數的定義域；對于正切函數tanα, 因為x=0時，無意義，又當且僅當α的終邊落在y軸上時，才有x=0，所以當α的終邊落不在y軸上時，恒有意義，即tanα恒有意義，所以正切函數的定義域是{α∣α≠kπ+（k∈K）}

9、 從而有y=sinα, α∈R y=cosα, α∈R y=tanα , α≠kπ+（k∈K） 對于第1到第3點教師要點撥,學生思考.對于第4點教師提出問題：談到函數，定義域要先行。在此，對三角函數的定義域要進一步明確，確定三角函數的定義域的依據是任意三角函數的定義。三角函數是以角為自變量的函數，如何去確定這些函數的定義域（即限定角的變化范圍）？它們的定義域是什么？ 由學生討論回答。 1、讓學生明確定義是對任意角而言的，OP是角α的終邊，至于是轉了幾圈，按什么方向旋轉的不清楚，也只有這樣，才

10、能說明角α是任意的。 2、 使學生明確任意角的三角函數的定義與銳角三角函數的定義的聯系與區(qū)別。任意角的三角函數包含銳角三角函數。實質上銳角三角函數的定義與任意角的三角函數定義是一致的，銳角三角函數定義是任意角三角函數定義的特例。所不同的是，銳角三角函數是以邊的比來定義的，任意角的三角函數定義是以坐標與距離、坐標與坐標、距離與坐標的比來定義的。 3、讓學生掌握正弦函數、余弦函數、正切函數的定義域。 使學生進一步鞏固和應用所學知識。 應 用 舉 例 例1 已知角α的終邊過點 P（2，－3），求α的其他三角函數值。 例2 求下列各角六個三角函數值： （1）0

11、； （2）π （3） 學生板演，教師對學生在解題思路和規(guī)范方面進行指導。 讓學生鞏固六種三角函數的概念，感受三角函數的定義在三角函數求值中的應用。 熟記0到2π范圍內的某些特殊角的三角函數值。 歸 納 小 結 1． 知識：三角函數的定義及其定義域。 2． 數學思想方法：數形結合思想；類比法。 學生反思本節(jié)內容，對知識進行總結，教師對思想方法進行提煉。 讓學生學會學習，學會反思，學會總結，重視數學思想方法在分析問題和解決問題中的作用。 布 置 作 業(yè) 層次一：教材練習A，1―3 層次二：教材習題1―2A，1，2。 層次一的題目要求所有學生完成，層次二的題目要求中等以上水平以上的學生完成。 使學生進一步鞏固和應用所學知識。