（新高考）2020版高考數(shù)學二輪復習 第一部分 思想方法 數(shù)學思想方法 第5講 選填題常用解法教學案 理

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1、第5講　選填題常用解法 方法一　直接法 方法詮釋 直接從題設(shè)條件出發(fā)，運用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴密地推理和準確地運算，從而得出正確的結(jié)論，然后對照題目所給出的選項“對號入座”，作出相應(yīng)的選擇 適用范圍 涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目常用直接法 【例1】　(1)[2019·全國卷Ⅱ]設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋6＞0}，B＝{x|x－1＜0}，則A∩B＝(　　) A．(－∞，1)　　　 B．(－2,1) C．(－3，－1) D．(3，＋∞) 解析：因為A＝{x|x2－5x＋6＞0}＝{x|x＞3或x＜2}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，

2、所以A∩B＝{x|x＜1}，故選A. 答案：A (2)[2019·全國卷Ⅰ]已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)a與b的夾角為α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0， ∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝，∵α∈[0，π]，∴α＝.故選B. 答案：B (3)[2019·全國卷Ⅲ]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a1≠0，a2＝3a1，則＝__________. 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2

3、a1，所以＝＝＝＝4. 答案：4 (4)[2019·全國卷Ⅱ]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，則△ABC的面積為________． 解析：解法一：因為a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面積S＝acsinB＝×4×2×sin＝6. 解法二：因為a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面

4、積S＝×2×6＝6. 答案：6 方法點睛 直接法的使用技巧 直接法是解決計算型客觀題最常用的方法，在計算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計算過程簡化，從而得到結(jié)果，這是快速準確求解客觀題的關(guān)鍵． 方法二　排除法 方法詮釋 排除法也叫篩選法或淘汰法，使用排除法的前提條件是答案唯一，具體的做法是采用簡捷有效的手段對各個備選答案進行“篩選”，將其中與題干相矛盾的干擾支逐一排除，從而獲得正確結(jié)論 適用范圍 這種方法適用于直接法解決問題很困難或者計算較繁雜的情況 【例2】　(1)[2019·福建五校聯(lián)考]函數(shù)f(x)＝x

5、2＋ln(e－x)ln(e＋x)的圖象大致為(　) 解析：因為f(－x)＝(－x)2＋ln(e＋x)ln(e－x)＝x2＋ln(e－x)·ln(e＋x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，據(jù)此可排除選項C(也可由f(0)＝1排除選項C)．當x→e時，f(x)→－∞，據(jù)此可排除選項B、D.故選A. 答案：A (2)[2018·河北七校聯(lián)考]已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點為F(0，－2)，一條漸近線的斜率為，則該雙曲線的方程為(　　) A.－y2＝1　 B．x2－＝1 C.－x2＝1 D．y2－＝1 解析：∵焦點F(0，－2)，∴焦點在y軸上，排除A，B；又選項D中

6、漸近線方程為y＝±x，排除D，故選C. 答案：C (3)[2018·開封調(diào)研]已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是(　　) A.∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C. D. 解析：因為當λ＝0時，a與b的夾角為鈍角，排除B，D；當λ＝2時，夾角為π，排除C，故選A. 答案：A 方法點睛 排除法的使用技巧 排除法適用于不易直接求解的選擇題．當題目中的條件多于一個時，先根據(jù)某些條件找出明顯與之矛盾的選項予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步排除，直接得到正確的選項． 方法三　特值法 方法詮釋 1.從題干

7、(或選項)出發(fā)，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或圖形位置，進行判斷．特值法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才可使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點、特殊位置、特殊數(shù)列等 2.當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等)進行處理，從而得出探求的結(jié)論．為保證答案的正確性，在利用此方法時，一般應(yīng)多取幾個特例 適用范圍 1.適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題 2.求值

8、或比較大小等問題的求解均可利用特殊值法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對于開放性問題或者有多種答案的填空題，則不能使用這種方法 【例3】　(1)已知橢圓C1：＋y2＝1(m>1)與雙曲線C2：－y2＝1(n>0)的焦點重合，若e1，e2分別為C1，C2的離心率，則(　　) A．m>n且e1e2>1　　 B．m>n且e1e2<1 C．m1 D．mn，e1e2＝>1，故選A. 答案

9、：A (2)已知E為△ABC的重心，AD為BC邊上的中線，令＝a，＝b，若過點E的直線分別交AB，AC于P，Q兩點，且＝ma，＝nb，則＋＝(　　) A．3 B．4 C．5 D. 解析：由于題中直線PQ的條件是過點E，所以該直線是一條“動”直線，所以最后的結(jié)果必然是一個定值．故可利用特殊直線確定所求值． 方法一：如圖1，PQ∥BC，則＝，＝， 圖1 此時m＝n＝，故＋＝3，故選A. 方法二：如圖2，取直線BE作為直線PQ，顯然，此時＝，＝，故m＝1，n＝，所以＋＝3，故選A. 圖2 答案：A (3)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝_______

10、_. 解析：由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為R， 又因為函數(shù)為偶函數(shù)， 所以f－f＝0， 即ln(e－1＋1)－－ln(e＋1)－＝0，lne－1－a＝0，解得a＝－，將a＝－代入原函數(shù)， 檢驗知f(x)是偶函數(shù)，故a＝－. 答案：－ 方法點睛 特值法的使用技巧 特值法具有簡化運算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題，但用特值法解選擇題時，要注意以下兩點： 第一，取特值盡可能簡單，有利于計算和推理； 第二，若在不同的特殊情況下有兩個或兩個以上的結(jié)論相符，則應(yīng)選另一特例情況再檢驗，或改用其他方法求解． 方法四　構(gòu)造法 方法詮釋 構(gòu)造法是一種

11、創(chuàng)造性思維，是綜合運用各種知識和方法，依據(jù)問題給出的條件和結(jié)論給出的信息，把問題作適當?shù)募庸ぬ幚?，?gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學模式，揭示問題的本質(zhì)，從而找到解題的方法 適用范圍 適用于求解問題中常規(guī)方法不能解決的問題 【例4】　(1)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導函數(shù)，若對于?x∈R，均有f(x)>f′(x)，則有(　　) A．e2 018f(－2 018)e2 018f(0) B．e2 018f(－2 018)f(0)，f(2 018)>e2 018f(0) D．e

12、2 018f(－2 018)>f(0)，f(2 018)f′(x)，并且ex>0， 所以g′(x)<0，故函數(shù)g(x)＝在R上單調(diào)遞減， 所以g(－2 018)>g(0)，g(2 018)f(0)，f(0)，f(2 018)

13、，以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造正方體， 設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以|CD|＝＝2R， 所以R＝，故球O的體積V＝＝π. 答案：π 方法點睛 構(gòu)造法實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題．(2)題巧妙地構(gòu)造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對角線，問題很容易得到解決． 方法五　估算法 方法詮釋 由于選擇題提供了唯一正確的選項，解答又無需過程．因此，有些題目，不必進行準確的計算，只需對其數(shù)值特點和取值界限作出適當?shù)墓?/p>

14、計，便能作出正確的判斷，這就是估算法．估算法往往可以減少運算量 適用范圍 難度稍大的函數(shù)的最值或取值范圍、函數(shù)圖象的變化等問題，常用估值法確定選項 【例5】　(1)已知a＝21.1，b＝30.6，c＝log3，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．b>c>a　　　 B．a(chǎn)>c>b C．b>a>c D．a(chǎn)>b>c 解析：a＝21.1>0，b＝30.6>0，c＝log3<0，a＝21.1>2，b＝30.6＝<＝2.所以a>b>c.故選D. 答案：D (2)若雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：因為雙曲線的一條漸

15、近線經(jīng)過點(3，－4)，所以＝，因為e＝>＝.∴e>，故選D. 答案：D (3)[2017·全國卷Ⅱ，文]如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π B．63π C．42π D．36π 解析：由題意，知V圓柱

16、的選項時，常采用估算法． 方法六　圖解法(數(shù)形結(jié)合法) 方法詮釋 對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果．這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等 適用范圍 圖解法是研究求解問題中含有幾何意義命題的主要方法，解題時既要考慮圖形的直觀，還要考慮數(shù)的運算 【例6】　(1)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝1，|b|＝2，則2a＋b與b的夾角是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：設(shè)2a＋b與b的夾角是θ，由題意有 |2a＋b

17、|＝＝2，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|·|b|cos＋b2＝6，所以cosθ＝＝＝，所以θ＝. 答案：D (2)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：如圖所示，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1， ∵α∥平面CB1D1，則m1∥m， 又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m， 同理可得CD1∥n. 故m、n所成角的大小與B1D1

18、、CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大?。? 而B1C＝B1D1＝CD1(均為面對角線)，因此∠CD1B1＝，得sin∠CD1B1＝. 答案：A (3)已知當x∈[0,1]時，函數(shù)y＝(mx－1)2的圖象與y＝＋m的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：函數(shù)y＝(mx－1)2的圖象的對稱軸為x＝，當≥1，即01時，作出函數(shù)y＝(mx－1)2與y＝＋m的圖象，如圖所示， 要使二者只有一個交點，則需y＝＋m在x＝1時的值小于等于y＝(mx－1)2

19、的值，即m＋1≤(m－1)2，解得m≥3，綜上正實數(shù)m的取值范圍是(0,1]∪[3，＋∞)． 答案：(0,1]∪[3，＋∞) (4)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B作l的垂線交x軸于C，D兩點，若|AB|＝2，則|CD|＝________. 解析：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系先求出m的值，再求|CD|. 由直線l：mx＋y＋3m－＝0知其過定點(－3，)，圓心O到直線l的距離為d＝. 由|AB|＝2得2＋()2＝12， 解得m＝－. 又直線l的斜率為－m＝，所以直線l的傾斜角α＝， 畫出符合題意的圖形如圖所示． 過點C作CE⊥BD，則∠DCE＝. 在Rt△CDE中，可得|CD|＝2×＝4. 答案：4 方法點睛 圖解法實質(zhì)上就是數(shù)形結(jié)合的思想方法，在解決填空題中的應(yīng)用時，利用圖形的直觀性并結(jié)合所學知識便可直接得到相應(yīng)的結(jié)論，這也是高考命題的熱點．準確運用此類方法的關(guān)鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對應(yīng)關(guān)系，利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求出結(jié)果． 11