（全國通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課時分層作業(yè)五十八 8.9 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 理

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1、（全國通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課時分層作業(yè)五十八 8.9 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 理 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.若過點(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點,這樣的直線有 (　　) A.1條 B.2條 C.3條　　　　D.4條 【解析】選C.結(jié)合圖形分析可知,滿足題意的直線共有3條:直線x=0,過點(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(0,1),且與拋物線相切的直線(非直線x=0). 2.(2018·濟南模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點為F2,O為坐標(biāo)原點,M為y軸上一點,點A是直線MF2與橢圓C

2、的一個交點,且|OA|=|OF2|=2|OM|,則橢圓C的離心率為(　　) A. B. C. D. 【解析】選D.由題知,M在橢圓的短軸上.設(shè)橢圓C的左焦點為F1,連接AF1. 因為|OA|=|OF2|,所以|OA|=|F1F2|,即AF1⊥AF2, 因為==,所以|AF1|=c, |AF2|=c, 所以2a=|AF1|+|AF2|=c,則橢圓C的離心率為e==. 3.(2018·開封模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C1: 2x2-y2=1,過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線,則該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積為 (　　) A.　

3、B.　 C.　 D. 【解析】選C.不妨設(shè)直線的斜率為,則直線方程為y=,另一條漸近線方程為y=-x,聯(lián)立可得交點坐標(biāo)為M,故三角形的面積為S=××=. 【變式備選】已知拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與雙曲線-=1(a>0)相交于A,B兩點,點F為拋物線的焦點,△ABF為直角三角形,則雙曲線的離心率為 (　　) A.3　 B.+1　 C.2　 D. 【解析】選A.由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2,代入雙曲線方程可得y=±,不妨設(shè)A,因為△FAB 是直角三角形,所以可得=p=4?a=, 因此雙曲線的離心率e====3. 4.已知直線y=2(x-1)與拋物線C:y2=4

4、x交于A,B兩點,點M(-1,m),若·=0,則m= (　　) A. B. C. D.0 【解析】選B.不妨設(shè)A在B上方. 由 得A(2,2),B,又因為M(-1,m)且·=0,所以2m2-2m+1=0,解得m=. 【變式備選】已知雙曲線-=1(b>0)的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于 (　　) A. B.4 C.3 D.5 【解析】選A.由題易得拋物線的焦點為(3,0),所以雙曲線的右焦點為(3,0),所以b2=c2-a2=9-4=5,所以雙曲線的一條漸近線方程為y=x,即x-2y=0,所以所求距離為d==

5、. 5.直線3x+4y-7=0與橢圓+=1(a>b>0)相交于兩點A,B ,線段AB的中點為M(1,1),則橢圓的離心率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選A.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1,+=1,作差得+=0即 +=0,兩邊同時除以(x1-x2)即得+= 0,因為x1+x2=2,y1+y2=2,=,代入得+=0,所以=,e=. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知拋物線C:y2=2x,過焦點F且斜率為1的直線與C相交于P,Q兩點,且P,Q兩點在準(zhǔn)線上的投影分別為M,N兩點,則S△MFN=________.? 【解析】

6、設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),所以S△MFN=×p×|y1-y2|=×1×|y1-y2|=|y1-y2|,直線方程是y=x-,與拋物線方程聯(lián)立整理得y2-2y-1=0, y1+y2=2,y1y2=-1,所以|y1-y2|==2.所以S△MFN=|y1-y2|=. 答案: 7.(2018·汾陽模擬)斜率為的直線與雙曲線-=1恒有兩個公共點,則雙曲線離心率的取值范圍是________.? 【解析】由題意可知,雙曲線的其中一條(k>0)漸近線斜率大于,>,e=>. 答案: 【變式備選】過拋物線y2=2x的焦點作一條直線與拋物線交于A,B兩點,它們的橫坐標(biāo)之和等于2,則這樣的直線有且

7、只有________條.? 【解析】設(shè)該拋物線焦點為F,A(xA,yA), B(xB,yB),則|AB|=|AF|+|FB|= xA++xB+=xA+xB+1=3>2p=2.所以符合條件的直線有且只有兩條. 答案:兩 8.已知斜率為2的直線經(jīng)過橢圓+=1的右焦點F1,與橢圓相交于A,B兩點,則弦AB的長為________. 【解析】由題意知,橢圓的右焦點F1的坐標(biāo)為(1,0),直線AB的方程為y=2(x-1). 由方程組消去y,整理得3x2-5x=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=,x1x2=0. 則|AB|= = ==.

8、答案: 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.已知橢圓E:+=1(a>b>0)過點(0,),且離心率e=. (1)求橢圓E的方程. (2)設(shè)直線l:x=my-1(m∈R)交橢圓E于A,B兩點,判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由. 【解析】(1)由已知,得解得 所以橢圓E的方程為+=1. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為H(x0,y0). 由得(m2+2)y2-2my-3=0, 所以y1+y2=,y1y2=-, 從而y0=. 所以|GH|2=+=+ =(m2+1)+my0+. = = = =(1+m2)(-y1y2

9、), 故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+ =-+=>0, 所以|GH|>. 故點G在以AB為直徑的圓外. 【一題多解】本題(2)還可以采用以下方法: 設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),則 =,=. 由得(m2+2)y2-2my-3=0, 所以y1+y2=,y1y2=-, 從而·=+y1y2 =+y1y2 =(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+ =++=>0, 所以cos<,>>0. 又,不共線,所以∠AGB為銳角. 故點G在以AB為直徑的圓外. 10.(2018·承德模擬)如圖,橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率是,點P(0,1)在短軸

10、CD上,且·=-1. (1)求橢圓E的方程. (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,過點P的動直線與橢圓交于A,B兩點.是否存在常數(shù)λ,使得·+λ·為定值?若存在,求λ的值;若不存在,請說明理由. 【解析】 (1)由已知,點C,D的坐標(biāo)分別為(0,-b),(0,b).又點P的坐標(biāo)為(0,1),且·=-1, 于是解得a=2,b=. 所以橢圓E的方程為+=1. (2)當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,點A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2). 聯(lián)立得(2k2+1)x2+4kx-2=0. 其判別式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0, 所以x1+x2=-,x1

11、x2=-. 從而,·+λ· =x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)] =(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 = =--λ-2. 所以,當(dāng)λ=1時,--λ-2=-3. 此時,·+λ·=-3為定值. 當(dāng)直線AB斜率不存在時,直線AB即為直線CD.當(dāng)λ=1時,·+λ·=·+·=-2-1=-3. 故存在常數(shù)λ=1,使得·+λ·為定值-3. 1.(5分)已知橢圓C的方程為+=1(m>0),如果直線y=x與橢圓的一個交點M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點F,則m的值為 (　　) A.2 B.2 C.8 D.2 【解析】選B.根據(jù)

12、已知條件得c=,則點在橢圓+=1(m>0)上,所以+=1,可得m=2(m=-2舍去). 【變式備選】已知動點P(x,y)在橢圓+=1上,若A點坐標(biāo)為(3,0),||=1,且·=0則||的最小值是 (　　) A. B. C.2 D.3 【解析】選B.由||=1可知點M的軌跡為以點A為圓心,1為半徑的圓, 過點P作該圓的切線PM,則|PA|2=|PM|2+|AM|2,得|PM|2=|PA|2-1, 所以要使得||的值最小,則要的值最小,而的最小值為a-c=2, 此時||的值最小為. 2.(5分)(2018·武漢模擬)已知橢圓+=1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程

13、是x-y+5=0,弦的中點坐標(biāo)是M(-4,1),則橢圓的離心率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.設(shè)直線與橢圓交點為A(x1,y1),B(x2,y2),分別代入橢圓方程得由點差法及x1+x2=-8,y1+y2=2可得yM=-xM,代入k=1,M(-4,1),解得=,所以e==. 3.(5分)(2018· 衡水模擬)已知直線l:y=2x-4交拋物線y2=4x于A,B兩點,在拋物線AOB這段曲線上有一點P,則△APB的面積的最大值為________. 【解析】由弦長公式知|AB|=3,只需點P到直線AB距離最大就可保證△APB的面積最大.設(shè)與l平行的直線

14、y=2x+b與拋物線相切,解得b=. 所以d=,所以(S△APB)max =×3×=. 答案: 4.(12分)(2018·貴陽模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng)直線AB斜率為0時,|AB|=4. (1)求橢圓的方程. (2)若|AB|+|CD|=,求直線AB的方程. 【解析】(1)由題意知e==,2a=4. 又a2=b2+c2,解得a=2,b=, 所以橢圓方程為+=1. (2)①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時,另一條弦所在直線的斜率不存在,由題意知|AB|+|CD|=7,不滿足條件

15、. ②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 則直線CD的方程為y=-(x-1). 將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得 (3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 則x1+x2=,x1·x2=, 所以|AB|=|x1-x2| =· =. 同理,|CD|==. 所以|AB|+|CD|=+ ==,解得k=±1, 所以直線AB的方程為x-y-1=0或x+y-1=0. 5.(13分)已知曲線C的方程為+=4,經(jīng)過點(-1,0)作斜率為k的直線l,l與曲線C交于A,B兩點,l與直線x=-4交于點D

16、,O是坐標(biāo)原點. (1)若+=2,求k的值. (2)是否存在實數(shù)k,使△AOB為銳角三角形?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由. 【解析】(1)由+=4 得+=4>2. 所以曲線C是以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點,4為長軸長的橢圓. 所以曲線C的方程為+=1,即3x2+4y2=12. 因為直線l經(jīng)過點(-1,0),斜率為k,所以直線l的方程為y=k(x+1). 因為直線l與直線x=-4交于點D,所以D(-4,-3k).設(shè)A(x1,kx1+k),B(x2,kx2+k). 由得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0, 所以x1+x2=,x1x2=. 由+=2得2x2-x1=-4. 由2x2-x1=-4和x1+x2=, 得x1=,x2=-. 因為x1x2=, 所以×=, 化簡得4k4-k2-5=0, 解得k2=或k2=-1<0(舍去).解得k=±. (2)由(1)知,A(x1,kx1+k),B(x2,kx2+k), x1+x2=,x1x2=. 因為=(x1,kx1+k),=(x2,kx2+k), ·=x1x2+(kx1+k)(kx2+k) =(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=<0, 所以∠AOB>. 所以不存在實數(shù)k,使△AOB為銳角三角形.