【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七篇不等式 第3講　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題教案 理 新人教版

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1、第3講　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 【2020年高考會(huì)這樣考】 1．考查二元一次不等式組表示的區(qū)域面積和目標(biāo)函數(shù)最值(或取值范圍)． 2．考查約束條件、目標(biāo)函數(shù)中的參變量的取值范圍． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．掌握確定平面區(qū)域的方法(線定界、點(diǎn)定域)． 2．理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，掌握解決線性規(guī)劃問題的方法(圖解法)，注意線性規(guī)劃問題與其他知識(shí)的綜合． 基礎(chǔ)梳理 1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域 (1)一般地，直線l：ax＋by＋c＝0把直角坐標(biāo)平面分成了三個(gè)部分： ①直線l上的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足ax＋by＋c＝0； ②直線l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的

2、坐標(biāo)滿足ax＋by＋c＞0； ③直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足ax＋by＋c＜0. 所以，只需在直線l的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點(diǎn)(x0，y0)，從ax0＋by0＋c值的正負(fù)，即可判斷不等式表示的平面區(qū)域． (2)由于對直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入Ax＋By＋C所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符號(hào)即可判斷Ax＋By＋C＞0表示直線Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域． 2．線性規(guī)劃相關(guān)概念 名　稱 意　義 目標(biāo)函數(shù) 欲求最大值或最小值的函數(shù) 約束

3、條件 目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組 線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組 線性目標(biāo)函數(shù) 目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù) 可行解 滿足線性約束條件的解 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo) 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題 一種方法 確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時(shí)，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法． (1)直線定界，即若不等式不含等號(hào)，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式含有等號(hào)，把直線畫成實(shí)線． (2)特殊點(diǎn)定域，即在直線Ax＋By＋C＝0的某一側(cè)取一個(gè)特

4、殊點(diǎn)(x0，y0)作為測試點(diǎn)代入不等式檢驗(yàn)，若滿足不等式，則表示的就是包括該點(diǎn)的這一側(cè)，否則就表示直線的另一側(cè)．特別地，當(dāng)C≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為測試點(diǎn)；當(dāng)C＝0時(shí)，常選點(diǎn)(1,0)或者(0,1)作為測試點(diǎn)． 一個(gè)步驟 利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是： (1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域； (2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形； (3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解； (4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值． 兩個(gè)防范 (1)畫出平面區(qū)域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化． (2)

5、求二元一次函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值．要注意：當(dāng)b＞0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z也取最大值；截距取最小值時(shí)，z也取最小值；當(dāng)b＜0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z取最小值；截距取最小值時(shí)，z取最大值． 雙基自測 1．(人教A版教材習(xí)題改編)如圖所示的平面區(qū)域(陰影部分)，用不等式表示為 (　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2x－y－3＜0 B．2x－y－3＞0 C．2x－y－3≤0 D．2x－y－3≥0 解析　將原點(diǎn)(0,0)代入2x－y－3得2×0－0－3＝－3＜

6、0，所以不等式為2x－y－3＞0. 答案　B 2．下列各點(diǎn)中，不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是(　　)． A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3) 解析　逐一代入得點(diǎn)(－1,3)不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)． 答案　C 3．如圖所示，陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示的是(　　)． A. B. C. D. 解析　兩條直線方程為：x＋y－1＝0，x－2y＋2＝0. 將原點(diǎn)(0,0)代入x＋y－1得－1＜0， 代入x－2y＋2得2＞0， 即點(diǎn)(0,0)在x－2y＋2≥0的內(nèi)部， 在x＋y－1≤0的外部，

7、 故所求二元一次不等式組為 答案　A 4．(2020·安徽)設(shè)變量x，y滿足|x|＋|y|≤1，則x＋2y的最大值和最小值分別為 (　　)． A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－1 解析　法一　特殊值驗(yàn)證：當(dāng)y＝1，x＝0時(shí)，x＋2y＝2，排除A，C；當(dāng)y＝－1，x＝0時(shí)，x＋2y＝－2，排除D，故選B. 法二　直接求解：如圖，先畫出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面區(qū)域，易知當(dāng)直線x＋2y＝u經(jīng)過點(diǎn)B，D時(shí)分別對應(yīng)u的最大值和最小值，所以u(píng)max＝2，umin＝－2. 答案　B 5．完成一項(xiàng)裝修工程需要木工和瓦工共同完成．請木工需付工資每人50元

8、，請瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2 000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，請工人的約束條件是________． 答案 　 考向一　二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 【例1】?(2020·湖北)直線2x＋y－10＝0與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有(　　)． A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè) [審題視點(diǎn)] 準(zhǔn)確畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，比較直線2x＋y－10＝0與4x＋3y－20＝0的斜率即可判斷． 解析　由不等式組畫出平面區(qū)域如圖(陰影部分)． 直線2x＋y－10＝0恰過點(diǎn)A(5,0)， 且斜率k＝－2＜kAB＝－，即

9、直線2x＋y－10＝0與平面區(qū)域僅有一個(gè)公共點(diǎn)A(5,0)． 答案　B 不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分． 【訓(xùn)練1】 已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為(　　)． A．1 B．－3 C．1或－3 D．0 解析　其中平面區(qū)域kx－y＋2≥0是含有坐標(biāo)原點(diǎn)的半平面．直線kx－y＋2＝0又過定點(diǎn)(0,2)，這樣就可以根據(jù)平面區(qū)域的面積為4，確定一個(gè)封閉的區(qū)域，作出平面區(qū)域即可求解． 平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)區(qū)域面積為4，得A(2,4)，代入直線方程，得k＝1. 答

10、案　A 考向二　求線性目標(biāo)函數(shù)的最值 【例2】?(2020·廣東)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M(x，y)為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)則z＝O·O的最大值為(　　)． A．3 B．4 C．3 D．4 [審題視點(diǎn)] 作出平行域D，然后解出目標(biāo)函數(shù)z的表達(dá)式，用截距法求z的最大值． 解析　畫出區(qū)域D，如圖中陰影部分所示，而z＝O·O＝x＋y，∴y＝－x＋z，令l0：y＝－x，將l0平移到過點(diǎn)(，2)時(shí)，截距z有最大值，故zmax＝×＋2＝4. 答案　B 求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值，必須先求出準(zhǔn)確的可行域，令目標(biāo)函數(shù)等于

11、0，將其對應(yīng)的直線平行移動(dòng)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)便是最優(yōu)解． 【訓(xùn)練2】 已知變量x，y滿足條件若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(其中a＞0)僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則a的取值范圍是(　　)． A. B. C. D. 解析　畫出x、y滿足條件的可行域如圖所示，要使目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，則直線y＝－ax＋z的斜率應(yīng)小于直線x＋2y－3＝0的斜率，即－a＜－，∴a＞. 答案　D 考向三　求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 【例3】?變量x、y滿足 (1)設(shè)z＝，求z的最小值； (2)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍． [審題視點(diǎn)] 利用目標(biāo)函數(shù)所表示的

12、幾何意義求解． 解　由約束條件 作出(x，y)的可行域如圖所示． 由解得A. 由解得C(1,1)． 由解得B(5,2)． (1)∵z＝＝.∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率．觀察圖形可知zmin＝kOB＝. (2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中， dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.∴2≤z≤29. 求目標(biāo)函數(shù)的最值，必須先準(zhǔn)確地作出線性約束條件表示的可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定取得最優(yōu)解的點(diǎn)，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最值． 【訓(xùn)練3】 如果點(diǎn)P在平面區(qū)域上，點(diǎn)Q在曲線x2＋(y＋

13、2)2＝1上，那么|PQ|的最小值為(　　)． A. B.－1 C．2－1 D.－1 解析　 如圖，當(dāng)P取點(diǎn)，Q取點(diǎn)(0，－1)時(shí)，|PQ|有最小值為. 答案　A 考向四　線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 【例4】?某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動(dòng)力、煤和電耗如下表： 產(chǎn)品品種 勞動(dòng)力(個(gè)) 煤(噸) 電(千瓦) A產(chǎn)品 3 9 4 B產(chǎn)品 10 4 5 已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤是7萬元，生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤是12萬元，現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動(dòng)力300個(gè)，煤360噸，并且供電局只能供電200千

14、瓦，試問該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤？ [審題視點(diǎn)] 題目的設(shè)問是“該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤”，這個(gè)利潤是由兩種產(chǎn)品的利潤所決定的，因此A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量決定著該企業(yè)的總利潤，這里兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量是問題的主要變量，故可以設(shè)出A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量，列不等式組和建立目標(biāo)函數(shù)． 解　設(shè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為x噸，y噸，利潤為z萬元，依題意，得 目標(biāo)函數(shù)為z＝7x＋12y. 作出可行域，如圖陰影所示． 當(dāng)直線7x＋12y＝0向右上方平行移動(dòng)時(shí)，經(jīng)過M(20,24)時(shí)z取最大值． ∴該企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為20噸和24噸時(shí)，才能獲得最大利潤．

15、 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，最好是列成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題． 【訓(xùn)練4】 (2020·四川)某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的 乙型卡車．某天需運(yùn)往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運(yùn)送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運(yùn)送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運(yùn)送一次可得利潤350元．該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤z＝(　　)． A．4 650元 B．4 700元 C．4 900元

16、 D．5 000元 解析　設(shè)派用甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，獲得的利潤為z元，z＝450x＋350y，由題意，x、y滿足關(guān)系式作出相應(yīng)的平面區(qū)域，z＝450x＋350y＝50(9x＋7y)，在由確定的交點(diǎn)(7,5)處取得最大值4 900元． 答案　C 　　 難點(diǎn)突破16——高考中線性規(guī)劃問題 近幾年新課標(biāo)高考對線性規(guī)劃問題的考查主要是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，線性約束條件下的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值． 【示例1】? (2020·山東)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋3y＋1的最大值為(　　)． A．11 B．10 C．9 D. 【示例2】? (2020·浙江)若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組且z＝x＋y的最大值為9，則實(shí)數(shù)m等于(　　)． A．－2 B．－1 C．1 D．2