2020高二數(shù)學(xué) 第1章綜合測試 北師大版必修5

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1、第一章綜合測試 (時(shí)間:120分鐘 滿分:150分) 第Ⅰ卷(選擇題 60分) 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分,每小題有4個(gè)選項(xiàng),其中有且僅有一個(gè)是正確的,把正確的選項(xiàng)填在答題卡中) 1.在等差數(shù)列{an}中,a3=-6,a7=a5+4,則a1等于( ?。? A.-10 B.-2 C.2 D.10 [答案] A [解析] 設(shè)公差為d,∴a7-a5=2d=4, ∴d=2,又a3=a1+2d, ∴-6=a1+4,∴a1=-10. 2.在等比數(shù)列{an}中,a4,a12是方程x2+3x+1=0的兩根,則a8等于(  ) A.1

2、 B.-1 C.±1 D.不能確定 [答案] B [解析] 由題意得,a4+a12=-3<0, a4·a12=1>0,∴a4<0,a12<0. ∴a8<0,又∵a28=a4·a12=1, ∴a8=-1. 3.(2020·江西理,5)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a10= (   ) A.1 B.9 C.10 D.55 [答案] A [解析] 本題主要考查數(shù)列的求和公式和賦值法. 令m=n=1,則S1+S1=S2,即a1+a1=a1+a2,所以a2=a1=1; 令n=1,m=2,所

3、以S1+S2=S3.即a1+a1+a2=a1+a2+a3,則a3=a1=a2=1,…,故a10=1,故選A. 4.在等比數(shù)列{an}中,an

4、+a2+…+a5 =(1-)+(-)+…+(-) =1-=. 6.一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列,其中最小的內(nèi)角為120°,公差為5°,那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)n等于( ?。? A.12 B.16 C.9 D.16或9 [答案] C [解析] 由題意得,120°n+n(n-1)×5°=180°(n-2), 化簡整理,得n2-25n+144=0, 解得n=9或16. 當(dāng)n=16時(shí),最大角為120°+(16-1)×5° =195°>180°,不合題意. ∴n≠16. 故選C. 7.設(shè){an}是公差為-2的等差數(shù)列,若a1+a4+a7+…+a97

5、=50,則a3+a6+a9+…+a99的值為( ?。? A.-78 B.-82 C.-148 D.-182 [答案] B [解析] ∵a1+a4+a7+…+a97=50,d=-2, ∴a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d) =(a1+a4+a7+…+a97)+33×2d =50+33×(-4)=-82. 8.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=x·3n-1-,則x的值為( ?。? A. B.- C. D.- [答案] C [解析] a1=S1=x-, a2=S2-

6、S1=3x--x+=2x, a3=S3-S2=9x--3x+=6x, ∵{an}為等比數(shù)列, ∴a22=a1a3,∴4x2=6x(x-), 解得x=. 9.(2020·浙江省金華十校)等差數(shù)列{an}中,Sn是{an}前n項(xiàng)和,已知S6=2,S9=5,則S15=(  ) A.15 B.30 C.45 D.60 [答案] A S6=2 [解析] 解法1:由等差數(shù)列的求和公式及 知, 

7、 S9=5 6a1+d=2 a1=- ,∴ , 9a1+d=5 d= ∴S15=15a1+d=15. 解法2:由等差數(shù)列性質(zhì)知,{}成等差數(shù)列,設(shè)其公差為D,則-=3D=, ∴D=, ∴,∴S15=15. 10.各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a2, a3,a1成等差數(shù)列,則的值為(  ) A. B. C. D. 或 [答案] B [解析] 設(shè){an}的公比為q, ∵a1+a2=a3, ∴a1+a1q=a1q2,即q2-q-1=0, ∴q=,又∵an>0,∴q>

8、0,∴q=, ∴=q=.故選B. 11.(2020·四川理,8)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3,{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an(n∈N+).若b3=-2,b10=12,則a8=( ?。? A.0 B.3 C.8 D.11  [答案] B [解析] 本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及累加法求通項(xiàng),由b3=-2,b10=12,∴d=2 b1=-6,∴bn=2n-8, ∵bn=an+1-an ∴a8=(a8-a7)+(a7-a6)+(a6-a5)+(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 =b7+b6+b5+b4+b3+b2+b1+

9、a1 =+3=3. 12.(2020·杭州模擬)有限數(shù)列A:a1,a2,…,an,Sn為其前n項(xiàng)和,定義為A的“凱森和”,若有99項(xiàng)的數(shù)列a1,a2,…,a99的“凱森和”為1000,則有100項(xiàng)的數(shù)列1,a1,a2,…,a99的“凱森和”為( ?。? A.1001 B.991 C.999 D.990 [答案] B [解析] 由定義知=1000 ∴數(shù)列1,a1,a2,…,a99的“凱森和”為 ===991. 第Ⅱ卷(非選擇題 共90分) 二、填空題(本大題共4個(gè)小題,每空4分,共16分,把正確答案填在題中橫線上) 13.已知Sn是等比數(shù)列{a

10、n}的前n項(xiàng)和,a5=-2,a8=16,則S6等于 . [答案]  [解析] ∵{an}為等比數(shù)列,∴a8=a5q3,∴q3==-8,∴q=-2. 又a5=a1q4,∴a1==-, ∴S6===. 14.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S3=3,S6=24,則a9= . [答案] 15 [解析] 設(shè)等差數(shù)列公差為d,則S3=3a1+×d=3a1+3d=3, a1+d=1, ① 又S6=6a1+×d=6a1+15d=24, 即2a1+5d=8. ② 聯(lián)立①②兩式得a1=-1,d=2, 故a9=a1+8d=-1+8×2=15. 15.

11、在等差數(shù)列{an}中,Sn為它的前n項(xiàng)和,若a1>0,S16>0,S17<0, 則當(dāng)n= 時(shí),Sn最大. [答案] 8 S16==8(a8+a9)>0 [解析] ∵ , S17==17a9<0 ∴a8>0而a1>0,∴數(shù)列{an}是一個(gè)前8項(xiàng)均為正,從第9項(xiàng)起為負(fù)值的等差數(shù)列,從而n=8時(shí),Sn最大. 16.設(shè){an}為公比q>1的等比數(shù)列,若a2020和a2020是方程4x2-8x+3=0的兩根,則a2020+a2020= . [答案] 18 [解析] ∵a2020和a20

12、20是方程4x2-8x+3=0的兩根,故有 a2020= a2020= 或 (舍),∴q=3. a2020= a2020= a2020+a2020=a2020(q+q2)= ×(3+32)=18. 三、解答題(本大題共6個(gè)小題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 17.(本小題滿分12分)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a3=5,a10=-9. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn及使得Sn最大的序號(hào)n的值. a1+2d=5 a1=9 [

13、解析] (1)由題意得 ,解得 . a1+9d=-9 d=-2 ∴an=a1+(n-1)d=9-2(n-1)=11-2n. (2)由(1)知,Sn=na1+d =10n-n2=-(n-5) 2+25, ∴當(dāng)n=5時(shí),Sn取最大值. 18.(本小題滿分12分)(2020·重慶文,16)設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)設(shè){bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn. [分析] (1)問設(shè)出公比q,由已知建立有關(guān)q的方程,求出公比q,寫出

14、通項(xiàng)公式. (2)問用分組求和,先求an的和,再求bn的和,然后相加得Sn. [解析]?。?)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4 即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍),∴q=2 ∴an=a1·qn-1=2·2n-1=2n (2)數(shù)列bn=1+2(n-1)=2n-1 ∴Sn=+n×1+×2 =2n+1-2+n2-n+n=2n+1+n2-2. [點(diǎn)評(píng)] 此題考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,及求和公式,考查方程的思想,注意等比數(shù)列的公比為正數(shù),此題屬基礎(chǔ)保分題. 19.(本小題滿分12分)已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列,a1=1,

15、且a1,a3,a9成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng); (2)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn. [解析] (1)由題設(shè)知公差d≠0,由a1=1,a1,a3,a9成等比數(shù)列,得=, 解得d=1或d=0(舍去). 故{an}的通項(xiàng)an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知2an=2n,由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,得Sn=2+22+23+…+2n==2n+1-2. 20.(本小題滿分12分)(2020·山東)已知等差數(shù)列{an}滿足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項(xiàng)和為Sn. (1)求an及Sn; (2)令bn= (n∈N+),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

16、 [解析]?。?)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, a1+2d=7 a1=3 由題意,得 ,解得 . 2a1+10d=26 d=2 ∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1. Sn=na1+n(n-1)d =3n+n(n-1)×2=n2+2n. (2)由(1)知an=2n+1 ∴bn= ∴Tn= =. 21.(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,數(shù)列{bn}中,b1=1,且點(diǎn)(bn+1,bn)在直線y=x-1

17、上. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式; (3)若cn=an+3,求數(shù)列{bncn}的前n項(xiàng)和Sn. [解析] (1)∵an+1=2an+3, ∴an+1+3=2(an+3), ∴=2,a1+3=4, ∴{an+3}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列, ∴an+3=4·2n-1=2n+1, ∴an=2n+1-3. (2)∵(bn+1,bn)在直線y=x-1上,∴bn=bn+1-1,即bn+1-bn=1,又b1=1, ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列, ∴bn=n. (3)cn=an+3=2n+1-3+3=2n+1, ∴b

18、ncn=n·2n+1. Sn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1, 2Sn=1×23+2×24+…+(n-1)·2n+1+n·2n+2, 兩式相減,得-Sn=22+23+24+…+2n+1-n·2n+2 = =2n+2-4-n·2n+2, ∴Sn=(n-1)·2n+2+4. 22.(本小題滿分14分)如圖所示,某市2020年新建住房400萬平方米,其中250萬平方米是中低價(jià)房,預(yù)計(jì)今年后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外,每年新建住房中,中低價(jià)房的面積比上一年增加50萬平方米,那么到哪一年底, (1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(

19、以2020年累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬平方米? (2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%? [分析] 本題主要考查構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題,通過閱讀之后,找出題目中的相關(guān)信息,構(gòu)建等差數(shù)列和等比數(shù)列,利用等差數(shù)列和等比數(shù)列中的相關(guān)知識(shí)求解. [解析] (1)設(shè)中低價(jià)房面積構(gòu)成數(shù)列{an},由題意知:{an}是等差數(shù)列,其中a1=250,d=50 ∴Sn=250n+ 令25n2+225n≥4750 即n2+9n-190≥0 解得n≤-19或n≥10 ∴n≥10 故到2020年底,該市歷年所建中低價(jià)房累計(jì)面積首次不少于4750萬m2. (2)設(shè)新建住房面積構(gòu)成等比數(shù)列{bn}. 由題意知{bn}為等比數(shù)列,b1=400,q=1.08. ∴bn=400×(1.08)n-1 令an>0.85bn 即250+(n-1)×50>400×(1.08)n-1×0.85 ∴滿足不等式的最小正整數(shù)n=6. 故到2020年底,當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.

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