《（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練：壓軸大題突破練（三）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（1）文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練：壓軸大題突破練（三）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（1）文（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練：壓軸大題突破練（三）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（1）文
1．(2018·咸陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝a(x＋1)ln x－x＋1(a∈R)．
(1)當(dāng)a＝2時，求函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)當(dāng)a≥時，求證：對任意的x≥1，f(x)≥0恒成立．
(1)解 由f(x)＝2(x＋1)ln x－x＋1，
得f′(x)＝2ln x＋＋1，
切點為(1,0)，斜率為f′(1)＝3，
所求切線方程為y＝3(x－1)，
即3x－y－3＝0.
(2)證明 當(dāng)a＝時，
f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1(x≥1)，
欲證：f(x)≥
2、0，注意到f(1)＝0，
只要f(x)≥f(1)即可，
f′(x)＝a－1(x≥1)，
令g(x)＝ln x＋＋1(x≥1)，
則g′(x)＝－＝≥0(x≥1)，
知g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，有g(shù)(x)≥g(1)＝2，
所以f′(x)≥2a－1≥0，
可知f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)≥f(1)＝0，
綜上，當(dāng)a≥時，對任意的x≥1，f(x)≥0恒成立．
2．(2018·濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋x2＋ax(a∈R)，g(x)＝ex＋x2.
(1)討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù)；
(2)若對?x>0，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求實數(shù)
3、a的取值范圍．
解 (1)f′(x)＝＋x＋a＝(x>0)，
令f′(x)＝0，即x2＋ax＋1＝0，
Δ＝a2－4，
①當(dāng)a2－4≤0，即－2≤a≤2時，
x2＋ax＋1≥0恒成立，即f′(x)≥0，
此時f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值點，
②當(dāng)a2－4>0，即a<－2或a>2時，
若a<－2，設(shè)方程x2＋ax＋1＝0的兩根為x1，x2，
且x10，x2>0，
此時x∈(0，x1)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，
x∈(x1，x2)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，
x∈(x2，＋∞)，f′(x)>0，f(x)
4、單調(diào)遞增，
故x1，x2分別為f(x)的極大值點和極小值點，
因此a<－2時，f(x)有兩個極值點；
若a>2，設(shè)方程x2＋ax＋1＝0的兩根為x1，x2，
且x10恒成立．
設(shè)h(x)＝，
h′(x)＝
＝，
當(dāng)x∈(0,1)時，ex(x－1)＋ln x＋
5、x2－1<0，
即h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(1，＋∞)時，ex(x－1)＋ln x＋x2－1>0，
即h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，
因此x＝1為h(x)的極小值點，
即h(x)≥h(1)＝e＋1，故a≤e＋1.
3．(2018·亳州模擬)已知函數(shù)f(x)＝在x＝1處取得極值．
(1)求a的值，并討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)x∈[1，＋∞)時，f(x)≥恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
解 (1)由題意知f′(x)＝，
又f′(1)＝1－a＝0，即a＝1，
∴ f′(x)＝(x>0)，
令f′(x)>0，得0
6、>1，
∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．
(2)依題意知，當(dāng)x∈[1，＋∞)時，f(x)≥恒成立，
即m≤恒成立，
令g(x)＝(x≥1)，
只需g(x)min≥m即可，
又g′(x)＝，
令h(x)＝x－ln x，h′(x)＝1－≥0(x≥1)，
∴h(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴ h(x)≥h(1)＝1>0，∴ g′(x)>0，
∴g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴g(x)min＝g(1)＝2，故m≤2.
4．(2018·福建省百校模擬)已知函數(shù)f(x)＝x－1＋aex.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)a＝－1時
7、，設(shè)－10且f(x1)＋f(x2)＝－5，證明：x1－2x2>－4＋.
(1)解 f′(x)＝1＋aex，
當(dāng)a≥0時，f′(x)>0，
則f(x)在R上單調(diào)遞增．
當(dāng)a<0時，令f′(x)>0，得xln，
則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)證明 方法一 設(shè)g(x)＝f(x)＋2x＝－ex＋3x－1，則g′(x)＝－ex＋3，
由g′(x)<0得x>ln 3；
由g′(x)>0得x
8、
∵f(x1)＋f(x2)＝－5，
∴f(x2)＋2x2＝－5－f(x1)＋2x2<0，
即x1－2x2>－4＋.
方法二 ∵f(x1)＋f(x2)＝－5，
∴x1＝－x2－3，
∴x1－2x2＝－3x2－3，
設(shè)g(x)＝ex－3x，則g′(x)＝ex－3，
由g′(x)<0得x0得x>ln 3，
故g(x)min＝g(ln 3)＝3－3ln 3.
∵－10，
∴x1－2x2>e－1＋3－3ln 3－3＝－3ln 3，
∵3ln 3＝ln 27<4，
∴x1－2x2>－4＋.
5．(2018·江南十校模擬)已知函數(shù)f(
9、x)＝，g(x)＝mx.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)a＝0時，f(x)≤g(x)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
(3)當(dāng)a＝1時，求證：當(dāng)x>1時，(x＋1)f(x)>2.
(1)解 f(x)＝的定義域為(0，＋∞)，
且f′(x)＝＝.
由f′(x)>0得1－ln x－a>0，
即ln x<1－a，解得00得0
10、遞增，在(，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴u(x)max＝u()＝＝，∴m≥.
(3)證明 (x＋1)f(x)>2，
等價于·>.
令p(x)＝，則p′(x)＝，
令φ(x)＝x－ln x，則φ′(x)＝1－＝，
∵x>1，∴φ′(x)>0，∴φ(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
φ(x)>φ(1)＝1>0，p′(x)>0，
∴p(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴p(x)>p(1)＝2，
∴>，
令h(x)＝，則h′(x)＝，
∵x>1，∴1－ex<0，∴h′(x)<0，h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x>1時，h(x)>h(x)，
即(x＋1)f(x)>2，x>1.
（京津?qū)Ｓ茫?022高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練：壓軸大題突破練（三）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（1）文
