2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1.2 函數(shù)概念的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、第2課時　函數(shù)概念的應(yīng)用 1．理解兩個函數(shù)為同一函數(shù)的概念． 2．會求一些簡單函數(shù)的定義域、值域． 1．常見函數(shù)的定義域和值域 2.函數(shù)的三要素 由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、 對應(yīng)關(guān)系和值域． 3．相同函數(shù) 值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，我們就稱這兩個函數(shù)是同一函數(shù)．兩個函數(shù)如果僅對應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，則它們 不是相同的函數(shù)． 1．已知函數(shù)f(x)＝. (1)函數(shù)f(x)的定義域是什么？ (2)函數(shù)f(x)的值域是什么？ [答案]　(1)(－∞，－1]∪[1，＋∞)　(2)[0，＋∞)

2、 2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就確定了．(　　) (2)兩個函數(shù)相同指定義域和值域相同的函數(shù)．(　　) (3)f(x)＝3x＋4與f(t)＝3t＋4是相同的函數(shù)．(　　) (4)函數(shù)值域中每一個數(shù)在定義域中有唯一的數(shù)與之對應(yīng)．(　　) (5)函數(shù)f(2x－1)的定義域指2x－1的取值范圍．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 題型一同一函數(shù)的判斷 【典例1】　下列各組式子是否表示同一函數(shù)？為什么？ (1)f(x)＝|x|，φ(t)＝； (2)y＝，y＝()2； (3)

3、y＝·，u＝； (4)y＝，y＝x－3. [思路導(dǎo)引]　兩個函數(shù)表示同一函數(shù)的關(guān)鍵條件是定義域相同，對應(yīng)關(guān)系一致． [解]　(1)f(x)與φ(t)的定義域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)與φ(t)的對應(yīng)關(guān)系也相同，∴f(x)與φ(t)是同一函數(shù)． (2)y＝的定義域為R，y＝()2的定義域為{x|x≥0}，兩者定義域不同，故y＝與y＝()2不是同一函數(shù)． (3)y＝·的定義域為{x|－1≤x≤1}，u＝的定義域為{v|－1≤v≤1}，即兩者定義域相同．又∵y＝·＝，∴兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系也相同．故y＝·與u＝是同一函數(shù)． (4)∵y＝＝|x－3|與y＝x－3的定義域相同，但對應(yīng)

4、關(guān)系不同， ∴y＝與y＝x－3不是同一函數(shù)． 判斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)的方法 判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，要先求定義域，若定義域不同，則不是同一函數(shù)；若定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，看對應(yīng)關(guān)系是否相同． [針對訓(xùn)練] 1．與函數(shù)y＝x－1為同一函數(shù)的是(　　) A．y＝ B．m＝()2 C．y＝x－x0 D．y＝ [解析]　A中的x不能取0；B中的n≥1；C中的x不能取0；D化簡以后為y＝t－1.故選D. [答案]　D 2．下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是(　　) A．y＝x＋1與y＝ B．y＝x2＋1與s＝t2＋1 C．y＝2x與y＝2x(x≥0) D．y

5、＝(x＋1)2與y＝x2 [解析]　對于選項A，前者定義域為R，后者定義域為{x|x≠1}，不是同一函數(shù)；對于選項B，雖然變量不同，但定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)；對于選項C，雖然對應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，不是同一函數(shù)；對于選項D，雖然定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)． [答案]　B 題型二求函數(shù)值和值域 【典例2】　(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． ①求f(2)、g(2)的值； ②求f[g(3)]的值． (2)求下列函數(shù)的值域： ①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； ③

6、y＝； ④y＝2x－. [思路導(dǎo)引]　(1)代入法求值；(2)結(jié)合解析式的特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笾涤颍? [解]　(1)①∵f(x)＝，∴f(2)＝＝. 又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. ②g(3)＝32＋2＝11， ∴f[g(3)]＝f(11)＝＝. (2)①(觀察法)∵x∈{1,2,3,4,5}，分別代入求值，可得函數(shù)的值域為{2,3,4,5,6}． ②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0,3)，可得函數(shù)的值域為[2,6)． ③(分離常數(shù)法)y＝＝＝2＋， 顯然≠0，∴y≠2. 故函數(shù)的值域為(－∞，2)∪(2，＋∞)． ④(

7、換元法)設(shè)＝t， 則t≥0，且x＝t2＋1. ∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝22＋. ∵t≥0，∴y≥. 故函數(shù)的值域為. (1)函數(shù)求值的方法 ①已知f(x)的表達(dá)式時，只需用a替換表達(dá)式中的x即得f(a)的值． ②求f[g(a)]的值應(yīng)遵循由里往外的原則． (2)求函數(shù)值域常用的4種方法 ①觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到； ②配方法：當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時，可利用配方法求其值域； ③分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域； ④換元法：即運(yùn)用新元代換

8、，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．對于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d為常數(shù)，且a≠0)型的函數(shù)常用換元法． [針對訓(xùn)練] 3．設(shè)函數(shù)f(x)＝，若f(a)＝2，則實(shí)數(shù)a＝________. [解析]　由f(a)＝＝2，得a＝－1. [答案]?。? 4．求下列函數(shù)的值域： (1)y＝－1； (2)y＝； (3)y＝x＋. [解]　(1)(觀察法) ∵≥0，∴－1≥－1. ∴y＝－1的值域為[－1，＋∞)． (2)(分離常數(shù)法) y＝＝ ＝＝－. ∵≠0，∴y≠. ∴函數(shù)的值域為. (3)(換元法) 設(shè)u＝，則x＝(u≥0)，

9、 ∴y＝＋u＝(u≥0) 由u≥0知(u＋1)2≥1，∴y≥. ∴函數(shù)y＝x＋的值域為. 題型三求抽象函數(shù)的定義域 【典例3】　已知函數(shù)f(x)的定義域為[1,3]，求函數(shù)f(2x＋1)的定義域． [思路導(dǎo)引]　定義域是x的取值范圍，f(x)中的x與f(2x＋1)中的2x＋1是相對應(yīng)的． [解]　因為函數(shù)f(x)的定義域為[1,3]，即x∈[1,3]，函數(shù)f(2x＋1)中2x＋1的范圍與函數(shù)f(x)中x的范圍相同，所以2x＋1∈[1,3]，所以x∈[0,1]，即函數(shù)f(2x＋1)的定義域是[0,1]． [變式]　(1)若將本例條件改為“函數(shù)f(2x＋1)的定義域為[1,3]”，

10、求函數(shù)f(x)的定義域． (2)若將本例條件改為“函數(shù)f(1－x)的定義域為[1,3]”，其他不變，如何求解？ [解]　(1)因為x∈[1,3]，所以2x＋1∈[3,7]，即函數(shù)f(x)的定義域是[3,7]． (2)因為函數(shù)f(1－x)的定義域為[1,3]， 所以x∈[1,3]，所以1－x∈[－2,0]， 所以函數(shù)f(x)的定義域為[－2,0]． 由2x＋1∈[－2,0]，得x∈， 所以f(2x＋1)的定義域為. 兩類抽象函數(shù)的定義域的求法 (1)已知f(x)的定義域，求f[g(x)]的定義域：若f(x)的定義域為[a，b]，則f[g(x)]中a≤g(x)≤b，從中解得x

11、的取值集合即為f[g(x)]的定義域． (2)已知f[g(x)]的定義域，求f(x)的定義域：若f[g(x)]的定義域為[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范圍，g(x)的值域即為f(x)的定義域． [針對訓(xùn)練] 5．若函數(shù)f(x)的定義域是[0,1]，則函數(shù)f(2x)＋f的定義域為________． [解析]　由得0≤x≤，所以函數(shù)f(2x)＋f的定義域為. [答案]　 6．若函數(shù)f(x2－1)的定義域為[－3，－1]，則f(x)的定義域為________． [解析]　由x∈[－3，－1]，得x2－1∈[0,8]，所以f(x)的定義域為[0,8]． [答案]　[0

12、,8] 課堂歸納小結(jié) 1．對同一函數(shù)的概念的理解 (1)函數(shù)有三個要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系．函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系共同確定函數(shù)的值域，因此當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)． (2)定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們不一定 是同一函數(shù)，因為函數(shù)對應(yīng)關(guān)系不一定相同．如y＝x與y＝3x的定義域和值域都是R，但它們的對應(yīng)關(guān)系不同，所以是兩個不同的函數(shù)． 2．求函數(shù)值域的常用方法有：觀察法、配方法、分離常數(shù)法、換元法. 1．下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是(　　) A．y＝x－1和y＝ B．y＝x0和y＝1 C．f(x)＝(x－1

13、)2和g(x)＝(x＋1)2 D．f(x)＝和g(m)＝ [解析]　A中的函數(shù)定義域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，故選D. [答案]　D 2．設(shè)f(x)＝，則＝(　　) A．1 B．－1 C. D．－ [解析]?。剑剑健粒剑?. [答案]　B 3．下列函數(shù)中，值域為(0，＋∞)的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝x2＋1 [解析]　y＝的值域為[0，＋∞)，y＝的值域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域為[1，＋∞)． [答案]　B 4．已知函數(shù)f(x)的定義域是[0,2]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是(　　

14、) A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1) [解析]　由f(x)的定義域是[0,2]知， 解得0≤x<1，所以g(x)＝的定義域為[0,1)． [答案]　B 5．已知函數(shù)f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，則函數(shù)f(x)的值域為________． [解析]　∵x∈{1,2,3,4,5} ∴f(x)＝2x－3∈{－1,1,3,5,7}． ∴f(x)的值域為{－1,1,3,5,7}． [答案]　{－1,1,3,5,7} 課后作業(yè)(十六) 復(fù)習(xí)鞏固 一、選擇題 1．已知函數(shù)f(x)＝x＋，則f(2)＋f(－2)的值是

15、(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 [解析]　f(2)＋f(－2)＝2＋－2－＝0. [答案]　B 2．下列函數(shù)，值域為[0，＋∞)的是(　　) A．y＝x＋1(x>－1) B．y＝x2 C．y＝(x>0) D．y＝ [解析]　y＝x＋1(x>－1)的值域為(0，＋∞)；y＝x2的值域為[0，＋∞)；y＝(x>0)的值域為(0，＋∞)；y＝的值域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，故選B. [答案]　B 3．下列函數(shù)與函數(shù)y＝x是同一函數(shù)的是(　　) A．y＝|x| B．y＝ C．y＝ D．y＝ [解析]　選項A和選項C中，函數(shù)的值域都是[0，＋∞)

16、；選項D中，函數(shù)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)；選項B中函數(shù)的定義域和值域都和函數(shù)y＝x相同，對應(yīng)關(guān)系也等價，因此選B. [答案]　B 4．已知函數(shù)f(x)的定義域為[－1,2)，則函數(shù)f(x－1)的定義域為(　　) A．[－1,2) B．[0,2) C．[0,3) D．[－2,1) [解析]　∵f(x)的定義域為[－1,2)， ∴－1≤x－1<2，得0≤x<3， ∴f(x－1)的定義域為[0,3)． [答案]　C 5．函數(shù)y＝的值域是(　　) A．(－∞，5) B．(5，＋∞) C．(－∞，5)∪(5，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞) [解

17、析]　∵y＝＝＝5＋，且≠0，∴y≠5，即函數(shù)的值域為(－∞，5)∪(5，＋∞)． [答案]　C 二、填空題 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x－1，若f(a)＝2，則實(shí)數(shù)a＝________. [解析]　由f(a)＝2，得a2－2a－1＝2，解得a＝－1或a＝3. [答案]?。?或3 7．函數(shù)y＝的定義域是A，函數(shù)y＝的值域是B，則A∩B＝__________________(用區(qū)間表示)． [解析]　要使函數(shù)式y(tǒng)＝有意義，只需x≠2，即A＝{x|x≠2}；函數(shù)y＝＝≥0，即B＝{y|y≥0}，則A∩B＝{x|0≤x<2或x>2}． [答案]　[0,2)∪(2，＋∞) 8．已知

18、函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)，則函數(shù)g(x)＝f＋f(2x－1)的定義域是________． [解析]　由題意知即 ∴0

19、4x＋6，x∈[1,5)； (3)y＝； (4)y＝x－. [解]　(1)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴(2x＋1)∈{3,5,7,9,11}，即所求函數(shù)的值域為{3,5,7,9,11}． (2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2. ∵x∈[1,5)，∴其圖象如圖所示， 當(dāng)x＝2時，y＝2；當(dāng)x＝5時，y＝11. ∴所求函數(shù)的值域為[2,11)． (3)函數(shù)的定義域為{x|x≠1}，y＝＝－＝－5－，所以函數(shù)的值域為{y|y≠－5}． (4)要使函數(shù)式有意義，需x＋1≥0，即x≥－1，故函數(shù)的定義域為{x|x≥－1}．設(shè)t＝，則x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1

20、－t＝2－，又t≥0，故y≥－，所以函數(shù)的值域為{y|y≥－}． 綜合運(yùn)用 11．函數(shù)f(x)＝(x∈R)的值域是(　　) A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1] [解析]　由于x∈R，所以x2＋1≥1,0<≤1，即0

21、選項，f(x＋1)＝，f(x)＋1＝＋1，不成立．對于D選項，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立． [答案]　A 13．若函數(shù)f(2x－1)的定義域為[0,1)，則函數(shù)f(1－3x)的定義域為________． [解]　解法一(過渡搭橋)：因為f(2x－1)的定義域為[0,1)，即0≤x<1，所以－1≤2x－1<1.所以f(x)的定義域為[－1,1)．所以－1≤1－3x<1，解得0

22、x－1與1－3x整體范圍一致，故－1≤1－3x<1，解得0