2019-2020學年新教材高中數學 第三章 函數的概念與性質 3.2.2.1 函數奇偶性的概念學案 新人教A版必修第一冊

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1、第1課時　函數奇偶性的概念 1．理解函數奇偶性的定義． 2．掌握函數奇偶性的判斷和證明方法． 3．會應用奇、偶函數圖象的對稱性解決簡單問題． 函數的奇偶性 溫馨提示：(1)奇偶性是函數的整體性質，所以判斷函數的奇偶性應先明確它的定義域(對照函數的單調性是函數的局部性質，以加深理解)． (2)奇偶函數的定義域關于原點對稱，反之，若定義域不關于原點對稱，則這個函數一定不具有奇偶性． 1．函數f(x)＝x2－1，f(x)＝－，f(x)＝2x的圖象分別如圖所示： (1)各個圖象有怎樣的對稱性？ (2)對于以上三個函數，分別計算f(－x)，觀察對定義域內的每一個

2、x，f(－x)與f(x)有怎樣的關系？ [答案]　(1)y＝x2－1的圖象關于y軸對稱；y＝－和y＝2x的圖象關于原點對稱 (2)對于f(x)＝x2－1，f(－x)＝x2－1＝f(x)； 對于f(x)＝－，f(－x)＝－＝－f(x)； 對于f(x)＝2x，f(－x)＝－2x＝－f(x) 2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)偶函數的圖象一定與y軸相交．(　　) (2)奇函數的圖象一定經過原點．(　　) (3)函數f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函數．(　　) (4)若f(x)是定義在R上的奇函數，則f(－x)＋f(x)＝0.(　　) [答案]　(1)×　

3、(2)×　(3)×　(4)√ 題型一函數奇偶性的判斷 【典例1】　判斷下列函數的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ [思路導引]　借助奇函數、偶函數的定義判斷． [解]　(1)∵函數f(x)的定義域為R，關于原點對稱， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， ∴f(x)為偶函數． (2)∵函數f(x)的定義域為{－1,1}，關于原點對稱，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函數又是偶函數． (3)∵函數f(x)的定義域為{x|x≠1}，不

4、關于原點對稱， ∴f(x)是非奇非偶函數． (4)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱． 當x>0時，－x<0， f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)； 當x<0時，－x>0， f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)． 綜上可知，對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)為偶函數． 判斷函數奇偶性的2種方法 (1)定義法 (2)圖象法 [針對訓練] 1．判斷下列函數的奇偶性： (1)f(x)＝x2(x2＋2)； (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (3)f(x)＝； (4)f(

5、x)＝ [解]　(1)∵x∈R，關于原點對稱， 又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)， ∴f(x)為偶函數． (2)∵x∈R，關于原點對稱， 又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， ∴f(x)為奇函數． (3)f(x)的定義域為[－1,0)∪(0,1]，關于原點對稱， 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)． ∴f(x)為奇函數． (4)顯然函數f(x)的定義域關于原點對稱． 當x>0時，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 當x<0時，

6、－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函數f(x)為奇函數. 題型二奇函數、偶函數的圖象 【典例2】　已知奇函數f(x)的定義域為[－5,5]，且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示． (1)畫出在區(qū)間[－5,0]上的圖象． (2)寫出使f(x)<0的x的取值集合． [思路導引]　根據奇函數圖象特征作出函數圖象，再求解． [解]　(1)因為函數f(x)是奇函數，所以y＝f(x)在[－5,5]上的圖象關于原點對稱．由y＝f(x)在[0,5]上的圖象，可知它在[－5,0]上的圖象，如圖所示． (2)由圖象知，使f(x)<

7、0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,5)． [變式]　若將本例中的“奇函數”改為“偶函數”，試畫出在區(qū)間[－5,0]上的圖象． [解]　因為函數f(x)是偶函數，所以y＝f(x)在[－5,5]上的圖象關于y軸對稱．由y＝f(x)在[0,5]上的圖象，可知它在[－5,0]上的圖象，如圖所示． 巧用奇、偶函數的圖象求解問題 (1)依據：奇函數?圖象關于原點對稱，偶函數?圖象關于y軸對稱． (2)求解：根據奇、偶函數圖象的對稱性可以解決諸如求函數值或畫出奇偶函數圖象的問題． [針對訓練] 2．定義在[－3，－1]∪[1,3]上的函數f(x)是奇函數，其部分圖象如圖所示．

8、 (1)請在坐標系中補全函數f(x)的圖象； (2)比較f(1)與f(3)的大?。? [解]　(1)由于f(x)是奇函數，則其圖象關于原點對稱，其圖象如圖所示． (2)觀察圖象，知f(3)

9、數， ∴a－1＋2a＝0，得a＝. 又f(－x)＝f(x)，即x2－bx＋1＋b＝x2＋bx＋1＋b 對x∈均成立， ∴b＝0. (2)∵f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)， 即＝－. 顯然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a， 故a＋1＝0，得a＝－1. [答案]　(1)　0　(2)－1 利用奇偶性求參數的2種類型 (1)定義域含參數：奇偶函數f(x)的定義域為[a，b]，根據定義域關于原點對稱，利用a＋b＝0求參數． (2)解析式含參數：根據f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比較系數利用待定系數法求解． [針對訓

10、練] 3．若函數f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)為偶函數，則m的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　由f(－x)＝f(x)，得(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，所以m＝2. [答案]　B 4．已知函數f(x)為奇函數，且當x>0時，f(x)＝x2＋，則f(－1)＝________. [解析]　∵f(x)為奇函數，且x>0時，f(x)＝x2＋， ∴f(－1)＝－f(1)＝－＝－2. [答案]?。? 課堂歸納小結 1．一個條件：定義域關于原點對稱是函數f(

11、x)是奇(偶)函數的一個必要不充分條件． 2．兩個性質：函數為奇函數?它的圖象關于原點對稱；函數為偶函數?它的圖象關于y軸對稱． 3．證明一個函數是奇函數，必須對f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)．而證明一個函數不是奇函數，只要能舉出一個反例就可以了． 4．熟悉常見函數的奇偶性：一次函數y＝kx＋b(k≠0)，當b＝0時是奇函數；當b≠0時既不是奇函數也不是偶函數．y＝(k≠0)為奇函數．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當b＝0時是偶函數，當b≠0時既不是奇函數也不是偶函數. 1．函數y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函數，則a等于(　

12、　) A．－1 B．0 C．1 D．無法確定 [解析]　由－1＋a＝0，得a＝1.選C. [答案]　C 2．下列函數是偶函數的是(　　) A．y＝x B．y＝2x2－3 C．y＝ D．y＝x2，x∈[0,1] [解析]　A項中的函數為奇函數；C、D選項中的函數定義域不關于原點對稱，既不是奇函數，也不是偶函數；B項中的函數為偶函數．故選B. [答案]　B 3．函數f(x)＝－x的圖象(　　) A．關于y軸對稱 B．關于直線y＝x對稱 C．關于坐標原點對稱 D．關于直線y＝－x對稱 [解析]　函數f(x)＝－x的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱，且f(－x

13、)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，所以f(x)是奇函數，圖象關于原點對稱． [答案]　C 4．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數，則實數a＝________. [解析]　由f(x)＝(x＋a)(x－4)得f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，若f(x)為偶函數，則a－4＝0，即a＝4. [答案]　4 5．已知y＝f(x)是偶函數，y＝g(x)是奇函數，它們的定義域都是[－3,3]，且它們在[0,3]上的圖象如圖所示，求不等式<0的解集． [解]　由題知，y＝f(x)是偶函數，y＝g(x)是奇函數． 根據函數圖象的對稱性畫出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3， 0]上的

14、圖象如圖所示．由圖可知f(x)>0?00?1

15、稱，不具有奇偶性，故排除；選項B中的圖象關于y軸對稱，其表示的函數是偶函數．故選B. [答案]　B 3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，則F(x)是(　　) A．奇函數 B．偶函數 C．既是奇函數又是偶函數 D．非奇非偶函數 [解析]　F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)． 又x∈(－a，a)關于原點對稱， ∴F(x)是偶函數． [答案]　B 4．對于定義在R上的函數f(x)，有下面四個結論： ①若f(x)是偶函數，則f(－2)＝f(2)； ②若f(－2)＝f(2)，則函數f(x)是偶函數； ③若f(－2)≠f(2)，則函數

16、f(x)不是偶函數； ④若f(－2)＝f(2)，則函數f(x)不是奇函數． 其中正確的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]?、僬_；②錯誤，僅兩個特殊的函數值相等不足以確定函數的奇偶性，需要滿足“任意”；③正確；④錯誤，反例：f(x)＝0滿足條件，該函數既是奇函數，又是偶函數． [答案]　B 5．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函數，則g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　) A．奇函數 B．偶函數 C．非奇非偶函數 D．既是奇函數又是偶函數 [解析]　∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數， ∴f(－x)＝f(x)，得b＝0. ∴g(x)＝

17、ax3＋cx. ∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)， ∴g(x)為奇函數． [答案]　A 二、填空題 6．奇函數f(x)的定義域是(t,2t＋3)，則t＝________. [解析]　由奇函數f(x)的定義域關于原點對稱，知t＋2t＋3＝0，得t＝－1. [答案]　－1 7．函數f(x)＝x3＋ax，若f(1)＝3，則f(－1)的值為________． [解析]　∵x∈R，且f(－x)＝－x3－ax＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數． ∴f(－1)＝－f(1)＝－3. [答案]?。? 8．設f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)＝x2＋1，

18、則f(－2)＋f(0)＝________. [解析]　由題意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5. [答案]　－5 三、解答題 9．判斷下列函數的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝x2＋|x＋a|＋1. [解]　(1)由x＋1≠0，得f(x)的定義域為{x|x≠－1}，不關于原點對稱，所以函數f(x)＝不具有奇偶性． (2)∴－1≤x≤1且x≠0， ∴定義域為{x|－1≤x≤1，且x≠0}． ∴f(x)＝， ∴f(－x)＝－＝－f(x)， ∴f(x)是奇函數． (3)f(x)的定義

19、域為R， f(－x)＝x2＋|x－a|＋1. 又f(x)＝x2＋|x＋a|＋1， 當a＝0時，f(－x)＝f(x)，此時f(x)為偶函數； 當a≠0時，|x－a|≠|x＋a|，此時f(x)不具有奇偶性． 10．(1)如圖①，給出奇函數y＝f(x)的局部圖象，試作出y軸右側的圖象并求出f(3)的值． (2)如圖②，給出偶函數y＝f(x)的局部圖象，試作出y軸右側的圖象并比較f(1)與f(3)的大?。? [解]　(1)奇函數y＝f(x)在y軸左側圖象上任一點P(－x，－f(－x))關于原點的對稱點為P′(x，f(x))，圖③為圖①補充后的圖象，易知f(3)＝－2. 　　 (2)

20、偶函數y＝f(x)在y軸左側圖象上任一點P(－x，f(－x))關于y軸的對稱點為P′(x，f(x))，圖④為圖②補充后的圖象，易知f(1)>f(3)． 綜合運用 11．設函數f(x)和g(x)分別是R上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是(　　) A．|f(x)|－g(x)是奇函數 B．f(x)－|g(x)|是奇函數 C．|f(x)|＋g(x)是偶函數 D．f(x)＋|g(x)|是偶函數 [解析]　∵函數f(x)和g(x)分別是R上的偶函數和奇函數， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)． 對于選項A，|f(－x)|－g(－x)＝|f(x)|＋g(x)≠±(|f(

21、x)|－g(x))，故其不具有奇偶性； 對于選項B，f(－x)－|g(－x)|＝f(x)－|g(x)|，故函數為偶函數； 對于選項C，|f(－x)|＋g(－x)＝|f(x)|－g(x)≠±(|f(x)|＋g(x))，故其不具有奇偶性； 對于選項D，f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|，故函數為偶函數． 綜上，選D. [答案]　D 12．已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 [解析]　由題意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(

22、－1)＝f(1)＋g(1)＝4.兩式相加，解得g(1)＝3. [答案]　B 13．若函數f(x)＝為奇函數，則a等于________． [解析]　函數f(x)的定義域為{x. 又f(x)為奇函數，定義域應關于原點對稱，∴a＝. [答案]　 14．已知y＝f(x)是奇函數，當x<0時，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，則a的值為________． [解析]　因為f(x)是奇函數，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5. [答案]　5 15．已知函數f(x)對一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求證：f(x)是奇函數； (2)若f(－3)＝a，試用a表示f(12)． [解]　(1)證明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)， 令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0. 所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)， 故f(x)是奇函數． (2)因為f(x)為奇函數． 所以f(－3)＝－f(3)＝a， 所以f(3)＝－a. 又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)， 所以f(12)＝－4a. 13