2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、3．4　函數(shù)的應(yīng)用(一) 1．能利用已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題． 2．能自建確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題． 幾類常見的函數(shù)模型 1．一次函數(shù)y＝kx＋b中k的取值是如何影響其圖象和性質(zhì)的？ [答案]　當(dāng)k>0時(shí)直線必經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)直線必經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小 2．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)由哪些因素決定？ [答案]　二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)由開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)位置決定．a(chǎn)決定拋物線的開口方向，直線x＝－決定對稱軸的位置，決定頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)．另外其單調(diào)性由開口方向及對稱軸決定 3．判斷正誤(正確的

2、打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝kx＋8(k≠0)在R上是增函數(shù)．(　　) (2)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大值是.(　　) (3)分段函數(shù)中每一段的模型可以是一次函數(shù)或二次函數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 題型一用一、二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題 【典例1】　某商場經(jīng)營一批進(jìn)價(jià)是每件30元的商品，在市場銷售中發(fā)現(xiàn)此商品的銷售單價(jià)x元與日銷售量y件之間有如下關(guān)系： 銷售單價(jià)x(元) 30 40 45 50 日銷售量y(件) 60 30 15 0 (1)在坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(x，y

3、)對應(yīng)的點(diǎn)，并確定x與y的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)； (2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)上述關(guān)系式寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出銷售單價(jià)x為多少時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤． [思路導(dǎo)引]　(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)，選擇合適的模型，從而用待定系數(shù)法求解；(2)日銷售利潤P＝每件利潤×銷量． [解]　(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出各點(diǎn)，如圖． 這些點(diǎn)近似地分布在一條直線上，猜想y與x之間的關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系， 設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0，且k，b為常數(shù))， 則 解得 ∴f(x)＝－3x＋150，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(45,15)，點(diǎn)(50,0)也在此直線上． ∴y與x

4、之間的函數(shù)解析式為y＝－3x＋150(30≤x≤50)． (2)由題意，得P＝(x－30)(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4500＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50)． ∴當(dāng)x＝40時(shí)，P有最大值300.故銷售單價(jià)為40元時(shí)，日銷售利潤最大． 在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位．根據(jù)實(shí)際問題建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等問題． [針對訓(xùn)練] 1.有l(wèi)米長的鋼材，要做成如右圖所示的窗框：上半部分為半圓，下半部分為四個(gè)全等的小矩形組成的矩形，則小矩形的長與寬之比

5、為多少時(shí)，窗戶所通過的光線最多？并求出窗戶面積的最大值． [解]　設(shè)小矩形的長為x，寬為y，窗戶的面積為S， 則由圖可得9x＋πx＋6y＝l，所以6y＝l－(9＋π)x， 所以S＝x2＋4xy＝x2＋x[l－(9＋π)x]＝ －x2＋lx＝－2＋. 要使窗戶所通過的光線最多，只需窗戶的面積S最大． 由6y>0，得0

6、2)假設(shè)氣體在半徑為3 cm的管道中的流量為400 cm3/s，求該氣體通過半徑為r cm的管道時(shí)，其流量R的表達(dá)式； (3)已知(2)中的氣體通過的管道半徑為5 cm，計(jì)算該氣體的流量(精度為1 cm3/s)． [解]　(1)由題意得R＝kr4(k是大于0的常數(shù))． (2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400， ∴k＝， ∴流量R的表達(dá)式為R＝·r4. (3)∵R＝·r4，∴當(dāng)r＝5 cm時(shí)，R＝×54≈3086(cm3/s)． 利用冪函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟 (1)設(shè)出函數(shù)關(guān)系式． (2)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式． (3)根據(jù)題意，利

7、用得出的函數(shù)關(guān)系式解決問題． [針對訓(xùn)練] 2．某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比．已知投資1萬元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元． (1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額x的函數(shù)關(guān)系式； (2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，最大收益是多少萬元？ [解]　(1)設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資額x的函數(shù)關(guān)系式分別為f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2(x≥0)， 結(jié)合已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2， 所以f(

8、x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)． (2)設(shè)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品x萬元，則投資風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品(20－x)萬元，依題意得獲得收益為y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)，令t＝(0≤t≤2)，則x＝20－t2，所以y＝＋＝－(t－2)2＋3，所以當(dāng)t＝2，即x＝16時(shí)，y取得最大值，ymax＝3. 故當(dāng)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品16萬元，風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品4萬元時(shí)，可使投資獲得最大收益，最大收益是3萬元. 題型三用分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題 【典例3】　提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車

9、流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． (1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時(shí)) [思路導(dǎo)引]　用待定系數(shù)法確定v(x)的表達(dá)式，再確定f(x)． [解]　(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b， 再由已知得解得 故函數(shù)v(x)的

10、表達(dá)式為 v(x)＝ (2)依題意并由(1)可得 f(x)＝ 當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1200； 當(dāng)20≤x≤200時(shí)，f(x)＝x(200－x) ＝－x2＋x＝－(x2－200x) ＝－(x－100)2＋， 所以當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值. 綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3333， 即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/時(shí)． 構(gòu)建分段函數(shù)模型的關(guān)鍵點(diǎn) 建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各邊界點(diǎn)，即明確自變量的取值區(qū)

11、間，對每一區(qū)間進(jìn)行分類討論，從而寫出函數(shù)的解析式． [針對訓(xùn)練] 3．某旅游點(diǎn)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每提高1元，租不出去的自行車就增加3輛．旅游點(diǎn)規(guī)定：每輛自行車的日租金不低于3元并且不超過20元，每輛自行車的日租金x元只取整數(shù)，用y表示出租所有自行車的日凈收入(即一日中出租的所有自行車的總收入減去管理費(fèi)后的所得)． (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式． (2)試問日凈收入最多時(shí)每輛自行車的日租金應(yīng)定為多少元？日凈收入最多為多少元？ [解]　(1)當(dāng)x≤6時(shí)，y＝5

12、0x－115，令50x－115>0，解得x>2.3. 又因?yàn)閤∈N，x≥3，所以3≤x≤6，且x∈N. 當(dāng)6

13、題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型，這是解應(yīng)用問題的難點(diǎn)所在； (2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化 為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； (3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論； (4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題. 1．某自行車存車處在某一天總共存放車輛4000輛次，存車費(fèi)為：電動自行車0.3元/輛，普通自行車0.2元/輛．若該天普通自行車存車x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為(　　) A．y＝0.2x(0≤x≤4000) B．y＝0.5x(0≤x≤4000) C．y＝－0.1x＋12

14、00(0≤x≤4000) D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000) [解析]　由題意得y＝0.3(4000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1200.(0≤x≤4000) [答案]　C 2．某公司市場營銷人員的個(gè)人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時(shí)的收入是(　　) A．310元 B．300元 C．390元 D．280元 [解析]　由圖象知，該一次函數(shù)過(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y(tǒng)＝500x＋300(x≥0)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝300. [答案]　B 3．下面是一幅統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)此圖得到的以下說法中，

15、正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①這幾年生活水平逐年得到提高； ②生活費(fèi)收入指數(shù)增長最快的一年是2014年； ③生活價(jià)格指數(shù)上漲速度最快的一年是2015年； ④雖然2016年生活費(fèi)收入增長緩慢，但生活價(jià)格指數(shù)也略有降低，因而生活水平有較大的改善． A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　由題意知，“生活費(fèi)收入指數(shù)”減去“生活價(jià)格指數(shù)”的差是逐年增大的，故①正確；“生活費(fèi)收入指數(shù)”在2014～2015年最陡；故②正確；“生活價(jià)格指數(shù)”在2015～2016年最平緩，故③不正確；“生活價(jià)格指數(shù)”略呈下降，而“生活費(fèi)收入指數(shù)”呈上升趨勢，故④正確． [答案]　C 4．李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上

16、經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%. (1)當(dāng)x＝10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付________元； (2)在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為________． [解析]　(1)x＝10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付(60＋80)－10＝130元． (2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為y元，當(dāng)y<

17、120元時(shí)，李明得到的金額為y×80%，符合要求；當(dāng)y≥120元時(shí)，有(y－x)×80%≥y×70%恒成立，即8(y－x)≥7y，x≤， 因?yàn)閙in＝15，所以x的最大值為15. [答案]　(1)130　(2)15 5.如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，將在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形塊BNPM，使點(diǎn)P在邊DE上． (1)設(shè)MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，求該函數(shù)的解析式及定義域； (2)求矩形BNPM面積的最大值． [解]　(1)如圖所示，延長NP交AF于點(diǎn)Q， 所以PQ＝8－y，EQ＝x

18、－4. 在△EDF中，＝，所以＝. 所以y＝－x＋10，定義域?yàn)閇4,8]． (2)設(shè)矩形BNPM的面積為S， 則S＝xy＝x＝－(x－10)2＋50. 又x∈[4,8]， 所以當(dāng)x＝8時(shí)，S取最大值48. 課后作業(yè)(二十四) 復(fù)習(xí)鞏固 一、選擇題 1．某廠生產(chǎn)中所需一些配件可以外購，也可以自己生產(chǎn)．如果外購，每個(gè)配件的價(jià)格是1.10元；如果自己生產(chǎn)，則每月的固定成本將增加800元，并且生產(chǎn)每個(gè)配件的材料和勞力需0.60元，則決定此配件外購或自產(chǎn)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)(即生產(chǎn)多少件以上自產(chǎn)合算)是(　　) A．1000件 B．1200件 C．1400件 D．1600件 [解析]　設(shè)

19、生產(chǎn)x件時(shí)自產(chǎn)合算，由題意得1.1x≥800＋0.6x，解得x≥1600，故選D. [答案]　D 2．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本(單位：萬元)為C(x)＝x2＋2x＋20.已知1萬件售價(jià)是20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為(　　) A．36萬件 B．22萬件 C．18萬件 D．9萬件 [解析]　∵利潤L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，∴當(dāng)x＝18時(shí)，L(x)取最大值． [答案]　C 3．某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為y＝其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人

20、數(shù)，若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為(　　) A．15 B．40 C．25 D．130 [解析]　若4x＝60，則x＝15>10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿足題意；若1.5x＝60，則x＝40<100，不合題意．故擬錄用25人． [答案]　C 4．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為(　　) A．45.606萬元 B．45.6萬元 C．45.56萬元 D．45.51萬元 [解析]　依題意，可設(shè)甲地銷售x輛，則乙

21、地銷售(15－x)輛，故總利潤S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15)，∴對稱軸為直線x＝10.2，又x∈N*，∴當(dāng)x＝10時(shí)，Smax＝45.6. [答案]　B 5．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：分鐘)為f(x)＝(A，c為常數(shù))． 已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30 min，組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15 min，那么c和A的值分別是(　　) A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16 [解析]　由題意知，組裝第A件產(chǎn)品所需時(shí)間為＝15，故組裝第4件產(chǎn)品所需時(shí)間為＝30，解得c＝60.將c＝60

22、代入＝15，得A＝16. [答案]　D 二、填空題 6．若等腰三角形的周長為20，底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，則它的解析式為__________________． [解析]　由題意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.∵y>0，∴20－2x>0，∴x<10.又∵三角形兩邊之和大于第三邊，∴解得x>5，∴5

23、 km.若一輛這種型號的汽車緊急剎車后滑行的距離為3b km，則這輛車的行駛速度為________km/h. [解析]　由題意得a×602＝b，解得a＝，所以y＝x2.因?yàn)閥＝3b，所以x2＝3b，解得x＝－60(舍去)或x＝60，所以這輛車的行駛速度是60 km/h. [答案]　60 8．某商店每月按出廠價(jià)每瓶3元購進(jìn)一種飲料，根據(jù)以前的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若零售價(jià)定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若零售價(jià)每降低(升高)0.5元，則可多(少)銷售40瓶，在每月的進(jìn)貨當(dāng)月銷售完的前提下，為獲得最大利潤，銷售價(jià)應(yīng)定為________元/瓶． [解析]　設(shè)銷售價(jià)每瓶定為x元，利潤為y元，則y＝(x－

24、3)＝80(x－3)(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6時(shí)，y取得最大值． [答案]　6 三、解答題 9．某種商品在近30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(元)和時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系為： P＝(t∈N*) 設(shè)該商品的日銷售量Q(件)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系為Q＝40－t(0

25、，y＝(t－70)2－900， 所以當(dāng)t＝25時(shí)，ymax＝1125(元)． 結(jié)合①②得ymax＝1125(元)． 因此，這種商品日銷售額的最大值為1125元，且在第25天時(shí)日銷售金額達(dá)到最大． 10．醫(yī)院通過撒某種藥物對病房進(jìn)行消毒．已知開始撒放這種藥物時(shí)，濃度激增，中間有一段時(shí)間，藥物的濃度保持在一個(gè)理想狀態(tài)，隨后藥物濃度開始下降．若撒放藥物后3小時(shí)內(nèi)的濃度變化可用下面的函數(shù)表示，其中x表示時(shí)間(單位：小時(shí))，f(x)表示藥物的濃度： f(x)＝ (1)撒放藥物多少小時(shí)后，藥物的濃度最高？能維持多長時(shí)間？ (2)若需要藥物濃度在41.75以上消毒1.5小時(shí)，那么在撒放藥物后，

26、能否達(dá)到消毒要求？并簡要說明理由． [解]　(1)當(dāng)0

27、5＝1.58小時(shí)， ∴撒放藥物后，能夠達(dá)到消毒要求． 綜合運(yùn)用 11．?dāng)M定從甲地到乙地通話m min的電話費(fèi)f(m)＝1.06·(0.50[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整數(shù)(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.2]＝6)，則從甲地到乙地通話時(shí)間為5.5 min的通話費(fèi)為(　　) A．3.71 B．3.97 C．4.24 D．4.77 [解析]　5.5 min的通話費(fèi)為f(5.5)＝1.06×(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24. [答案]　C 12．某商人購貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%，他希望對貨物定一新價(jià)，

28、以便按新價(jià)讓利20%銷售后仍可獲得售價(jià)25%的利潤，則此商人經(jīng)營這種貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式是________． [解析]　設(shè)新價(jià)為b，則售價(jià)為b(1－20%)． ∵原價(jià)為a， ∴進(jìn)價(jià)為a(1－25%)．依題意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)×25%，化簡得b＝a，∴y＝b×20%·x＝a×20%·x，即y＝x(x∈N*)． [答案]　y＝x(x∈N*) 13．漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m(m>0)，為了保證魚群的生長空間，實(shí)際養(yǎng)殖量x小于m，以便留出適當(dāng)?shù)目臻e量．已知魚群的年增長量y和實(shí)際養(yǎng)殖量與空閑率(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)

29、的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為____________________．該函數(shù)的定義域是________． [解析]　根據(jù)題意知，空閑率是，故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝kx·，0