25、用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．
①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；
②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？
解：(1)因?yàn)?0件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為
f(p)＝Cp2·(1－p)18，
所以f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]
＝2Cp(1－p)17(1－10p)．
令f′(p)＝0，得p＝0.1.
當(dāng)p∈(0，0.1)時(shí)，f′(p)>0；
當(dāng)p∈(0.1，1)時(shí)，f′(p)<0.
所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0＝0.1.
(2)由
26、(1)知，p＝0.1.
①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.
②若對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)用為400元．由于EX>400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)．
3.如圖，設(shè)P1，P2，…，P6為單位圓上逆時(shí)針均勻分布的六個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任選其中三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，記該三角形的面積為隨機(jī)變量S.
(1)求S＝的概率；
(2)求S的分布列及數(shù)學(xué)期望E(S)．
解：(1)從六個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形共有C種不同選法，其中S＝的為有
27、一個(gè)角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12種，
所以P＝＝.
(2)S的所有可能取值為，，.S＝的為頂角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6種，
所以P＝＝.
S＝的為等邊三角形(如△P1P3P5)，共2種，
所以P＝＝.
又由(1)知P＝＝，
故S的分布列為
S
P
所以E(S)＝×＋×＋×＝.
4．(2019·全國卷Ⅰ)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn)．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果
28、得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi
29、＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設(shè)α＝0.5，β＝0.8.
①證明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)為等比數(shù)列；
②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．
解：(1)X的所有可能取值為－1，0，1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X的分布列為
X
－1
0
1
P
(1－α)β
αβ＋(1－α)(1－β)
α(1－β)
(2)①證明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，
因此pi＝0.4p
30、i－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，
故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，
即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．
又因?yàn)閜1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)是公比為4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列．
②由①可得
p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝p1.
由于p8＝1，故p1＝，
所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)
＝p1＝.
p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率．由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8
31、時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4＝≈0.003 9，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理．
第二講 | 運(yùn)用空間向量求角
題型(一) 運(yùn)用空間向量求兩直線所成的角
主要考查用直線的方向向量求異面直線所成的角.
[典例感悟]
[例1] (2019·南京鹽城一模)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．
(1)求異面直線EC與PD所成角的余弦值；
(2)求二面角B-EC-D的余弦值．
[解] (1)因?yàn)镻A⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直，
以A為原點(diǎn)
32、，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
又PA＝AB＝，AD＝1，
所以B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，)，
因?yàn)镋是棱PB的中點(diǎn)，所以E，
所以＝，＝(0，1，－)，
所以cos〈，〉＝＝，
所以異面直線EC與PD所成角的余弦值為.
(2)由(1)得＝，＝(0，1，0)，＝(，0，0)．
設(shè)平面BEC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
則所以
得y1＝0，令x1＝1，則z1＝1，
所以平面BEC的一個(gè)法向量為n1＝(1，0，1)．
設(shè)平面DEC的法向量為n2＝(x2，y2，z2)．
則所以
得x
33、2＝0，令z2＝，則y2＝1，
所以平面DEC的一個(gè)法向量為n2＝(0，1，)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
由圖可知二面角B-EC-D為鈍二面角，
所以二面角B-EC-D的余弦值為－.
[方法技巧]
1．兩條異面直線所成角的求法
設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為θ，則cos φ＝|cos θ|＝.
2．用向量法求異面直線所成角的四步驟
(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；
(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；
(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；
(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值
34、的絕對值．
[演練沖關(guān)]
(2019·蘇北三市一模)如圖，在三棱錐D-ABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E為BD的中點(diǎn)．
(1)求異面直線AE與BC所成角的余弦值；
(2)求二面角A-CE-B的余弦值．
解：因?yàn)镈A⊥平面ABC，∠CAB＝90°，所以可以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.
因?yàn)锳C＝AD＝1，AB＝2，
所以A(0，0，0)，C(1，0，0)，B(0，2，0)，D(0，0，1)．
因?yàn)辄c(diǎn)E為線段BD的中點(diǎn)，所以E.
(1) ＝，＝(1，－2，0)．
所以cos〈，〉＝＝＝－，
所以異面直線AE
35、與BC所成角的余弦值為.
(2)設(shè)平面ACE的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
因?yàn)椋?1，0，0)，＝，
所以n1·＝0，n1·＝0，即x1＝0且y1＋z1＝0，
取y1＝1，得z1＝－2，
所以n1＝(0，1，－2)是平面ACE的一個(gè)法向量．
設(shè)平面BCE的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，
因?yàn)椋?1，－2，0)，＝，
所以n2·＝0，n2·＝0，
即x2－2y2＝0且－y2＋z2＝0，取y2＝1，
得x2＝2，z2＝2，
所以n2＝(2，1，2)是平面BCE的一個(gè)法向量．
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
由圖易知二面角A-CE-B為鈍二面角，
所以
36、二面角A-CE-B的余弦值為－.
題型(二)
運(yùn)用空間向量求直線和平面所成的角
考查用直線的方向向量與平面的法向量計(jì)算直線與平面所成的角.
[典例感悟]
[例2] (2019·常州期末)如圖，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，已知正四棱錐P-ABCD的高OP＝2，點(diǎn)B，D和C，A分別在x軸和y軸上，且AB＝，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)．
(1)求直線AM與平面PAB所成角的正弦值；
(2)求二面角A-PB-C的余弦值．
[解] (1)設(shè)直線AM與平面PAB所成的角為α，易知A(0，－1，0)，B(1，0，0)，P(0，0，2)，M，則＝(1，1，0)，＝(0，－1，－2)，＝.
設(shè)平
37、面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，所以即 令x＝2，得y＝－2，z＝1，所以n＝(2，－2，1)是平面PAB的一個(gè)法向量，
所以sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
故直線AM與平面PAB所成角的正弦值為.
(2)設(shè)平面PBC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，易知C(0，1，0)，則＝(－1，1，0)，＝(1，0，－2)，
所以得令x1＝2，得y1＝2，z1＝1，所以n1＝(2，2，1)是平面PBC的一個(gè)法向量，所以cos〈n，n1〉＝＝＝.
易知二面角A-PB-C為鈍二面角，所以二面角A-PB-C的余弦值為－.
[方法技巧]
直線和平面所成角的求法
如圖所示，設(shè)直線
38、l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sin φ＝|cos θ|＝，φ∈.
[演練沖關(guān)]
如圖，在三棱錐P-ABC中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA，平面PAB⊥平面ABC.
(1)求直線PC與平面ABC所成的角的正弦值；
(2)求二面角B-AP-C的平面角的余弦值．
解：(1)如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，作PO⊥AB于點(diǎn)O，由∠APB＝90°，∠PAB＝60°得O為AD的中點(diǎn)，連接CD.
因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，
平面PAB∩平面ABC＝AD，
所以PO⊥平面ABC.所以PO⊥CD.
39、
由AB＝BC＝CA，知CD⊥AB.
設(shè)E為AC的中點(diǎn)，則EO∥CD，
從而OE⊥PO，OE⊥AB.
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OE，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
不妨設(shè)PA＝2，由已知可得，AB＝4，OA＝OD＝1，OP＝
，CD＝2.所以O(shè)(0，0，0)，A(－1，0，0)，C(1，2，0)，P(0，0，)，
所以＝(－1，－2，)．而＝(0，0，)為平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)α為直線PC與平面ABC所成的角，
則sin α＝＝＝.
(2)由(1)有＝(1，0，)，＝(2，2，0)．
設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為n＝(x1，y1，z1
40、)，則
??
從而
取x1＝－，則y1＝1，z1＝1，所以n＝(－，1，1)．
設(shè)二面角B-AP-C的平面角為β，易知β為銳角．
而平面ABP的一個(gè)法向量為m＝(0，1，0)，則
cos β＝＝＝.
題型(三)
運(yùn)用空間向量求二面角
[典例感悟]
[例3] (2019·南京四校聯(lián)考)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝4，E，F(xiàn)分別為棱AD和CC1的中點(diǎn)．
(1)求異面直線BE和AF所成角的余弦值；
(2)求平面B1D1F與平面BB1E所成角的余弦值．
[解] 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，以點(diǎn)D1為坐
41、標(biāo)原點(diǎn)，D1A1，D1C1，D1D所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．因?yàn)锳B＝BC＝2，AA1＝4，E，F(xiàn)分別為棱AD和CC1的中點(diǎn)，所以B(2，2，4)，E(1，0，4)，A(2，0，4)，F(xiàn)(0，2，2)，B1(2，2，0)，D1(0，0，0)．
(1)＝(－1，－2，0)，＝(－2，2，－2)，設(shè)異面直線BE和AF所成的角為θ，
則cos θ＝＝＝.
故異面直線BE和AF所成角的余弦值為.
(2)設(shè)平面B1D1F和平面BB1E的法向量分別是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．
＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，則取x1＝1，則y1＝－1
42、，z1＝1，得n1＝(1，－1，1)為平面B1D1F的一個(gè)法向量．
＝(1，2，0)，＝(0，0，4)，則z2＝0，取y2＝－1，則x2＝2，得n2＝(2，－1，0)為平面BB1E的一個(gè)法向量．
設(shè)平面B1D1F與平面BB1E所成的角為α，則
cos α＝＝＝.
故平面B1D1F與平面BB1E所成角的余弦值為.
[方法技巧]
二面角的求法
建立恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量n1，n2，利用cos〈n1，n2〉＝求出(結(jié)合圖形取“±”號)二面角，也可根據(jù)線面垂直，直接求出法向量來求解．
[演練沖關(guān)]
1．(2019·蘇州期末)如圖，四棱錐P-ABCD中，已知底面ABC
43、D是邊長為1的正方形，側(cè)面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，PA與平面PBC所成角的正弦值為.
(1)求側(cè)棱PA的長；
(2)設(shè)E為AB中點(diǎn)，若PA≥AB，求二面角B-PC-E的余弦值．
解：(1)取AD的中點(diǎn)O，BC的中點(diǎn)M，連接OP，OM，
因?yàn)镻A＝PD，所以O(shè)P⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，OP?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以O(shè)P⊥平面ABCD，
又OA?平面ABCD，OM?平面ABCD，
所以O(shè)P⊥OA，OP⊥OM.
因?yàn)锳BCD是正方形，所以O(shè)A⊥OM.
以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OM，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xy
44、z(如圖)，
則A，B，C.
設(shè)P(0，0，c)(c＞0)，則＝，＝(1，0，0)．
設(shè)平面PBC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
則所以取z1＝1，則y1＝c，從而n1＝(0，c，1)是平面PBC的一個(gè)法向量．
設(shè)PA與平面PBC所成的角為α，因?yàn)椋剑?
所以sin α＝|cos〈，n1〉|＝＝＝，
得c2＝或c2＝，所以PA＝1或PA＝.
(2)由(1)知，PA≥AB＝1，所以PA＝1，c＝.
由(1)知，平面PBC的一個(gè)法向量為n1＝(0，c，1)＝.
設(shè)平面PCE的法向量為n2＝(x，y，z)，而
＝，＝，
所以則
取x＝1，則y＝2，z＝，即n2＝(1，
45、2，)是平面PCE的一個(gè)法向量．
設(shè)二面角B-PC-E的平面角為β，
所以|cos β|＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝.
根據(jù)圖形知β為銳角，所以二面角B-PC-E的余弦值為.
2．(2018·蘇錫常鎮(zhèn)一模)如圖，已知正四棱錐P-ABCD中，PA＝AB＝2，點(diǎn)M，N分別在PA，BD上，且＝＝.
(1)求異面直線MN與PC所成角的大?。?
(2)求二面角N-PC-B的余弦值．
解：(1)連結(jié)AC，BD，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，在正四棱錐P-ABCD中，OP⊥平面ABCD.又PA＝AB＝2，所以O(shè)P＝.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，方向分別是x軸，y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O -xyz，如圖
46、．
則A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，)．故＝＋＝＋ ＝，
＝＝，
所以＝，＝(－1，1，－)，
cos〈，〉＝＝＝，
所以MN與PC所成角的大小為30°.
(2)＝(－1，1，－)，＝(2，0，0)，NC―→＝.
設(shè)m＝(x，y，z)是平面PCB的一個(gè)法向量，
則即
令y＝，得z＝1，所以m＝(0，，1)，
設(shè)n＝(x1，y1，z1)是平面PCN的一個(gè)法向量，
則即
令x1＝2，得y1＝4，z1＝，所以n＝(2，4，),
故cos〈m，n〉＝＝＝，
所以二面角N-PC-B的余弦值為.
47、
A組——大題保分練
1．(2019·南通等七市二模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，AP＝AD＝2.
(1)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
(2)若點(diǎn)M，N分別在AB，PC上，且MN⊥平面PCD，試確定點(diǎn)M，N的位置．
解：(1)由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直，以{，，}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．
從而＝(1，0
48、，－2)，＝(1，2，－2)，＝(0，2，－2)．
設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
不妨取y＝1，則x＝0，z＝1.
所以平面PCD的一個(gè)法向量為n＝(0，1，1)．
設(shè)直線PB與平面PCD所成角為θ，
則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，
即直線PB與平面PCD所成角的正弦值為.
(2)設(shè)M(a，0，0)，則＝(－a，0，0)，
設(shè)＝λ，則＝(λ，2λ，－2λ)，而＝(0，0，2)，
所以＝＋＋＝(λ－a，2λ，2－2λ)．
由(1)知，平面PCD的一個(gè)法向量為n＝(0，1，1)，
因?yàn)镸N⊥平面PCD，所以∥n.
所以解得
所以M為AB的中點(diǎn)
49、，N為PC的中點(diǎn)．
2．(2018·蘇北四市期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F(xiàn)，G分別是棱AA1，AC和A1C1的中點(diǎn)，以{，，}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.
(1)求異面直線AC與BE所成角的余弦值；
(2)求二面角F-BC1-C的余弦值．
解：(1)因?yàn)锳B＝1，AA1＝2，則F(0，0，0)，A，C，B，E，A1，C1，
所以＝(－1，0，0)，＝.
記異面直線AC和BE所成角為α，
則cos α＝|cos〈，〉|＝＝，
所以異面直線AC和BE所成角的余弦值為.
(2)設(shè)平面BFC1的法向量為m＝(x1，y1
50、，z1)．
因?yàn)椋?，＝?
則即
取x1＝4，得平面BFC1的一個(gè)法向量為m＝(4，0，1)．
設(shè)平面BCC1的法向量為n＝(x2，y2，z2)．
因?yàn)椋?，?0，0，2)，
則即
取x2＝，得平面BCC1的一個(gè)法向量為n＝(，－1，0)，
所以cos〈m，n〉＝＝.
根據(jù)圖形可知二面角F-BC1-C為銳二面角，
所以二面角F-BC1-C的余弦值為.
3．(2019·揚(yáng)州期末)如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD.
(1)若AE＝，求直線DE與直線BC所成角；
(2)若二面角A-BE-D的大小為，求AE的長度．
51、
解：由題意知AB⊥AD，
又AE⊥平面ABD，
∴以A為原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
過點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足為F，
又平面ABD⊥平面CBD，CF?平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，
∴CF⊥平面ABD.
∵CB＝CD＝2，∴F為BD的中點(diǎn)，CF＝.
(1)易知E(0，0，)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(1，1，)，
∴＝(0，－2，)，＝(－1，1，)，
∴·＝0，
∴⊥，∴直線DE與直線BC所成角為.
(2)設(shè)AE的長度為a(a＞0)，則E(0，0，a)，
易知AD⊥平面ABE，∴平面ABE的
52、一個(gè)法向量為n1＝(0，1，0)．
由(1)知＝(－2，0，a)，＝(－2，2，0)，
設(shè)平面BDE的法向量為n2＝(x1，y1，z1)，
則n2⊥，n2⊥，∴
得取z1＝2，則x1＝y(tǒng)1＝a.
∴平面BDE的一個(gè)法向量為n2＝(a，a，2)．
∴cos 〈n1，n2〉＝＝＝.
∵二面角A-BE-D的大小為，∴＝，
得a＝，∴AE的長度為.
4.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA＝BC＝5，AC＝8，D為線段AC的中點(diǎn)．
(1)求證：BD⊥A1D；
(2)若直線A1D與平面BC1D所成角的正弦值為，求AA1的長．
解：(1)證明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是
53、直三棱柱，
∴AA1⊥平面ABC，
又BD?平面ABC，∴BD⊥AA1，
∵BA＝BC，D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，
又AC∩AA1＝A，AC?平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1，
又A1D?平面ACC1A1，∴BD⊥A1D.
(2)由(1)知BD⊥AC，AA1⊥平面ABC，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，DC所在直線分別為x軸，y軸，過點(diǎn)D且平行于AA1的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.
設(shè)AA1＝λ(λ＞0)，則A1(0，－4，λ)，B(3，0，0)，C1(0，4，λ)，D(0，0，0)，
∴1＝(0，－4，λ)，1＝(0，4
54、，λ)，＝(3，0，0)，
設(shè)平面BC1D的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
則x＝0，令z＝4，可得y＝－λ，
故n＝(0，－λ，4)為平面BC1D的一個(gè)法向量．
設(shè)直線A1D與平面BC1D所成角為θ，
則sin θ＝|cos 〈n，1〉|＝
＝＝，解得λ＝2或λ＝8，
即AA1＝2或AA1＝8.
B組——大題增分練
1．(2019·鹽城三模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AC＝AD＝3，PA＝BC＝4.
(1)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；
(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．
解：設(shè)BC的中點(diǎn)為E，連
55、接AE，由AB＝AC，可知AE⊥BC，
故以A為原點(diǎn)，AE，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)，
則P(0，0，4)，D(0，3，0)，B(，－2，0)，C(，2，0)．
(1)設(shè)θ為異面直線PB與CD所成的角，
由＝(，－2，－4)，＝(－，1，0)，得cos θ＝＝，
即異面直線PB與CD所成角的余弦值為.
(2)設(shè)n1＝(x，y，z)為平面PBC的法向量，
由(1)得＝(，－2，－4)，＝(，2，－4)，
由·n1＝0，·n1＝0，
得故取n1＝(4，0，)為平面PBC的一個(gè)法向量，
易知平面PAD的一個(gè)法向量為n2＝(1，0，0)．
56、
設(shè)α為平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角，
則cos α＝＝，
所以平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為.
2．(2018·江蘇高考)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)．
(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；
(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．
解：如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，―}為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O -xyz.
因?yàn)锳B＝AA1＝2，所以A(0，－1，0)，B(，0，0)，C
57、(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)．
(1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn)，所以P，
從而＝，＝(0，2，2)，
所以|cos〈，〉|＝＝＝.
所以異面直線BP與AC1所成角的余弦值為.
(2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以Q，
因此＝，＝(0，2，2)，＝(0，0，2)．
設(shè)n＝(x，y，z)為平面AQC1的一個(gè)法向量，
則即
不妨取n＝(，－1，1)．
設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為θ，
則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為.
3．(2019·南師附中、天一中學(xué)四月聯(lián)考)如圖，在三棱錐
58、P-ABC中，底面ABC是直角三角形，側(cè)棱PA⊥底面ABC，∠ABC＝90°，E為棱PB上的點(diǎn)，PA＝AB＝BC＝2.
(1)當(dāng)PE＝2EB時(shí)，求平面AEC與平面PAB所成的銳二面角的余弦值．
(2)在(1)的條件下，線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF與平面PAB所成的角θ的正弦值為.若存在，求線段AF的長；若不存在，請說明理由．
解：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，PA所在直線分別為y軸、z軸，過點(diǎn)A且平行于BC的直線為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)．
由題意得E為線段PB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則E，所以＝，
59、＝(2，2，0)．
設(shè)平面AEC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
則則令y1＝1，則n1＝(－1，1，－2)為平面AEC的一個(gè)法向量．
易知平面PAB的一個(gè)法向量為n2＝(1，0，0)，
所以|cos 〈n1，n2〉|＝＝，
所以平面AEC與平面PAB所成的銳二面角的余弦值為.
(2)假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)F.
設(shè)＝λ＝(2λ，2λ，0)(λ＞0)，
所以＝－＝，
所以sin θ＝|cos 〈，n2〉|＝＝＝，
整理得λ2＋λ－＝0，解得λ＝或λ＝－.
又λ＞0，所以λ＝，
所以AF＝AC.
易得AC＝2，所以AF＝.
4.如圖，在四棱錐S-ABCD中，SD⊥平
60、面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DAB＝90°，SD＝AD＝AB＝2，DC＝1.
(1)求二面角S-BC-A的余弦值；
(2)設(shè)P是棱BC上一點(diǎn)，E是SA的中點(diǎn)，若PE與平面SAD所成角的正弦值為，求線段CP的長．
解：(1)由題意，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DS所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，1，0)，S(0，0，2)，
所以＝(2，2，－2)，＝(0，1，－2)，＝(0，0，2)．
設(shè)平面SBC的法向量為n1＝(x，y，z)，
則即
令z＝1，得x＝－1，
61、y＝2，
所以n1＝(－1，2，1)是平面SBC的一個(gè)法向量.
因?yàn)镾D⊥平面ABC，取平面ABC的一個(gè)法向量n2＝(0，0，1)．
設(shè)二面角S-BC-A的大小為θ，
由圖可知二面角S-BC-A為銳二面角，
所以|cos θ|＝＝＝，
所以二面角S-BC-A的余弦值為.
(2)由(1)知E(1，0，1)，
＝(2，1，0)，＝(1，－1，1)．
設(shè)＝λ (0≤λ≤1)，
則＝λ(2，1，0)＝(2λ，λ，0)，
所以＝－＝(1－2λ，－1－λ，1)．
易知CD⊥平面SAD，
所以＝(0，－1，0)是平面SAD的一個(gè)法向量．
設(shè)PE與平面SAD所成的角為α，
所以sin α＝|cos〈，〉|＝＝，
即＝，得λ＝或λ＝(舍去)．
所以＝，||＝，
所以線段CP的長為.
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（江蘇專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 隨機(jī)變量、空間向量教學(xué)案 理
