2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2.1 函數(shù)的表示法學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

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1、第1課時(shí)　函數(shù)的表示法 1．了解函數(shù)的三種表示法及各自的優(yōu)缺點(diǎn)． 2．掌握求函數(shù)解析式的常見方法． 3．嘗試作圖并從圖象上獲取有用的信息． 溫馨提示：列表法、圖象法和解析法是從三個(gè)不同的角度刻畫自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同一個(gè)函數(shù)可以用不同的方法表示． 1．①如圖是我國人口出生率變化曲線： ②下表是大氣中氰化物濃度與污染源距離的關(guān)系表： 污染源距離 50 100 200 300 500 氰化物濃度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01 (1)實(shí)例①中的圖能表示兩個(gè)變量之間存在函數(shù)關(guān)系嗎？如果能，自變量是什么？ (

2、2)實(shí)例②中的表格能表示兩個(gè)變量之間存在函數(shù)關(guān)系嗎？如果能，定義域是什么？值域是什么？ (3)實(shí)例中的函數(shù)關(guān)系能否用解析式表示？ [答案]　(1)能．表示出生率是年份的函數(shù)，其中年份為自變量 (2)能．表示濃度是距離的函數(shù)，其中，定義域?yàn)閧50,100,200,300,500}，值域?yàn)閧0.678,0.398,0.121,0.05,0.01} (3)不能．并不是所有的函數(shù)都有解析式 2．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)任何一個(gè)函數(shù)都可以用列表法表示．(　　) (2)任何一個(gè)函數(shù)都可以用解析法表示．(　　) (3)函數(shù)f(x)＝2x＋1可以用圖象法表示．(　　)

3、 (4)函數(shù)的圖象一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 題型一函數(shù)的表示法 【典例1】　某商場新進(jìn)了10臺(tái)彩電，每臺(tái)售價(jià)3000元，試求售出臺(tái)數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來． [思路導(dǎo)引]　把自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系分別用表格、圖象和數(shù)學(xué)表達(dá)式加以刻畫． [解]?、倭斜矸? x(臺(tái)) 1 2 3 4 5 y(元) 3000 6000 9000 12000 15000 x(臺(tái)) 6 7 8 9 10 y(元) 18000 21000 24000

4、 27000 30000 ②圖象法：如圖所示． ③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}． 理解函數(shù)的表示法的3個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法，無論用哪種方式表示函數(shù)，都必須滿足函數(shù)的概念． (2)判斷所給圖象、表格、解析式是否表示函數(shù)的關(guān)鍵在于是否滿足函數(shù)的定義． (3)函數(shù)的三種表示法互相兼容或補(bǔ)充，許多函數(shù)是可以用三種方法表示的，但在實(shí)際操作中，仍以解析法為主． 1．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出． 則f[g(1)]的值為________；當(dāng)g[f(x)]＝2時(shí)，x＝________. [解析]　由于函數(shù)關(guān)系

5、是用表格形式給出的，知g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2， ∴x＝1. [答案]　1　1 題型二函數(shù)的圖象 【典例2】　作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域． (1)y＝，x∈[2，＋∞)； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． [思路導(dǎo)引]　通過“列表→描點(diǎn)→連線”作出函數(shù)圖象，借助圖象求出函數(shù)值域． [解]　(1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 … 畫圖象，當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，圖象是反比例函數(shù)y＝的一部分(圖1)，觀察圖象可知其值域?yàn)?0,1]． 　　 (2)列表： x －2 －1

6、 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 畫圖象，圖象是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x≤2之間的部分(圖2)．由圖可得函數(shù)的值域是[－1,8]． 描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的3個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)畫函數(shù)圖象時(shí)首先關(guān)注函數(shù)的定義域，即在定義域內(nèi)作圖． (2)圖象是實(shí)線或?qū)嶞c(diǎn)，定義域外的部分有時(shí)可用虛線來襯托整個(gè)圖象． (3)要標(biāo)出某些關(guān)鍵點(diǎn)，例如圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等．要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn)． [針對(duì)訓(xùn)練] 2．作出下列各函數(shù)的圖象： (1)y＝1－x，x∈Z. (2)y＝2x2－4x－3,0≤x<3. [解]　(1)這個(gè)函數(shù)的圖象由一些點(diǎn)組成，

7、這些點(diǎn)都在直線y＝1－x上，又x∈Z，從而y∈Z，因此y＝1－x(x∈Z)的圖象是直線y＝1－x上一些孤立的點(diǎn)，如圖1所示． 　　　 圖1　　　　　　　　圖2 (2)因?yàn)?≤x<3，所以這個(gè)函數(shù)的圖象是拋物線y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之間的一段，如圖2所示. 題型三函數(shù)解析式的求法 【典例3】　(1)已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式； (2)已知函數(shù)f(＋1)＝x＋2＋1，求f(x)的解析式； (3)已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式． [思路導(dǎo)引]　求函數(shù)解析式，就是尋找函數(shù)三要素中

8、的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即在已知自變量和函數(shù)值的條件下求對(duì)應(yīng)關(guān)系的表達(dá)式． [解]　(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵f(0)＝1，∴c＝1. ∴f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b. 又f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴∴ ∴f(x)＝x2－x＋1. (2)解法一：∵f(＋1)＝x＋2＋1＝(＋1)2， ∴f(x)＝x2. 又＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1)． 解法二：令t＝＋1，則x＝(t－1)2. 由于x≥0，所以t≥1. 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2， 所以f(x)＝

9、x2(x≥1)． (3)∵2f(x)＋f＝3x，① ∴將x用替換， 得2f＋f(x)＝，② 聯(lián)立①②得 解得f(x)＝2x－(x≠0)， 即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)． [變式]　(1)若將本例(2)中條件“f(＋1)＝x＋2＋1”變?yōu)椤癴＝－1”，則f(x)的解析式是什么？ (2)若將本例(3)中條件“2f(x)＋f＝3x”變?yōu)? “f(x)－2f(－x)＝9x＋2”，則f(x)的解析式是什么？ [解]　(1)f＝2－2， 所以f(x)＝x2－2x. 因?yàn)椤?，所以＋1≠1，所以f(x)＝x2－2x(x≠1)． (2)由條件知，f(－x)－2f(x)

10、＝－9x＋2， 則 解得f(x)＝3x－2. 求函數(shù)解析式的3種常用方法 (1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件列方程(組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式．如典例3(1)． (2)換元法(有時(shí)可用“配湊法”)：已知函數(shù)f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可用換元法(或“配湊法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，從而求出f(x)．如典例3(2)． (3)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方

11、程組求出f(x)．如典例3(3)． [針對(duì)訓(xùn)練] 3．已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式． [解]　(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)， 則f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又f[f(x)]＝4x＋8， ∴a2x＋ab＋b＝4x＋8， 即解得或 ∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. 4．已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)． [解]　解法一(配湊法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6.

12、 解法二(換元法)：令t＝x＋1，則x＝t－1， ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6， 即f(x)＝x2－5x＋6. 課堂歸納小結(jié) 1．函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點(diǎn) 2.描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的步驟 (1)求函數(shù)定義域；(2)化簡解析式；(3)列表；(4)描點(diǎn)；(5)連線． 3．求函數(shù)解析式常用的方法 (1)特定系數(shù)法；(2)換元法；(3)配湊法；(4)消元法. 1．y與x成反比，且當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為(　　) A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ [解析]　設(shè)y＝，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，所以1＝，得k＝2.故y＝.

13、[答案]　C 2．由下表給出函數(shù)y＝f(x)，則f[f(1)]等于(　　) x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A.1 B．2 C．4 D．5 [解析]　由題意得f(1)＝4，所以f[f(1)]＝f(4)＝2. [答案]　B 3．小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是(　　) [解析]　距學(xué)校的距離應(yīng)逐漸減小，由于小明先是勻速運(yùn)動(dòng)，故前段是直線段，途中停留時(shí)距離不變，后段加速，直線段比前段下降的快，故應(yīng)選C. [答案]　C 4．若3f(x－1)＋2f

14、(1－x)＝2x，則f(x)的解析式為__________________． [解析]　(換元法)令t＝x－1，則x＝t＋1，t∈R， 原式變?yōu)?f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)，① 以－t代替t，①式變?yōu)?f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，② 由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋，∴f(x)＝2x＋. [答案]　f(x)＝2x＋ 5．已知f(x)＝x＋b，f(ax＋1)＝3x＋2，求a，b的值． [解]　由f(x)＝x＋b，得f(ax＋1)＝ax＋1＋b. ∴ax＋1＋b＝3x＋2，∴a＝3，b＋1＝2，即a＝3，b＝1. 課后作業(yè)(十七) 復(fù)習(xí)鞏固 一、選擇

15、題 1．一個(gè)面積為100 cm2的等腰梯形，上底長為x cm，下底長為上底長的3倍，則把它的高y表示成x的函數(shù)為(　　) A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0) C．y＝(x>0) D．y＝(x>0) [解析]　由·y＝100，得2xy＝100，∴y＝(x>0)． [答案]　C 2．已知函數(shù)y＝f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表，函數(shù)y＝g(x)的圖象是如圖的曲線ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，則f[g(2)]的值為(　　) 　 A．3 B．2 C．1 D．0 [解析]　由函數(shù)g(x)的圖象知，g(2)＝1，則f[g(2)]＝f(1)＝

16、2. [答案]　B 3．如果f＝，則當(dāng)x≠0,1時(shí)，f(x)等于(　　) A. B. C. D.－1 [解析]　令＝t，則x＝，代入f＝，則有f(t)＝＝，故選B. [答案]　B 4．若f(x)是一次函數(shù)，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，則f(x)＝(　　) A．3x＋2 B．3x－2 C．2x＋3 D．2x－3 [解析]　設(shè)f(x)＝ax＋b，由題設(shè)有 解得所以選B. [答案]　B 5．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f等于(　　) A．1 B．3 C．15 D．30 [解析]　解法一：令1－2x＝t，則x＝(t≠1)，∴f(

17、t)＝－1(t≠1)，即f(x)＝－1(x≠1)， ∴f＝16－1＝15. 解法二：令1－2x＝，得x＝， ∴f＝＝15. [答案]　C 二、填空題 6．已知函數(shù)f(x)＝x－，且此函數(shù)圖象過點(diǎn)(5,4)，則實(shí)數(shù)m的值為________． [解析]　將點(diǎn)(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5. [答案]　5 7．已知函數(shù)f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，則a＝________. [解析]　因?yàn)閒(2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f(a)＝a＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝. [答案]　 8．若2f(x)＋f＝2x＋(x≠0)，則f(2)＝________.

18、 [解析]　令x＝2得2f(2)＋f＝，令x＝得2f＋f(2)＝，消去f得f(2)＝. [答案]　 三、解答題 9．作出下列函數(shù)的圖象，并指出其值域． (1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)； (2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0)． [解]　(1)用描點(diǎn)法可以作出函數(shù)的圖象如圖(1)． 由圖可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域?yàn)? (2)用描點(diǎn)法可以作出函數(shù)的圖象如圖(2)，由圖可知y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的值域?yàn)?－∞，－1]∪[2，＋∞)． 10．求下列函數(shù)的解析式： (1)已知函數(shù)f(x－1)＝x2－4x，求函數(shù)f(x)的解析式； (2)已知f(x)是二次

19、函數(shù)，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的解析式． [解]　(1)解法一：已知f(x－1)＝x2－4x，令x－1＝t，則x＝t＋1，代入上式得，f(t)＝(t＋1)2－4(t＋1)＝t2－2t－3，即f(x)＝x2－2x－3(x∈R)． 解法二：∵f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3，∴f(x)＝x2－2x－3(x∈R)． (2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則依題意代入， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2x2－4x，即2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， 利用等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，可得2a＝2

20、,2b＝－4,2a＋2c＝0， 解得，a＝1，b＝－2，c＝－1， ∴f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－1. 綜合運(yùn)用 11．一水池有2個(gè)進(jìn)水口，1個(gè)出水口，進(jìn)出水速度如圖甲、乙所示．某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示．(至少打開一個(gè)水口) 給出以下3個(gè)論斷：①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水．則正確論斷的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　由題意可知在0點(diǎn)到3點(diǎn)這段時(shí)間，每小時(shí)進(jìn)水量為2，即2個(gè)進(jìn)水口同時(shí)進(jìn)水且不出水，所以①正確；從丙圖可知3點(diǎn)到4點(diǎn)水量減少了1，所以應(yīng)該是有一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，同

21、時(shí)出水口也出水，故②錯(cuò)；當(dāng)兩個(gè)進(jìn)水口同時(shí)進(jìn)水，出水口也同時(shí)出水時(shí)，水量保持不變，也可由題干中的“至少打開一個(gè)水口”知③錯(cuò)． [答案]　B 12．從甲城市到乙城市t min的電話費(fèi)由函數(shù)g(t)＝1.06×(0.75[t]＋1)給出，其中t>0，[t]為t的整數(shù)部分，則從甲城市到乙城市5.5 min的電話費(fèi)為(　　) A．5.04元 B．5.56元 C．5.84元 D．5.38元 [解析]　g(5.5)＝1.06(0.75×5＋1)＝5.035≈5.04. [答案]　A 13．設(shè)f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g[f(x)]＝x2－x＋1，則a的值為(　　) A

22、．1 B．－1 C．1或－1 D．1或－2 [解析]　因?yàn)間(x)＝(x2＋3)，所以g[f(x)]＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.故選B. [答案]　B 14．已知x≠0，函數(shù)f(x)滿足f＝x2＋，則f(x)＝________. [解析]　f＝x2＋＝2＋2，所以 f(x)＝x2＋2. [答案]　x2＋2 15．已知函數(shù)f(x)＝(a，b為常數(shù)，且a≠0)滿足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函數(shù)y＝f(x)的解析式和f[f(－3)]的值． [解]　因?yàn)閒(2)＝1，所以＝1，即2a＋b＝2，① 又因?yàn)閒(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1. 代入①得a＝. 所以f(x)＝＝. 所以f[f(－3)]＝f＝f(6)＝＝. 13