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1、課題: §5.1.3解三角形小結(jié)復習高中數(shù)學必修5
一、知識點總結(jié)
【正弦定理】
1．正弦定理: (R為三角形外接圓的半徑).
2.正弦定理的一些變式：
；；
；（4）
3．兩類正弦定理解三角形的問題：
（1）已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.
（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊角.（可能有一解，兩解，無解）
4.在中，已知a,b及A時，解得情況：
解法一：利用正弦定理計算
解法二：
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
解的個數(shù)
一解
兩解
一解
一解
無解
2、
【余弦定理】
1．余弦定理：
2.推論： .
設(shè)、、是的角、、的對邊，則：
①若，則；
②若，則；
③若，則．
3.兩類余弦定理解三角形的問題：（1）已知三邊求三角.
（2）已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.
【面積公式】
已知三角形的三邊為a,b,c,
1.（其中為三角形內(nèi)切圓半徑）
2.設(shè),(海倫公式)
【三角形中的常見結(jié)論】
（1）(2)
,;,
（3）若
若
（大邊對大角，小邊對小角）
（4）三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊
（5）三角形中最大角大于等于，最小角小于等于
(6) 銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三
3、內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.
鈍角三角形最大角是鈍角最大角的余弦值為負值
（7）中，A,B,C成等差數(shù)列的充要條件是.
(8) 為正三角形的充要條件是A,B,C成等差數(shù)列，且a,b,c成等比數(shù)列.
二、題型匯總
題型1【判定三角形形狀】
判斷三角形的類型
（1）利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀:判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.
（2）在中，由余弦定理可知:
（注意：）
(3) 若，則A=B或.
例1.在中，，且，試判斷形狀.
題型2【解三角形及求面積】
4、
一般地，把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.
例2.在中，，，，求的值
例3.在中，內(nèi)角對邊的邊長分別是，已知，．
?。á瘢┤舻拿娣e等于，求；
?。á颍┤?，求的面積．
題型3【證明等式成立】
證明等式成立的方法：（1）左右，（2）右左，（3）左右互相推.
例4.已知中，角的對邊分別為，求證：.
題型4【解三角形在實際中的應用】
仰角 俯角 方向角 方位角 視角
例5．如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角（從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平轉(zhuǎn)角）為140°的方向航行，為了確定船位，船在B點觀測燈塔A的方位角為110°，航行半小時到達C點觀測燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達C點時，與燈塔A的距離是多少？
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