備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)“3+1”保分大題強(qiáng)化練理

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1、備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)“3+1”保分大題強(qiáng)化練理 “3＋1”保分大題強(qiáng)化練(一) 前3個(gè)大題和1個(gè)選考題不容有失 1．已知函數(shù)f (_ )＝sin _ 3＋cos _ 3，_ ∈[0，π]，設(shè)f (_ )的最大值為M ，記f (_ )取得最 大值時(shí)_ 的值為θ. (1)求M 和θ； (2)在△ABC 中，內(nèi)角A ，B ，C 所對(duì)的邊分別是a ，b ，c ，若a ＝22，b ＝210，B ＝θ，求c 的值． 解：(1)由已知，得f (_ )＝sin _ 3＋cos _ 3 ＝2sin _ 3＋π 4 . 因?yàn)?≤_ ≤π，所以π4≤_ 3＋π4≤7π 12 . 所以當(dāng)

2、_ 3＋π4＝π2，即_ ＝3π 4 時(shí)，f (_ )取得最大值2， 故M ＝2，θ＝3π4 . (2)由余弦定理b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos B ， 得c 2 －2×22×? - -－ 22×c ＋(22)2＝(210)2 ， 即c 2＋4c －32＝0，解得c ＝4或c ＝－8(舍去)． 故c ＝4. 2.如圖，四棱錐P -ABCD 的底面是平行四邊形，PD ⊥AB ，O 是AD 的中點(diǎn)，BO ＝CO . (1)求證：AB ⊥平面PAD ； (2)若AD ＝2AB ＝4，PA ＝PD ，點(diǎn)M 在側(cè)棱PD 上，且PD ＝3MD ，二面角P -B

3、C -D 的大小為45°，求直線BP 與平面MAC 所成角的正弦值． 解：(1)證明：在平行四邊形ABCD 中，設(shè)N 是BC 的中點(diǎn)，連接ON ， 因?yàn)镺 是AD 的中點(diǎn)，所以AB ∥ON . 又BO ＝CO ，所以O(shè)N ⊥BC ，所以AB ⊥BC . 又在平行四邊形ABCD 中，BC ∥AD ，所以AB ⊥AD . 又AB ⊥PD ，且PD ∩AD ＝D ，AD ?平面PAD ，PD ?平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD . (2)由(1)知AB ⊥平面PAD ，又AB ?平面ABCD ， 于是平面PAD ⊥平面ABCD ，連接PO ，PN ， 由PA ＝PD ，可得PO ⊥

4、AD ，則PO ⊥BC ， 又ON ⊥BC ，PO ∩NO ＝O ， 所以BC ⊥平面PNO ，所以PN ⊥BC ， 故二面角P -BC -D 的平面角為∠PNO ，則∠PNO ＝45°. 由此得PO ＝AB ＝2. 以O(shè) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，ON ，OD ，OP 所在直線分別為_(kāi) 軸、y 軸、z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A (0，－2,0)，B (2，－2,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，由PD ＝3MD 可得M ? - -0，43，23， 所以AC →＝(2,4,0)，AM →＝? --0，103，23，BP → ＝(－2,2,2)． 設(shè)平面MAC 的法向

5、量為n ＝(_ ，y ，z )， 則-? - n ·AC →＝0， n ·AM →＝0 即? - - 2_ ＋4y ＝0， 10y ＋2z ＝0， 令y ＝1，得-? - _ ＝－2， z ＝－5， 所以n ＝(－2,1，－5)為平面MAC 的一個(gè)法向量． 設(shè)直線BP 與平面MAC 所成的角為θ， 則sin θ＝|BP → ·n ||BP →|·|n |＝|4＋2－10|23·30＝10 15， 故直線BP 與平面MAC 所成角的正弦值為 5 . 3．20__年夏季畢業(yè)的某大學(xué)生準(zhǔn)備到貴州非私營(yíng)單位求職，為了了解工資待遇情況，他在貴州省統(tǒng)計(jì)局的官網(wǎng)上，查

6、詢到2021年至20__年非私營(yíng)單位在崗職工的年平均工資近似值(單位：萬(wàn)元)，如下表： 年份 2021 2021 2021 2021 20__ 20__ 20__ 20__ 20__ 20__ 序號(hào)_ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年平均 工資y /萬(wàn)元 2.5 2.9 3.2 3.8 4.3 5.0 5.5 6.3 7.0 7.5 (1)請(qǐng)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，利用線性回歸模型進(jìn)行擬合，求y 關(guān)于_ 的線性回歸方程y ＝b ^ _ ＋a ^(a ^，b ^ 的計(jì)算結(jié)果根據(jù)四舍五入精確到小數(shù)點(diǎn)后第二位)； (2)如果該大學(xué)生對(duì)年平均工資的期望值為8.5萬(wàn)元

7、，請(qǐng)利用(1)的結(jié)論，預(yù)測(cè)20__年非私營(yíng)單位在崗職工的年平均工資(單位：萬(wàn)元．計(jì)算結(jié)果根據(jù)四舍五入精確到小數(shù)點(diǎn)后第 二位)，并判斷20__年平均工資能否達(dá)到他的期望． 參考數(shù)據(jù)：∑i ＝1 10 _ i y i ＝311.5，∑i ＝1 10 _ 2 i ＝385，∑i ＝1 10 (_ i －_ )(y i －y )＝47.5. 附：對(duì)于一組具有線性相關(guān)的數(shù)據(jù)：(_ 1，y 1)，(_ 2，y 2)，…，(_ n ，y n )，其回歸直線y ＝ b ^ _ ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為b ^ ＝ ∑i ＝1 n _ i y i －n _ ·y

8、 ∑i ＝1 n _ 2 i －n _ 2 ＝ ∑i ＝1 n (_ i －_ )(y i －y )∑i ＝1 n (_ i －_ ) 2 ，a ^＝ y －b ^ _ . 解：(1)由已知，得_ ＝5.5，y ＝4.8. b ^ ＝ ∑i ＝1 10 (_ i －_ )(y i －y ) ∑i ＝1 10 _ 2 i －10·_ 2 ＝47.5 385－10×5.5 2≈0.58， 所以a ^＝y(tǒng) －b ^ _ ＝4.8－0.58×5.5＝1.61， 故y 關(guān)于_ 的線性回歸方程為y ^ ＝0.58_ ＋1.61. (2)由(

9、1)知y ^ ＝0.58_ ＋1.61， 當(dāng)_ ＝12時(shí)，y ^ ＝0.58×12＋1.61＝8.57＞8.5. 所以，預(yù)測(cè)20__年非私營(yíng)單位在崗職工的年平均工資為8.57萬(wàn)元，達(dá)到了他的期望． 選考系列(請(qǐng)?jiān)谙旅娴膬深}中任選一題作答) 4．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系_Oy 中，曲線C 的參數(shù)方程為- ? _ ＝2＋3cos α，y ＝3sin α (α為參數(shù))， 直線l 的參數(shù)方程為? - - _ ＝t cos β， y ＝t sin β(t 為參數(shù)，0≤β 的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C 的極坐標(biāo)方程； (2)已知直

10、線l 與曲線C 相交于A ，B 兩點(diǎn)，且|OA |－|OB |＝2，求β. 解：(1)由曲線C 的參數(shù)方程可得其普通方程為(_ －2)2 ＋y 2 ＝3， 即_ 2 ＋y 2 －4_ ＋1＝0， 所以曲線C 的極坐標(biāo)方程為ρ2 －4ρcos θ＋1＝0. (2)由直線l 的參數(shù)方程可得直線l 的極坐標(biāo)方程為θ＝β(ρ∈R )． 因?yàn)橹本€l 與曲線C 相交于A ，B 兩點(diǎn)， 所以設(shè)A (ρ1，β)，B (ρ2，β)(ρ1>ρ2)， 聯(lián)立得-? - ρ2 －4ρcos θ＋1＝0，θ＝β， 可得ρ2 －4ρcos β＋1＝0， 因?yàn)棣ぃ?6cos 2β－4>0，所以c

11、os 2 β>14 ， 所以|OA |－|OB |＝ρ1－ρ2＝(ρ1＋ρ2)2 －4ρ1ρ2＝16cos 2 β－4＝2， 解得cos β＝± 22，所以β＝π4或3π4 . 5．[選修4－5：不等式選講] 已知函數(shù)f (_ )＝|2_ －1|. (1)解不等式f (_ )＋f (_ ＋1)≥4； (2)當(dāng)_ ≠0，_ ∈R 時(shí)，證明：f (－_ )＋f ? - -1_ ≥4. 解：(1)不等式f (_ )＋f (_ ＋1)≥4等價(jià)于|2_ －1|＋|2_ ＋1|≥4， 等價(jià)于--? _ 或--? －12 ≤_ ≤12， 2≥4 或--? _ >12， 4_ ≥4， 解得_ ≤－1或_ ≥1， 所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)證明：當(dāng)_ ≠0，_ ∈R 時(shí)， f (－_ )＋f ? --1_ ＝|－2_ －1|＋-- - 2 _ －1， 因?yàn)閨－2_ －1|＋---2_ －1≥-- -2_ ＋2_ ＝2|_ |＋2 |_ | ≥4，當(dāng)且僅當(dāng) --? (2_ ＋1)? --2_ －1≥0， 2|_ |＝2|_ | ， 即_ ＝±1時(shí)等號(hào)成立， 所以f (－_ )＋f ? - -1_ ≥4. 第 9 頁(yè) 共 9 頁(yè)