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1、江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 6個(gè)解答題綜合仿真練(六)(含解析)
1.如圖,在四棱錐E-ABCD中,平面EAB⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,EA⊥EB,點(diǎn)M,N分別是AE,CD的中點(diǎn).
求證:(1)MN∥平面EBC;
(2)EA⊥平面EBC.
證明:(1)取BE中點(diǎn)F,連結(jié)CF,MF,
又M是AE的中點(diǎn),
所以MF綊AB.
又N是矩形ABCD邊CD的中點(diǎn),
所以NC綊AB,所以MF綊NC,
所以四邊形MNCF是平行四邊形,所以MN∥CF.
又MN?平面EBC,CF?平面EBC,
所以MN∥平面EBC.
(2)在矩形ABCD中,BC⊥
2、AB,
又平面EAB⊥平面ABCD,平面ABCD∩平面EAB=AB,BC?平面ABCD,
所以BC⊥平面EAB.
又EA?平面EAB,所以BC⊥EA.
又EA⊥EB,BC∩EB=B,EB?平面EBC,BC?平面EBC,所以EA⊥平面EBC.
2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α,β的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,始邊為x軸的正半軸,終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為P,Q.已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為.
(1)求cos 2α的值;
(2)求2α-β的值.
解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)P在單位圓上,α為銳角,
所以cos α=,
所以cos 2α=2cos2α-1=.
(2)因
3、為點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為,點(diǎn)Q在單位圓上,
所以sin β=.
又β為銳角,所以cos β=.
因?yàn)閏os α=,且α為銳角,
所以sin α=,
因此sin 2α=2sin αcos α=,
所以sin(2α-β)=×-×=.
因?yàn)棣翞殇J角,所以0<2α<π.
又cos 2α>0,所以0<2α<,
又β為銳角,所以-<2α-β<,所以2α-β=.
3.某單位決定對(duì)本單位職工實(shí)行年醫(yī)療費(fèi)用報(bào)銷(xiāo)制度,擬制定年醫(yī)療總費(fèi)用在2萬(wàn)元至10萬(wàn)元(包括2萬(wàn)元和10萬(wàn)元)的報(bào)銷(xiāo)方案,該方案要求同時(shí)具備下列三個(gè)條件:①報(bào)銷(xiāo)的醫(yī)療費(fèi)用y(萬(wàn)元)隨醫(yī)療總費(fèi)用x(萬(wàn)元)增加而增加;②報(bào)銷(xiāo)的醫(yī)療費(fèi)用不得低
4、于醫(yī)療總費(fèi)用的50%;③報(bào)銷(xiāo)的醫(yī)療費(fèi)用不得超過(guò)8萬(wàn)元.
(1)請(qǐng)你分析該單位能否采用函數(shù)模型y=0.05(x2+4x+8)作為報(bào)銷(xiāo)方案;
(2)若該單位決定采用函數(shù)模型y=x-2ln x+a(a為常數(shù))作為報(bào)銷(xiāo)方案,請(qǐng)你確定整數(shù)a的值.(參考數(shù)據(jù):ln 2≈0.69,ln 10≈2.3)
解:(1)y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函數(shù),滿(mǎn)足條件①;
當(dāng)x=10時(shí),y有最大值7.4,小于8,滿(mǎn)足條件③;
但當(dāng)x=3時(shí),y=<,即y≥不恒成立,不滿(mǎn)足條件②,
故該函數(shù)模型不符合該單位報(bào)銷(xiāo)方案.
(2)對(duì)于函數(shù)模型y=x-2ln x+a,設(shè)f(x)=x-2ln x+a
5、,則f′(x)=1-=≥0.
所以f(x)在[2,10]上是增函數(shù),滿(mǎn)足條件①.
由條件②得x-2ln x+a≥,
即a≥2ln x-在x∈[2,10]上恒成立.
令g(x)=2ln x-,則g′(x)=-=,
由g′(x)>0,得2≤x<4;由g′(x)<0,得4
6、綜上所述,a的取值范圍為[4ln 2-2,2ln 2],
所以滿(mǎn)足條件的整數(shù)a的值為1.
4.如圖,已知橢圓E:+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A(-2,0),且點(diǎn)在橢圓上,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作斜率為k(k>0)的直線(xiàn)交橢圓E于另一點(diǎn)B,直線(xiàn)BF2交橢圓E于點(diǎn)C.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若△CF1F2為等腰三角形,求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(3)若F1C⊥AB,求k的值.
解:(1)由題意得解得
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)∵△CF1F2為等腰三角形,且k>0,
∴點(diǎn)C在x軸下方,
若F1C=F2C,則C(0,-);
若F1F2=CF2,則CF
7、2=2,∴C(0,-);
若F1C=F1F2,則CF1=2,∴C(0,-),
∴C(0,-).
∴直線(xiàn)BC的方程y=(x-1),
由得或
∴B.
(3)設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k(x+2),
由消去y,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,
∴xA·xB=-2xB=,
∴xB=,
∴yB=k(xB+2)=,
∴B.
若k=,則B,∴C,
∵F1(-1,0),∴kCF1=-,
∴F1C與AB不垂直;∴k≠,
∵F2(1,0),kBF2=,kCF1=-,
∴直線(xiàn)BF2的方程為y=(x-1),
直線(xiàn)CF1的方程為y=-(x+1),
由解得
∴C(8
8、k2-1,-8k).
由點(diǎn)C在橢圓上,得+=1,
即(24k2-1)(8k2+9)=0,即k2=,
∵k>0,∴k=.
5.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿(mǎn)足Sn=4-an.
(1)求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列,并求通項(xiàng)公式an;
(2)是否存在自然數(shù)c和k,使得>1成立?若存在,請(qǐng)求出c和k的值; 若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)證明:當(dāng)n=1時(shí),S1+a1=4,得a1=2,
由Sn=4-an,①
得Sn+1=4-an+1,②
②-①得,Sn+1-Sn=an-an+1,即an+1=an,
所以=,且a1=2,
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為的等比數(shù)列,且a
9、n=.
(2)法一:因?yàn)閍n=,
所以ak+1=,Sk=4,
要使=>1成立,只要使<0(*)成立,
當(dāng)c≥4時(shí),不等式(*)不成立;
(也可以根據(jù)Sk=4>c,且2≤Sk<4,所以c的可能取值為0,1,2,3)
當(dāng)c=0時(shí),1<2k<,不存在自然數(shù)k使(*)成立;
當(dāng)c=1時(shí),<2k<2,不存在自然數(shù)k使(*)成立;
當(dāng)c=2時(shí),2<2k<3,不存在自然數(shù)k使(*)成立;
當(dāng)c=3時(shí),4<2k<6,不存在自然數(shù)k使(*)成立.
綜上所述,不存在自然數(shù)c,k,使>1成立.
法二:要使>1,只要>2,
即只要<0,
因?yàn)镾k=4<4,
所以Sk-=2-Sk>0
10、,
故只要Sk-2<c<Sk.①
因?yàn)镾k+1>Sk,
所以Sk-2≥S1-2=1.
又Sk<4,故要使①成立,c只能取2或3.
當(dāng)c=2時(shí),因?yàn)镾1=2,所以當(dāng)k=1時(shí),c<Sk不成立,從而①不成立.
當(dāng)k≥2時(shí),因?yàn)镾2-2=>c,
由Sk<Sk+1,得Sk-2<Sk+1-2,
故當(dāng)k≥2時(shí),Sk-2>c,從而①不成立.
當(dāng)c=3時(shí),因?yàn)镾1=2,S2=3,
所以當(dāng)k=1,k=2時(shí),c<Sk不成立,從而①不成立.
因?yàn)镾3-2=>c,又Sk-2<Sk+1-2,
所以當(dāng)k≥3時(shí),Sk-2>c,從而①不成立.
綜上所述,不存在自然數(shù)c,k,使>1成立.
6.
11、已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1,g(x)=a2x2+bx+1.
(1)若f(x)≥g(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)x1,x2,函數(shù)g(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)x3,x4.
①若x3<x1<x4,試比較x2,x3,x4的大小關(guān)系;
②若x1=x3<x2,m,n,p∈(-∞,x1),==,求證:m=n=p.
解:(1)因?yàn)閒(x)≥g(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,
所以ax2≥a2x2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,
所以a2-a≤0,解得0≤a≤1.
又由題意可得a≠0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1].
(2)①因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象開(kāi)
12、口向上,且其零點(diǎn)為x3,x4,
故g(x)<0,得x3