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1、第4講 函數(shù)的概念及其表示
1.函數(shù)與映射的概念
函數(shù)
映射
兩集合A,B
設(shè)A,B是兩個 ?
設(shè)A,B是兩個 ?
對應(yīng)關(guān)系
f:A→B
按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的 一個數(shù)x,在集合B中都有 的數(shù)f(x)與之對應(yīng)?
按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的 一個元素x,在集合B中都有 的元素y與之對應(yīng)?
名稱
稱 為從集合A到集合B的一個函數(shù)?
稱對應(yīng) 為從集合A到集合B的一個映射?
記法
y=f(x),x∈A
對應(yīng)f:A→B
2.函數(shù)的三要素
函數(shù)由 、 和對應(yīng)關(guān)系三個要素
2、構(gòu)成.在函數(shù)y=f(x),x∈A中,x叫作自變量,x的取值范圍A叫作函數(shù)的 .與x的值相對應(yīng)的y值叫作函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫作函數(shù)的 .?
3.函數(shù)的表示法
函數(shù)的常用表示方法: 、 、 .?
4.分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi),對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間,有著不同的 ,這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個部分組成,但它表示的是一個函數(shù).?
常用結(jié)論
1.常見函數(shù)的定義域
(1)分式函數(shù)中分母不等于0.
(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.
(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R.
(4)零次冪的底數(shù)不能
3、為0.
(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定義域均為R.
(6)y=logax(a>0,a≠1)的定義域為{x|x>0}.
(7)y=tan x的定義域為xx≠kπ+π2,k∈Z.
2.抽象函數(shù)的定義域
(1)若f(x)的定義域為[m,n],則在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,從而解得x的范圍,即為f[g(x)]的定義域.
(2)若f[g(x)]的定義域為[m,n],則由m≤x≤n確定g(x)的范圍,即為f(x)的定義域.
3.基本初等函數(shù)的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:當(dāng)a>0
4、時,值域為4ac-b24a,+∞;當(dāng)a<0時,值域為-∞,4ac-b24a.
(3)y=kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}.
(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.
題組一 常識題
1.[教材改編] 以下屬于函數(shù)的有 .(填序號)?
①y=±x;②y2=x-1;③y=x-2+1-x;④y=x2-2(x∈N).
2.[教材改編] 已知函數(shù)f(x)=x+1,x≥0,x2,x<0,則f(-2)= ,f[f(-2)]= .?
3.[教材改編] 函數(shù)f(x)=8-xx+3的定義域是 .?
4
5、.[教材改編] 已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),那么該函數(shù)的值域C的不同情況有 種.?
題組二 常錯題
◆索引:求函數(shù)定義域時非等價化簡解析式致錯;分段函數(shù)解不等式時忘記范圍;換元法求解析式,反解忽視范圍;對函數(shù)值域理解不透徹致錯.
5.函數(shù)y=x-2·x+2的定義域是 .?
6.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)2,x<1,4-x-1,x≥1,則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為 .?
7.已知f(x)=x-1,則f(x)= .?
8.若一系列函數(shù)的解析式相同、值域相同,但其定義域不同,
6、則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,那么函數(shù)解析式為y=x2,值域為{1,4}的“同族函數(shù)”共有 個.?
探究點一 函數(shù)的定義域
角度1 求給定函數(shù)解析式的定義域
例1 (1)函數(shù)f(x)=ln(x2-x)的定義域為 ( )
A.(0,1] B.[0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪[1,+∞)
(2)函數(shù)f(x)=1-2x+1x+3的定義域為 ( )
A.(-3,0]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]
D.(-∞,-3)∪(-3,1]
?
?
?
[總結(jié)反思] (1)求函數(shù)
7、定義域即求使解析式有意義的自變量x的取值集合;(2)若函數(shù)是由幾個基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時,定義域一般是各個基本初等函數(shù)定義域的交集;(3)具體求解時一般是列出自變量滿足的不等式(組),得出不等式(組)的解集即可;(4)注意不要輕易對解析式化簡變形,否則易出現(xiàn)定義域錯誤.
角度2 求抽象函數(shù)的定義域
例2 (1)若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0,2],
則函數(shù)g(x)=f(2x)lnx的定義域是 ( )
A.[0,1] B.[0,1)
C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)
(2)若函數(shù)f(x2+1)的定義域為[-1,1],則f(lg x)的定義域為 ( )
8、
A.[-1,1] B.[1,2]
C.[10,100] D.[0,lg 2]
?
?
?
[總結(jié)反思] (1)無論抽象函數(shù)的形式如何,已知定義域還是求定義域均是指其中的x的取值集合;(2)同一問題中、同一法則下的范圍是一致的,如f[g(x)]與f[h(x)],其中g(shù)(x)與h(x)的范圍(即它們的值域)一致.
變式題 (1)若函數(shù)y=f(x)的定義域為(0,1),則f(x+1)的定義域為 ( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(-1,1)
(2)已知函數(shù)y=f(x2-1)的定義域為[-3,3],則函數(shù)y=f(x)的定義域為 .?
探究
9、點二 函數(shù)的解析式
例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,則函數(shù)f(x)的解析式是( )
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=3x+1
C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x+4
(2)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,則函數(shù)f(x)= .?
(3)設(shè)函數(shù)f(x)對不為0的一切實數(shù)x均有f(x)+2f2018x=3x,則f(x)= .?
?
?
?
[總結(jié)反思] 求函數(shù)解析式的常用方法:
(1)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的解析式,可用換元法,此時要注意新元的取值范圍.
(2)待定系數(shù)法:已知函
10、數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),可用待定系數(shù)法.
(3)配湊法:由已知條件f[g(x)]=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.
(4)解方程組法:已知f(x)與f1x或f(-x)之間的關(guān)系式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式,兩等式組成方程組,通過解方程組求出f(x).
變式題 (1)已知函數(shù)f(2x-1)=4x+3,且f(t)=6,則t= ( )
A.12 B.13 C.14 D.15
(2)若f(x)對于任意實數(shù)x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,則f(x)= ( )
A.x+1 B.x-1
C.2x+
11、1 D.3x+3
(3)若f(x)為一次函數(shù),且f[f(x)]=4x+1,則f(x)= .?
探究點三 以分段函數(shù)為背景的問題
微點1 分段函數(shù)的求值問題
例4 (1)[2018·衡水調(diào)研] 設(shè)函數(shù)f(x)=x+1,x≥0,12x,x<0,則f[f(-1)]= ( )
A.32 B.2+1
C.1 D.3
(2)已知函數(shù)f(x)=2x,x<2,f(x-1),x≥2,則f(log27)= .?
?
?
?
[總結(jié)反思] 求分段函數(shù)的函數(shù)值時務(wù)必要確定自變量所在的區(qū)間及其對應(yīng)關(guān)系.對于復(fù)合函數(shù)的求值問題,應(yīng)由里到外依次求值.
微點2 分段函數(shù)與方程
12、
例5 (1)已知函數(shù)f(x)=(3+a)x+a,x<1,logax,x≥1,若f[f(1)]=3,則a= ( )
A.2 B.-2
C.-3 D.3
(2)函數(shù)f(x)=2x,x≤0,x-lnx,x>0,若f(0)+f(a)=2,則a的值為 .?
?
?
?
[總結(jié)反思] (1)若分段函數(shù)中含有參數(shù),則直接根據(jù)條件選擇相應(yīng)區(qū)間上的解析式代入求參;(2)若是求自變量的值,則需要結(jié)合分段區(qū)間的范圍對自變量進(jìn)行分類討論,再求值.
微點3 分段函數(shù)與不等式問題
例6 (1)[2018·惠州二模] 設(shè)函數(shù)f(x)=2-x-1,x≤0,x12,x>0,若f(x0)>1,則x0
13、的取值范圍是 ( )
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
(2)[2018·全國卷Ⅰ] 設(shè)函數(shù)f(x)=2-x,x≤0,1,x>0,則滿足f(x+1)
14、1】若函數(shù)f(x)=2x+1,x<0,x,x≥0,則f(1)+f(-1)=( )
A.0 B.2
C.-2 D.1
2.【微點2】設(shè)函數(shù)f(x)=22x-1+3,x≤0,1-log2x,x>0,若f(a)=4,則實數(shù)a的值為 ( )
A.12 B.18
C.12或18 D.116
3.【微點3】已知函數(shù)f(x)=3+log2x,x>0,x2-x-1,x≤0,則不等式f(x)≤5的解集為 ( )
A.[-1,1]
B.[-2,4]
C.(-∞,-2]∪(0,4)
D.(-∞,-2]∪[0,4]
4.【微點3】[2018·湖北咸寧聯(lián)考] 已知函數(shù)f(x)=x2-2
15、x,x≥0,1x,x<0,則不等式f(x)≤x的解集為 ( )
A.[-1,3]
B.(-∞,-1]∪[3,+∞)
C.[-3,1]
D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
5.【微點2】設(shè)函數(shù)f(x)=3x-b,x<1,2x,x≥1,若ff56=4,則b= .?
第4講 函數(shù)的概念及其表示
考試說明 1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念.
2.在實際情境中,會根據(jù)不同的需求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法,列表法,解析法)表示函數(shù).
3.了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段).
【課前雙基
16、鞏固】
知識聚焦
1.非空數(shù)集 非空集合 任意 唯一確定 任意 唯一確定 f:A→B f:A→B
2.定義域 值域 定義域 值域
3.解析法 圖像法 列表法
4.對應(yīng)關(guān)系
對點演練
1.④ [解析] ①②對于定義域內(nèi)任給的一個數(shù)x,可能有兩個不同的y值,不滿足對應(yīng)的唯一性,故①②錯.③的定義域是空集,而函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集,故③錯.只有④表示函數(shù).
2.4 5 [解析] 因為f(-2)=(-2)2=4,所以f[f(-2)]=f(4)=4+1=5.
3.(-∞,-3)∪(-3,8] [解析] 要使函數(shù)有意義,需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定義域是(-∞
17、,-3)∪(-3,8].
4.7 [解析] 只含有一個元素時有{a},,{c};有兩個元素時,有{a,b},{a,c},{b,c};有三個元素時,有{a,b,c}.所以值域C共有7種不同情況.
5.{x|x≥2} [解析] 要使函數(shù)有意義,需x-2≥0,x+2≥0,解得x≥2,即定義域為{x|x≥2}.
6.(-∞,-2]∪[0,10] [解析] ∵f(x)是分段函數(shù),∴f(x)≥1應(yīng)分段求解.
當(dāng)x<1時,f(x)≥1?(x+1)2≥1?x≤-2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1.
當(dāng)x≥1時,f(x)≥1?4-x-1≥1,即x-1≤3,∴1≤x≤10.
綜上所述,x≤-2
18、或0≤x≤10,即x∈(-∞,-2]∪[0,10].
7.x2-1(x≥0) [解析] 令t=x,則t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).
8.9 [解析] 設(shè)函數(shù)y=x2的定義域為D,其值域為{1,4},D的所有可能的個數(shù),即是同族函數(shù)的個數(shù),D的所有可能為{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9個,故答案為9.
【課堂考點探究】
例1 [思路點撥] (1)根據(jù)對數(shù)式的真數(shù)大于0求解;(2)根據(jù)二次根式的被開方數(shù)非負(fù)及分
19、母不為0求解.
(1)C (2)A [解析] (1)由x2-x>0,得x>1或x<0,所以定義域為(-∞,0)∪(1,+∞).
(2)由題意,自變量x應(yīng)滿足1-2x≥0,x+3>0,解得x≤0,x>-3,故函數(shù)的定義域為(-3,0].
例2 [思路點撥] (1)由f(x)的定義域得f(2x)的定義域,再結(jié)合ln x≠0求解;(2)由x∈[-1,1],求得x2+1的范圍是[1,2],再由1≤lg x≤2即可得函數(shù)f(lg x)的定義域.
(1)D (2)C [解析] (1)∵f(x)的定義域為[0,2],∴要使f(2x)有意義,則有0≤2x≤2,∴0≤x≤1,∴要使g(x)有意義,應(yīng)有0
20、≤x≤1,lnx≠0,∴0
21、湊法將3x+2配湊成3(x+1)-1;(2)設(shè)出二次函數(shù),利用待定系數(shù)法,根據(jù)等式恒成立求出待定系數(shù)即可;(3)構(gòu)造含f(x)和f2018x的方程組,消去f2018x即可得f(x)的解析式.
(1)A (2)-x2+2x+15 (3)4036x-x [解析] (1)由于f(x+1)=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.
(2)由已知令f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f(x+1)-f(x)=2ax+b+a=-2x+1,
∴2a=-2,a+b=1,∴a=-1,b=2,又f(2)=15,∴c=15,∴f(x)=-x2+2x+15.
(3)f(x)+2f2018x=3x①,且x≠
22、0,
用2018x代替①中的x,得f2018x+2f(x)=3×2018x②,
解①②組成的方程組,消去f2018x得f(x)=4036x-x.
變式題 (1)A (2)A (3)2x+13或-2x-1 [解析] (1)設(shè)t=2x-1,則x=t+12,
故f(t)=4×t+12+3=2t+5,
令2t+5=6,則t=12,故選A.
(2)因為3f(x)-2f(-x)=5x+1①,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1②,聯(lián)立①②,解得f(x)=x+1,故選A.
(3)設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),由f[f(x)]=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,得a2=4,ab
23、+b=1,解得a=2,b=13或a=-2,b=-1,∴f(x)=2x+13或f(x)=-2x-1.
例4 [思路點撥] (1)先求f(-1)的值,再求f[f(-1)]的值;(2)先估算log27的范圍,再確定選用哪段解析式求值.
(1)D (2)72 [解析] (1)由題意可得f(-1)=12-1=2,∴f[f(-1)]=f(2)=3,故選D.
(2)因為2
24、a>0兩種情況討論求解.
(1)D (2)0或1 [解析] (1)根據(jù)題意可知f(1)=loga1=0,所以f[f(1)]=f(0)=(3+a)×0+a=a=3,
即a=3,故選D.
(2)∵f(x)=2x,x≤0,x-lnx,x>0,∴f(0)=20=1.
當(dāng)a>0時,f(a)=a-ln a,則有1+a-ln a=2,解得a=1;
當(dāng)a≤0時,f(a)=2a,則有1+2a=2,解得a=0.
例6 [思路點撥] (1)分x0≤0和x0>0兩種情況討論求解;(2)根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式,將函數(shù)圖像畫出來,結(jié)合圖像可得不等式成立的條件.
(1)D (2)D [解析] (1)當(dāng)x0≤
25、0時,由f(x0)=2-x0-1>1,即2-x0>2,解得x0<-1;
當(dāng)x0>0時,由f(x0)=x012>1,解得x0>1.
∴x0的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞).
(2)f(x)的圖像如圖所示.當(dāng)x+1≤0,2x≤0,即x≤-1時,若滿足f(x+1)2x,即x<1,此時x≤-1;當(dāng)x+1>0,2x<0,即-1
26、)=4,所以22a-1+3=4,a≤0或1-log2a=4,a>0,
所以a=12,a≤0或a=18,a>0,所以a=18,故選B.
3.B [解析] 由于f(x)=3+log2x,x>0,x2-x-1,x≤0,
所以當(dāng)x>0時,3+log2x≤5,即log2x≤2=log24,得0
27、析] 由ff56=4,可得f52-b=4.
若52-b≥1,即b≤32,可得252-b=4,解得b=12.
若52-b<1,即b>32,可得3×52-b-b=4,解得b=78<32(舍去).故答案為12.
【備選理由】 例1考查給定函數(shù)解析式,求抽象函數(shù)的定義域問題;例2考查分段函數(shù)的求值,但涉及三角函數(shù)及函數(shù)的周期性;例3考查分段函數(shù)與方程問題,先分析參數(shù)的范圍,可以避免分類討論;例4是對函數(shù)值域的考查,依據(jù)分段函數(shù)的值域求參數(shù),是對已有例題的有效補充,值得探究和思考.
例1 [配合例2使用] [2018·邵陽期末] 設(shè)函數(shù)f(x)=
28、log2(x-1)+2-x,則函數(shù)fx2的定義域為( )
A.(1,2] B.(2,4]
C.[1,2) D.[2,4)
[解析] B 要使函數(shù)f(x)有意義,則需2-x≥0,x-1>0?1
29、知當(dāng)x<1時,f(x)是周期為6的周期函數(shù),
則f(-2018)=f(-336×6-2)=f(-2)=-f(-2+3)=-f(1).而當(dāng)x≥1時,f(x)=x2+sinπ2x,∴f(1)=2,
∴f(-2018)=-f(1)=-2.
例3 [配合例5使用] 已知f(x)=1x-1,x>1,x+1,x≤1,若f(1-a)=f(1+a)(a>0),則實數(shù)a的值為 .?
[答案] 1
[解析] ∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,∴由f(1-a)=f(1+a)得2-a=1a,即a2-2a+1=0,∴a=1.
例4 [補充使用] [2018·武邑中學(xué)模擬] 若函數(shù)f(x)=x+a,x≤2,log4x,x>2的值域為R,則a的取值范圍是 .?
[答案] a≥-32
[解析] ∵f(x)=log4x在x>2時的值域為12,+∞,
∴f(x)=x+a在x≤2時的最大值必須大于等于12,
即滿足2+a≥12,解得a≥-32.
故答案為a≥-32.
12
（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第4講 函數(shù)的概念及其表示學(xué)案 理 新人教A版
