2020屆高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)階段性測(cè)試題四 三角函數(shù)、三角恒等變形、解三角形 北師大版

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1、階段性測(cè)試題四 (三角函數(shù)、三角恒等變形、解三角形) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題　共50分) 一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．(2020·湖北理)已知函數(shù)f(x)＝sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，則x的取值范圍為(　　) A．{x|kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z} B．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z} C．{x|kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z} D．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z} [答案]　B [

2、解析]　本題考查三角變換公式及三角不等式的解法． ∵f(x)＝sinx－cosx＝2sin(x－)， ∴f(x)≥1即sin(x－)≥. ∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋， ∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z. 2．(2020·宜春調(diào)研)已知sinα＝，cosα＝－，且α為第二象限角，則m的允許值為(　　) A.0，cosα<0， 把m的值代入檢驗(yàn)得，m＝4. 3．函數(shù)y＝|sinx|－2sinx的值

3、域是(　　) A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[0,3] D．[－3,0] [答案]　B [解析]　當(dāng)0≤sinx≤1時(shí)，y＝sinx－2sinx＝－sinx， 此時(shí)y∈[－1,0]； 當(dāng)－1≤sinx<0時(shí)，y＝－sinx－2sinx＝－3sinx， 這時(shí)y∈(0,3]，求其并集得y∈[－1,3]． 4．(2020·濰坊一模)下列函數(shù)中，其中最小正周期為π，且圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱的是(　　) A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－) C．y＝sin(2x＋) D．y＝sin(＋) [答案]　B [解析]　∵T＝π，∴ω＝2，排除D，

4、把x＝代入A、B、C只有B中y取得最值，故選B. 5．(2020·廈門(mén)模擬)在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，則角B的值為(　　) A. B. C.或 D.或 [答案]　D [解析]　依題意得，·tanB＝， ∴sinB＝，∴B＝或B＝，選D. 6．(文)(2020·焦作模擬)要得到函數(shù)y＝cos2x的圖像，只需將函數(shù)y＝sin2x的圖像沿x軸(　　) A．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 C．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 [答案]　B [解析]　∵y＝cos2x＝sin， ∴只需

5、將函數(shù)y＝sin2x的圖像沿x軸向左平移個(gè)單位，可得y＝sin2＝cos2x.故選B. (理)(2020·濟(jì)南模擬)為了得到函數(shù)y＝sin的圖像，只需把函數(shù)y＝sin的圖像(　　) A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 [答案]　B [解析]　y＝sin＝sin， y＝sin＝sin， ∴只需將y＝sin向右平移＋＝個(gè)長(zhǎng)度單位． 7．(2020·重慶理)若△ABC的內(nèi)角A 、B、C所對(duì)的邊a、b、c滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，則ab的值為(　　) A. B．8－4 C．1 D. [答案]　

6、A [解析]　本題主要考查余弦定理的應(yīng)用． 在△ABC中，C＝60°，∴a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab， ∴(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝3ab＝4，∴ab＝，選A. 8．(2020·原創(chuàng)題)設(shè)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零實(shí)數(shù)，若f(2020)＝－1，那么f(2020)等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 [答案]　C [解析]　因?yàn)閒(2020)＝asin(2020π＋α)＋bcos(2020π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－1， 所以f(2020)＝asin(2020π＋α)＋

7、bcos(2020π＋β) ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β) ＝－(asinα＋bcosβ)＝1. 9．(2020·西安模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的圖像如圖所示，則f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)的值為(　　) A．2020 B. C．2020 D. [答案]　C [解析]　由f(x)的圖像可以得到A＝，b＝1，T＝4，所以ω＝，故f(x)＝sin＋1，再由點(diǎn)在f(x)的圖像上，可得φ＝2kπ，k∈Z， 所以f(x)＝sin＋1. 所以f(1)＝＋1，f(2)＝0＋1，f(3)＝－＋1，f(4)＝0＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(

8、3)＋f(4)＝4. 所以f(1)＋f(2)＋…f(2020)＝2020. 10．(2020·皖南八校第二次聯(lián)考)定義行列式運(yùn)算：＝a1a4－a2a3，將函數(shù)f(x)＝(ω>0)的圖像向左平移個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則ω的最小值是(　　) A. B．1 C. D．2 [答案]　B [解析]　由題意知，f(x)＝cosωx－sinωx＝2cos(ωx＋)．將函數(shù)f(x)的圖像向左平移個(gè)單位后所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)y＝2cos(ωx＋ω＋)為偶函數(shù)，所以ω＋＝kπ，k∈Z，ω＝k－，k∈Z，∵ω>0，∴ωmin＝1，故選B. 第Ⅱ卷(非選擇題　共100分) 二、填空

9、題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題中橫線上) 11．(2020·大綱理)已知α∈(，π)，sinα＝，則tan2α＝________. [答案]?。? [解析]　本小題考查的內(nèi)容是三角函數(shù)值的求法與二倍角公式． sinα＝，∴cosα＝－，∴tanα＝－， tan2α＝＝＝－. 12．(2020·連云港調(diào)研)在△ABC中，若＝＝，則△ABC是________三角形． [答案]　等邊 [解析]　由已知條件及正弦定理，得tanA＝tanB＝tanC， 又0

10、滿足條件sinA＋cosA＝1，AB＝2cm，BC＝2cm，則A＝________，△ABC的面積等于________cm2. [答案]　　 [解析]　由sinA＋cosA＝1得 2sin(A＋)＝1，∴A＋＝， 即A＝π，由＝得 sinC＝＝＝， 所以C＝，則B＝. S△ABC＝AB×BCsinB＝(cm2)． 14．(2020·合肥月考)已知函數(shù)f(x)＝－sin2x＋sinxcosx，則f()的值為_(kāi)_______． [答案]　0 [解析]　f(x)＝－×＋sin2x ＝－＋sin2x＋cos2x ＝－＋sin(2x＋) ∴f(π)＝－＋sin＝－＋sin ＝

11、－＋＝0. 15．(2020·安徽文)設(shè)f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤|f()|對(duì)一切x∈R恒成立，則 ①f()＝0 ②|f()|<|f()| ③f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) ④f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ＋，kπ＋](k∈Z) ⑤存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a，b)的直線與函數(shù)的圖像f(x)不相交 以上結(jié)論正確的是________(寫(xiě)出正確結(jié)論的編號(hào))． [答案]　①③ [解析]　由f(x)≤|f()|對(duì)一切x∈R恒成立知，直線x＝是f(x)的對(duì)稱軸． 又f(x)＝sin(2x＋φ)(其中tanφ＝)的周期為π， ∴f()＝f(＋)可

12、看作x＝的值加了個(gè)周期，∴f()＝0.故①正確． ∵－＝，－＝， ∴和與對(duì)稱軸的距離相等． ∴|f()|＝|f()|，故②不正確． ∵x＝是對(duì)稱軸，∴sin(2×＋φ)＝±1， ∴＋φ＝±＋2kπ，k∈Z. ∴φ＝＋2kπ或φ＝－＋2kπ，k∈Z，tanφ＝＝， ∴a＝b. ∴f(x)＝2|b|sin(2x＋)或f(x)＝2|b|sin(2x－)． ∴f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故③正確． 由以上知f(x)＝2|b|sin(2x＋)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z. f(x)＝2|b|sin(2x－)的單調(diào)遞增區(qū)間為[＋kπ，＋kπ]，k∈Z. 由于f

13、(x)的解析式不確定，∴單調(diào)遞增區(qū)間不確定，故④不正確． ∵f(x)＝asin2x＋bcos2x＝sin(2x＋φ)(其中tanφ＝)． ∴－≤f(x)≤. 又∵ab≠0，∴a≠0，b≠0. ∴－

14、 (1)求tanα的值； (2)求sin(2α－)的值． [解析]　(1)由tan(α＋)＝－3可得＝－3. 解得tanα＝2. (2)由tanα＝2，α∈(0，)，可得sinα＝，cosα＝. 因此sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝1－2sin2α＝－， sin(2α－)＝sin2αcos－cos2αsin＝×＋×＝. 17．(本小題滿分12分)(文)(2020·大綱理，17)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C. [解析]　由a＋c＝b及正弦定理可得 sinA＋sinC＝sinB. 又由于A－C＝90°，B＝

15、180°－(A＋C)，故 cosC＋sinC＝sin(A＋C)＝sin(90°＋2C)＝cos2C. cosC＋sinC＝cos2C， cos(45°－C)＝cos2C. 因?yàn)?°

16、 又A＋B＋C＝π， 所以sinC＝2sinA. 因此＝2. (2)由＝2得c＝2a. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2. 得4＝a2＋4a2－4a2×. 解得a＝1. 從而c＝2， 又因?yàn)閏osB＝，且0

17、為x∈[0，]，所以2x－∈[－，]． 當(dāng)2x－＝－，即x＝0時(shí)，f(x)有最小值0. (2)f(α)＝＝， 得sin(2α－)＝， ∵α∈[0，]，2α－∈[－，]， 又00，ω>0,0<φ<)的部分圖像如圖所示． (1)求f(x)的解析式； (2)設(shè)g(x)＝[f(x－)]2，求函數(shù)g(x)在x∈[－，]上的最大值，并

18、確定此時(shí)x的值． [解析]　(1)由圖知A＝2， ＝，則＝4×，∴ω＝. 又f(－)＝2sin[×(－)＋φ] ＝2sin(－＋φ)＝0， ∴sin(φ－)＝0， ∵0<φ<，∴－<φ－<， ∴φ－＝0，即φ＝， ∴f(x)的解析式為f(x)＝2sin(x＋)． (2)g(x)＝[f(x－)]2＝4sin2(x＋) 由x∈[－，]得(x＋)∈[－，]， 則當(dāng)x＋＝，即x＝時(shí)g(x)max＝4. 20．(本小題滿分13分)(2020·上饒一模)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋2sin(x＋)cos(x－)－cos2x－. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

19、 (2)求函數(shù)f(x)在[－，π]上的最大值和最小值，并指出此時(shí)相應(yīng)的x的值． [解析]　(1)f(x)＝sin2x＋2sin(x＋)cos(x－)－cos2x－＝2sin2(x＋)－cos2x－ ＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，所以T＝＝π. 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得， kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π， 單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ＋，kπ＋](k∈Z)． (2)由(1)有f(x)＝2sin(2x－)． 因?yàn)閤∈[－，π]， 所以2x－∈[－，π]． 因?yàn)閟in(－)＝sinπ

20、x)取得最小值－； 當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值2. 21．(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝2cosxsin(x＋)－. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T； (2)若△ABC的三邊a，b，c滿足b2＝ac，且邊b所對(duì)角為B，試求cosB的取值范圍，并確定此時(shí)f(B)的最大值． [解析]　(1)f(x)＝2cosx·sin(x＋)－ ＝2cosx(sinxcos＋cosxsin)－ ＝2cosx(sinx＋cosx)－ ＝sinxcosx＋·cos2x－ ＝sin2x＋·－ ＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)． ∴T＝＝＝π. (2)由余弦定理cosB＝得， cosB＝ ＝－≥－＝， ∴≤cosB<1， 而 0