貴州省貴陽市高中數(shù)學(xué) 2.3變量間的相關(guān)關(guān)系教案 新人教版必修3（通用）

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1、變量間的相關(guān)關(guān)系的教學(xué)設(shè)計(jì) 本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)主要是使用TI92圖形計(jì)算器，對普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)③第二章《統(tǒng)計(jì)》中的“兩個(gè)變量的線性相關(guān)”進(jìn)行有益的教與學(xué)探究。學(xué)生通過對 TI圖形計(jì)算器的操作，具體形象地利用散點(diǎn)圖等直觀圖形認(rèn)識變量之間的相關(guān)關(guān)系，同時(shí)，經(jīng)歷描述兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的過程。學(xué)生親自體驗(yàn)了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的全過程。與此同時(shí)，教師在落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)理念上作了一些有益的探討。 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐： [教學(xué)目標(biāo)]： 1、 明確事物間的相互聯(lián)系。認(rèn)識現(xiàn)實(shí)生活中變量間除了存在確定的關(guān)系外，仍存在大量的非確定性的相關(guān)關(guān)系，并利用散點(diǎn)圖直觀體會這種相關(guān)關(guān)系。 2、 通過TI技術(shù)

2、探究用不同的估算方法描述兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系的過程，學(xué)會用數(shù)學(xué)的有關(guān)變量來描述現(xiàn)實(shí)關(guān)系。 3、知道最小二乘法思想，了解其公式的推導(dǎo)。會用TI圖形計(jì)算器來求回歸方程，相關(guān)系數(shù)。 [教學(xué)用具]： 學(xué)生每人一臺TI圖形計(jì)算器、多媒體展示臺、幻燈 [教學(xué)實(shí)踐情況]： 一、 問題引出：請同學(xué)們?nèi)鐚?shí)填寫下表（在空格中打“√” ） ? 好 中 差 你的數(shù)學(xué)成績 ? ? ? 你的物理成績 ? ? ? ?? 然后回答如下問題：①“你的數(shù)學(xué)成績對你的物理成績有無影響？”②“ 如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理成績也不會太差，如果你的數(shù)學(xué)成績差，那么你的物理成績也不會太好?！睂δ?/p>

3、來說，是這樣嗎？同意這種說法的同學(xué)請舉手。 根據(jù)同學(xué)們回答的結(jié)果，讓學(xué)生討論：我們可以發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)成績和物理成績存在某種關(guān)系。（似乎就是數(shù)學(xué)好的，物理也好；數(shù)學(xué)差的，物理也差，但又不全對。）教師總結(jié)如下： 物理成績和數(shù)學(xué)成績是兩個(gè)變量，從經(jīng)驗(yàn)看，由于物理學(xué)習(xí)要用到比較多的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)成績的高低對物理成績的高低是有一定影響的。但決非唯一因素，還有其它因素，如圖所示（幻燈片給出）： ? （影響你的物理成績的關(guān)系圖） 因此，不能通過一個(gè)人的數(shù)學(xué)成績是多少就準(zhǔn)確地?cái)喽ㄋ奈锢沓煽兡苓_(dá)到多少。但這兩個(gè)變量是有一定關(guān)系的，它們之間是一種不確定性的關(guān)系。如何通過數(shù)學(xué)成績的結(jié)果對物

4、理成績進(jìn)行合理估計(jì)有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。 二、 引出相關(guān)關(guān)系的概念 教師提問：“像剛才這種情況在現(xiàn)實(shí)生活中是否還有？” 學(xué)生甲：糧食產(chǎn)量與施肥用量的關(guān)系； 學(xué)生乙：人的體重與食肉數(shù)量的關(guān)系。 …… 從而得出：兩個(gè)變量之間的關(guān)系可能是確定的關(guān)系（如：函數(shù)關(guān)系），或非確定性關(guān)系。當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量也確定，則為確定關(guān)系；當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量帶有隨機(jī)性，這種變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。 三、探究線性相關(guān)關(guān)系和其他相關(guān)關(guān)系 問題：在一次對人體脂肪和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)： 人體的脂肪百分比和年齡 年齡 23 27

5、39 41 45 49 50 脂肪 9．5 17．8 21．2 25．9 27．5 26．3 28．2 ? 年齡 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29．6 30．2 31．4 30．8 33．5 35．2 34．6 針對于上述數(shù)據(jù)所提供的信息，你認(rèn)為人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？教師特別向?qū)W生強(qiáng)調(diào)在研究兩個(gè)變量之間是否存在某種關(guān)系時(shí)，必須從散點(diǎn)圖入手（向?qū)W生介紹什么是散點(diǎn)圖）。并且引導(dǎo)學(xué)生從散點(diǎn)圖上可以得出如下規(guī)律：（幻燈片給出） 1、如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，那么變量之間具有函數(shù)關(guān)系（確定性關(guān)系

6、）； 2、如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線的附近，那么變量之間具有相關(guān)關(guān)系（不確定性關(guān)系）； 3、如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，那么變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系（不確定性關(guān)系）。 下面我們用TI圖形計(jì)算器作出這兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖。 學(xué)生實(shí)驗(yàn)：先把數(shù)據(jù)中成對出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)分別作為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，把數(shù)據(jù)輸入到表格當(dāng)中（第一列橫坐標(biāo)、第二列縱坐標(biāo)）得到圖1；然后，用TI圖形計(jì)算器作散點(diǎn)圖得圖2： （圖1） ?（圖2） 引導(dǎo)學(xué)生觀察作出的散點(diǎn)圖，體會現(xiàn)實(shí)生活中兩個(gè)變量之間的關(guān)系存在著不確定性。散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)并不在一條直線上，只是分布在一條直線的周圍，即為線性相關(guān)關(guān)系。 給出三組

7、數(shù)據(jù)（表1-3），請學(xué)生作出散點(diǎn)圖，并觀察每組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。 表1： -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 表2 ： -12 -9 -5 -4 -3 -1 0 2 4 6 9 13 120 100 20 12 6 2 0 3.5 23 27 70 150 表3： -9 -7 -5 -4 -2 -1 0 1 3 5 7 9 1/560 1/100

8、 1/30 1/18 1/5 9/10 10/11 3 9 28 100 550 表4： -13 -11 -9 -7 -5 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 92 55 31 15 6 5 9 12 19 30 50 70 88 根據(jù)表1-4，學(xué)生作出如下散點(diǎn)圖，（圖3、圖4、圖5、圖6）： 　　　　　　　 （圖3）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （圖4） 　　　　　　　　 （圖5）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （圖6） 通過學(xué)生討論、交流、用TI圖形計(jì)算器展示、對比自己

9、作出的散點(diǎn)圖，我們引出線性相關(guān)關(guān)系，正負(fù)相關(guān)關(guān)系的概念。 四、引出回歸直線的概念，探索求回歸直線方程的方法 再看圖2，你能說說人在62、63、64歲時(shí)的脂肪含量大約是多少嗎？ 通過用TI圖形計(jì)算器圖象，猜想：所有的點(diǎn)都大致分布在一條直線的附近，只要求出這條直線的方程，那么就可以知道人在62、63、64歲時(shí)的脂肪含量。如圖7，從整體上看，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布大致在一條直線附近，我們把這條直線叫做“回歸直線”。 （圖7） 注：“回歸”這個(gè)詞是有英國著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Francils Galton 提出來的。1889年，他在研究祖先與后代身高之間的關(guān)系時(shí)發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也

10、較高，但這些孩子的平均身高并沒有他們的父母平均身高高；身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們的父母平均身高高。Galton 把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現(xiàn)象”。后來，人們把由一個(gè)變量的變化去推測另一個(gè)變量的變化的方法稱為“回歸方法”。 那么如何求回歸直線方程呢？人們在思考這個(gè)問題的時(shí)候，常用以下3種方法： 1、采用測量的方法，先畫一條直線，測量出各點(diǎn)到它的距離，然后移動直線，到達(dá)一個(gè)使距離之和最小的位置，測量出此時(shí)直線的斜率和截距，就得到回歸方程。 2、在圖中選取兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同。 3、在散點(diǎn)圖中多取幾個(gè)點(diǎn)，確定幾條直線

11、的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。 上面的這些方法雖然有一定的道理，但總讓人感覺到可靠性不強(qiáng)。統(tǒng)計(jì)學(xué)中，科學(xué)家們經(jīng)過研究后于是得出了如下方法：求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看各點(diǎn)與此直線的距離和最小”?，F(xiàn)在，我們來看一下數(shù)學(xué)家解決這個(gè)問題的思維過程吧。 設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的一組數(shù)據(jù)：，所要求的回歸直線方程為：，其中，是待定的系數(shù)。當(dāng)變量取時(shí)，可以得到。求的最小值，其步驟為： 最后，指導(dǎo)學(xué)生直接利用TI圖形計(jì)算器，計(jì)算人的脂肪含量與年齡這一問題。得到圖8： （圖8） 五、相關(guān)系數(shù)及其含義 從圖象和

12、回歸方程可知：人的脂肪含量與人的年齡是正相關(guān)關(guān)系，那么人的年齡多大程度上決定人體的脂肪含量？這就是相關(guān)強(qiáng)弱的問題。如何解決這一問題，統(tǒng)計(jì)學(xué)家們引進(jìn)相關(guān)系數(shù)這一概念，用相關(guān)系數(shù)來衡量兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱。若相應(yīng)于變量的取值，變量的觀測值為， 則兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為： 相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱給出具體的判斷標(biāo)準(zhǔn)：首先的符號決定正、負(fù)相關(guān)關(guān)系；當(dāng)時(shí)，相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)；當(dāng)時(shí)，相關(guān)關(guān)系一般；此外，相關(guān)關(guān)系很弱或者幾乎不能用線性相關(guān)來描述。TI圖形計(jì)算器結(jié)果中出現(xiàn)的就是相關(guān)系數(shù)，就是。 通過計(jì)算，我們得到探究問題中的（如圖8所示），所以我們說人的脂肪含量與人的年齡正相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)。 最后，我們

13、得到問題的主要結(jié)論： 1、 人體的脂肪與年齡之間是線性相關(guān)關(guān)系，而且正相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)（ ）。 2、這種相關(guān)關(guān)系可以用回歸方程：來刻畫。 3、人在62、63、64歲時(shí)，人體的脂肪含量百分比大約為：35.26、35.84、36.42。 [效果與回收]： 一、課外實(shí)踐：（用TI圖形計(jì)算器等工具完成下列問題） 1、一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下： 零件(個(gè)數(shù)) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時(shí)間（min） 62 68 75 81 89 95 102 108

14、 115 122 (1)、畫出散點(diǎn)圖； (2)、求回歸方程； (3)、關(guān)于加工零件的個(gè)數(shù)與加工時(shí)間，你能得出什么結(jié)論？ 2、某機(jī)構(gòu)曾研究對翻車魚的影響。在一定溫度下，經(jīng)單位時(shí)間，翻車魚的存活的比例為，數(shù)據(jù)如下： (0.10,1.00), (0.15,0.95), (0.20,0.95), (0.25,0.90), (0.30,0.85), (0.35,0.70), (0.40,0.65), (0.45,0.60), (0.50,0.55), (0.55,0.40). (1)、請作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)、關(guān)于這兩個(gè)變量的關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？ 3、經(jīng)過抽樣，我校的部分

15、學(xué)生的第二次段考語文和數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢? 語文 56 60 66 70 93 102 112 115 119 120 122 126 數(shù)學(xué) 99 55 49 124 138 100 86 91 70 110 99 82 (1)、請作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)、關(guān)于學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文成績之間的關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？ 二、學(xué)生完成情況綜述 （1）、正確的作圖與結(jié)論： ①第1題解答： ?????????? ???? （圖9）??????????????????????????????????????? （圖10） 結(jié)論：

16、 1、散點(diǎn)圖如上圖9所示（已經(jīng)添加了回歸直線）。 2、回歸方程：。 3、通過觀察圖9可知：加工零件的個(gè)數(shù)與加工時(shí)間之間是線性相關(guān)關(guān)系。因?yàn)?，相關(guān)系數(shù)是：，所以，正相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)。 ②第2題解答： ??????? ???? （圖11）????????????????????????????????????? （圖12） 結(jié)論： 1、散點(diǎn)圖如上圖11所示（已經(jīng)添加了回歸直線）。 2、回歸方程：。 3、通過觀察圖11可知：翻車魚的存活的比例與單位時(shí)間之間是線性相關(guān)關(guān)系。因?yàn)椋嚓P(guān)系數(shù)是：，所以，負(fù)相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)。 ③第3題解答： ????????????? ? （圖13）??

17、??????????????????????????????????? ?（圖14） 結(jié)論： 1、散點(diǎn)圖如上圖13所示。 2、通過觀察圖13可知：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文成績之間的關(guān)系是不確定關(guān)系。因?yàn)?，相關(guān)系數(shù)是：，所以，相關(guān)關(guān)系很弱，幾乎沒有線性相關(guān)關(guān)系。 （2）、作圖中存在的錯(cuò)誤與不足： ???????? ??? （圖15）??????????????????????????????????? ?（圖16） ?????????? ? （圖17）???????????????????????????????????????（圖18） 以上的兩個(gè)圖形的錯(cuò)誤或不足之處分別在于： ①出現(xiàn)圖15 的現(xiàn)象，是因?yàn)閳D象顯示的窗口沒有調(diào)整到最合適窗口。 ②出現(xiàn)圖16的現(xiàn)象，是因?yàn)樵谇蠡貧w直線方程過程中，按錯(cuò)了鍵，以致求出的是中位數(shù)回歸方程。 ③出現(xiàn)圖17、18的現(xiàn)象，是因?yàn)樵谇蠡貧w直線方程過程中，把數(shù)組中的的順序顛倒了。雖然圖17與圖9很相近，但是，實(shí)質(zhì)上是錯(cuò)誤的作圖，這一點(diǎn)可以從求出的回歸方程（圖18）：與正確的方程：相比較得到證實(shí)。