（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 講重點 解答題專練 第5講 概率與統(tǒng)計教學(xué)案 理

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1、第5講　概率與統(tǒng)計 ■真題調(diào)研—————————————— 【例1】　[2019·全國卷Ⅱ]11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束． (1)求P(X＝2)； (2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率． 解：(1)X＝2就是10∶10平后，兩人又打2個球該局比賽結(jié)束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1

2、－0.5)×(1－0.4)＝0.5. (2)X＝4且甲獲勝，就是10∶10平后，兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束，且這4個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分． 因此所求概率為[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1. 【例2】　[2019·全國卷Ⅲ]為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

3、 甲離子殘留百分比直方圖 乙離子殘留百分比直方圖 記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70. (1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值； (2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)． 解：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35. b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10. (2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為 2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙離子殘留百分比的平均值的估計值

4、為 3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00. 【例3】　[2019·北京卷]改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下： 支付金額(元) 支付方式　　　　 (0,1 000] (1 000,2 000] 大于2 000 僅使用A 18人 9人 3人 僅使用B 10人 14人 1人 (1)

5、從全校學(xué)生中隨機抽取1人，估計該學(xué)生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率； (2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1 000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說明理由． 解：(1)由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18＋9＋3＝30人，僅使用B的學(xué)生有10＋14＋1＝25人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人． 故樣本中

6、A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100－30－25－5＝40人． 所以從全校學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率估計值為＝0.4. (2)X的所有可能值為0,1,2. 記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生上個月的支付金額大于1 000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生上個月的支付金額大于1 000元”． 由題設(shè)知，事件C，D相互獨立，且 P(C)＝＝0.4，P(D)＝＝0.6. 所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24， P(X＝1)＝P(C∪D) ＝P(C)P()＋P()P(D) ＝0.4×

7、(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6 ＝0.52， P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.24. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 0.24 0.52 0.24 故X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1. (3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機抽查3人，他們本月的支付金額都大于2 000元”． 假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2 000元的人數(shù)沒有變化，則由上個月的樣本數(shù)據(jù)得， P(E)＝＝. 答案示例1：可以認為有變化．理由如下： P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生．一旦發(fā)生，就有理由認為本月的

8、支付金額大于2 000元的人數(shù)發(fā)生了變化．所以可以認為有變化． 答案示例2：無法確定有沒有變化．理由如下： 事件E是隨機事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化． 【例4】　[2019·全國卷Ⅰ]為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以

9、甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X. (1)求X的分布列； (2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設(shè)α＝0.5，β＝0.8. (ⅰ)證明：{pi＋1－pi}(i

10、＝0,1,2，…，7)為等比數(shù)列； (ⅱ)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性． 解：(1)X的所有可能取值為－1,0,1. P(X＝－1)＝(1－α)β， P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， P(X＝1)＝α(1－β)． 所以X的分布列為 (2)(ⅰ)由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1. 因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1(i＝1,2，…，7)， 故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)， 即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)． 又因為p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為

11、公比為4，首項為p1的等比數(shù)列． (ⅱ)由(ⅰ)可得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0 ＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0) ＝p1. 由于p8＝1，故p1＝，所以 p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0) ＝p1 ＝. p4表示最終認為甲藥更有效的概率．由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為p4＝≈0.0039，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理． ■模擬演練—————————————— 1．[2019·南昌二模]某品牌餐飲公司準(zhǔn)備在10個規(guī)模相

12、當(dāng)?shù)牡貐^(qū)開設(shè)加盟店，為合理安排各地區(qū)加盟店的個數(shù)，先在其中5個地區(qū)試點，得到試點地區(qū)加盟店個數(shù)分別為1,2,3,4,5時，單店日平均營業(yè)額y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如下： 加盟店個數(shù)x 1 2 3 4 5 單店日平均營業(yè)額y/萬元 10.9 10.2 9 7.8 7.1 (1)求單店日平均營業(yè)額y(單位：萬元)與所在地區(qū)加盟店個數(shù)x的線性回歸方程； (2)該公司根據(jù)(1)中所求的回歸方程，決定在其他5個地區(qū)中，開設(shè)加盟店個數(shù)為5,6,7的地區(qū)數(shù)分別為2,1,2.小趙與小王都準(zhǔn)備加入該公司的加盟店，但根據(jù)公司規(guī)定，他們只能分別從這5個地區(qū)的30個加盟店中隨機抽取一個加入．

13、記事件A：小趙與小王抽取到的加盟店在同一個地區(qū)，事件B：小趙與小王抽取到的加盟店預(yù)計日平均營業(yè)額之和不低于12萬元，求在事件A發(fā)生的前提下事件B發(fā)生的概率． (參考數(shù)據(jù)及公式：iyi＝125，＝55，線性回歸方程＝x＋，其中＝，＝－) 解：(1)由題可得，＝3，＝9，設(shè)所求線性回歸方程為＝x＋， 則＝＝＝－1， 將＝3，＝9代入＝－， 得＝9－(－3)＝12， 故所求線性回歸方程為＝－x＋12. (2)根據(jù)(1)中所得回歸方程，加盟店個數(shù)為5的地區(qū)單店預(yù)計日平均營業(yè)額為7萬元， 加盟店個數(shù)為6的地區(qū)單店預(yù)計日平均營業(yè)額為6萬元， 加盟店個數(shù)為7的地區(qū)單店預(yù)計日平均營業(yè)額為5萬

14、元． P(A)＝＝， P(AB)＝＝， 所以P(B|A)＝＝. 2．[2019·武漢4月調(diào)研]中共十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準(zhǔn)扶貧的要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康．經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進步，農(nóng)民年收入也逐年增加． 為了更好地制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收入，力爭早日脫貧的工作計劃，該地區(qū)扶貧辦統(tǒng)計了2018年50位農(nóng)民的年收入(單位：千元)并制成如下頻率分布直方圖： (1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計50位農(nóng)民的年平均收入(單位：千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示)． (2)由頻率分布直方圖，可以認為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收

15、入X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為年平均收入，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計算得s2＝6.92.利用該正態(tài)分布，解決下列問題： ①在2019年脫貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？ ②為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的落實情況，扶貧辦隨機走訪了1 000位農(nóng)民．若每個農(nóng)民的年收入相互獨立，問：這1 000位農(nóng)民中年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少？ 附：參考數(shù)據(jù)與公式 ≈2.63，若X～N(μ，σ2)，則 ①P(μ－σ

16、＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σu～σ)≈＋≈0.841 4， μ－σ≈17.40－2.63＝14.77， 即最低年收入大約為14.77千元． ②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)≈0.5＋≈0.977 3，得每個農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件的概率為0.977 3， 記這1 000位農(nóng)民中年收入不少于12.14千元

17、的人數(shù)為ξ，則 ξ～B(103，p)，其中p＝0.977 3， 于是恰好有k位農(nóng)民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是 P(ξ＝k)＝Ck103pk(1－p)103－k， 從而由＝>1，得k<1 001p， 而1 001p＝978.277 3，所以， 當(dāng)0≤k≤978時，P(ξ＝k－1)P(ξ＝k)． 由此可知，在所走訪的1 000位農(nóng)民中，年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是978. 3．[2019·鄭州質(zhì)量預(yù)測二]目前，浙江和上海已經(jīng)成為新高考綜合試點的“排頭兵”，有關(guān)其他省份新高考改革的實施安排

18、，教育部部長在十九大上做出明確表態(tài)：到2020年，我國將全面建立起新的高考制度．新高考規(guī)定：語文、數(shù)學(xué)和英語是考生的必考科目，考生還需從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目．若一個學(xué)生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目，則稱該學(xué)生的選考方案確定；否則，稱該學(xué)生選考方案待確定．例如，學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個選考科目，則學(xué)生甲的選考方案確定，“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案． 某校為了解高一年級840名學(xué)生選考科目的意向，隨機選取60名學(xué)生進行了一次調(diào)查，統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表： 選考方案研究情況 物理 化學(xué) 生物 歷史 地理 政治

19、 男生 確定的有16人 16 16 8 4 2 2 待確定的有12人 8 6 0 2 0 0 女生 確定的有20人 6 10 20 16 2 6 待確定的有12人 2 8 10 0 0 2 (1)估計該學(xué)校高一年級選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人？ (2)將2×2列聯(lián)表填寫完整，并通過計算判斷能否有99.9%的把握認為選歷史與性別有關(guān)？ 選歷史 不選歷史 總計 選考方案確定的男生 選考方案確定的女生 總計 (3)從選考方案確定的16名男生中隨機選出2名，設(shè)隨機變量ξ＝

20、求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)由題意可知，選考方案確定的男生中確定選考生物的學(xué)生有8人，選考方案確定的女生中確定選考生物的學(xué)生有20人，則該學(xué)校高一年級選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生約有××840＝392(人)． (2)2×2列聯(lián)表填寫完整為 選歷史 不選歷史 總計 選考方案確定的男生 4 12 16 選考方案確定的女生 16 4 20 總計 20 16 36 由2

21、×2列聯(lián)表可得，K2的觀測值k＝＝＝＝10.89＞10.828， 所以有99.9%的把握認為選歷史與性別有關(guān)． (3)由題表中數(shù)據(jù)可知，選考方案確定的男生中有8人選擇物理、化學(xué)和生物；有4人選擇物理、化學(xué)和歷史；有2人選擇物理、化學(xué)和地理；有2人選擇物理、化學(xué)和政治． 由已知得ξ的取值為0,1. P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝(或P(ξ＝0)＝＝)， 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＝. 4．[2019·濟南模擬]某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為三級過濾，使用壽命為十年，如圖1所示．兩個一級過濾器采用并聯(lián)安裝

22、，二級過濾器與三級過濾器為串聯(lián)安裝．其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)，在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立)，三級濾芯無需更換，若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯，則一級濾芯每個80元，二級濾芯每個160元．若客戶在使用過程中單獨購買濾芯，則一級濾芯每個200元，二級濾芯每個400元，現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中圖2是根據(jù)200個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的柱狀圖，表是根據(jù)100個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表： 圖1 圖2 二

23、級濾芯更換頻數(shù)分布表： 二級濾芯更換的個數(shù) 5 6 頻數(shù) 60 40 以200個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以100個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率． (1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為30的概率； (2)記X表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的一級濾芯總數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望； (3)記m，n分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù)．若m＋n＝28，且n∈{5,6}，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù)，試確定m，n的值

24、． 解：(1)由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為30，則該套凈水系統(tǒng)中的兩個一級過濾器均需更換12個濾芯，二級過濾器需要更換6個濾芯．設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為30”為事件A.因為一個一級過濾器需要更換12個濾芯的概率為0.4，二級過濾器需要更換6個濾芯的概率為0.4，所以P(A)＝0.4×0.4×0.4＝0.064. (2)由柱狀圖可知，一個一級過濾器需要更換的濾芯個數(shù)為10,11,12的概率分別為0.2,0.4,0.4. 由題意，X可能的取值為20,21,22,23,24，則 P(X＝20)＝0.2×0.2＝0.04，

25、 P(X＝21)＝0.2×0.4×2＝0.16， P(X＝22)＝0.4×0.4＋0.2×0.4×2＝0.32， P(X＝23)＝0.4×0.4×2＝0.32， P(X＝24)＝0.4×0.4＝0.16， 所以X的分布列為 X 20 21 22 23 24 P 0.04 0.16 0.32 0.32 0.16 E(X)＝20×0.04＋21×0.16＋22×0.32＋23×0.32＋24×0.16＝22.4. (3)解法一：因為m＋n＝28，n∈{5,6}，若m＝22，n＝6，則該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為22×80＋200×0.32

26、＋400×0.16＋6×160＝2 848； 若m＝23，n＝5，則該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為23×80＋200×0.16＋5×160＋400×0.4＝2 832， 故m，n的值分別為23,5. 解法二：因為m＋n＝28，n∈{5,6}，若m＝22，n＝6，設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買一級濾芯所需總費用為Y1(單位：元)，則 Y1 1760 1960 2160 P 0.52 0.32 0.16 E(Y1)＝1 760×0.52＋1 960×0.32＋2 160×0.16＝1 888. 設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買二級濾芯所需總費用為Y2(單位：元

27、)，則 Y2＝6×160＝960，E(Y2)＝1×960＝960. 所以該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為E(Y1)＋E(Y2)＝1 888＋960＝2 848. 若m＝23，n＝5，設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買一級濾芯所需總費用為Z1(單位：元)，則 Z1 1 840 2 040 P 0.84 0.16 E(Z1)＝1 840×0.84＋2 040×0.16＝1 872. 設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買二級濾芯所需總費用為Z2(單位：元)，則 Z2 800 1 200 P 0.6 0.4 E(Z2)＝800×0.6＋1 200×0.4＝960，所以該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為E(Z1)＋E(Z2)＝1 872＋960＝2 832，故m，n的值分別為23,5. 11