【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九篇 解析幾何 第1講　直線的方程教案 理 新人教版

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1、 第1講　直線的方程 【2020年高考會(huì)這樣考】 1．考查直線的有關(guān)概念，如直線的傾斜角、斜率、截距等；考查過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式． 2．求不同條件下的直線方程(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式等)． 3．直線常與圓錐曲線結(jié)合，屬中高檔題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．本講是解析幾何的基礎(chǔ)，復(fù)習(xí)時(shí)要掌握直線方程的幾種形式及相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，會(huì)根據(jù)已知條件求直線方程． 2．在本講的復(fù)習(xí)中，注意熟練地畫出圖形，抓住圖形的特征量，利用該特征量解決問(wèn)題往往能達(dá)到事半功倍的效果． 基礎(chǔ)梳理 1．直線的傾斜角 (1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線

2、l的傾斜角，當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°. (2)傾斜角的取值范圍：[0，π)． 2．直線的斜率 (1)定義：當(dāng)α≠90°時(shí)，一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率通常用小寫字母k表示，即k＝tan_α，傾斜角是90°的直線，其斜率不存在． (2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式： 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝. 3．直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 y－y1＝k(x－x1) 不含垂直于x軸的直線 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 ＝(x1≠

3、x2，y1≠y2) 不含垂直于坐標(biāo)軸的直線 截距式 ＋＝1(ab≠0) 不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為零) 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用 4.過(guò)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程 (1)若x1＝x2，且y1≠y2時(shí)，直線垂直于x軸，方程為x＝x1. (2)若x1≠x2，且y1＝y(tǒng)2時(shí)，直線垂直于y軸，方程為y＝y(tǒng)1. (3)若x1≠x2，且y1≠y2時(shí)，方程為＝. 5．線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式 若點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則此公式為線段P1P2的中

4、點(diǎn)坐標(biāo)公式． 一條規(guī)律 直線的傾斜角與斜率的關(guān)系： 斜率k是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)傾斜角α≠90°時(shí)，k＝tan α.直線都有傾斜角，但并不是每條直線都存在斜率，傾斜角為90°的直線無(wú)斜率． 兩種方法 求直線方程的方法： (1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇恰當(dāng)形式的直線方程，直接求出方程中系數(shù)，寫出直線方程； (2)待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程．再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程． 兩個(gè)注意 (1)求直線方程時(shí)，若不能斷定直線是否具有斜率時(shí)，應(yīng)對(duì)斜率存在與不存在加以討論．(2)在用截距式時(shí)，應(yīng)先判斷截距是否為0，若不確定，則需分類討論．

5、 雙基自測(cè) 1．(人教A版教材習(xí)題改編)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和點(diǎn)(3,0)，則它的斜率為(　　)． A. B. C．－ D．－ 解析　k＝＝－. 答案　C 2．直線x－y＋a＝0(a為常數(shù))的傾斜角為(　　)． A．30° B．60° C．150° D．120° 解析　直線的斜率為：k＝tan α＝，又∵α∈[0，π)∴α＝60°. 答案　B 3．(2020·龍巖月考)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2,5)，且斜率為－.則直線l的方程為 (　　)． A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4

6、x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0 解析　由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0. 答案　A 4．(2020·煙臺(tái)調(diào)研)過(guò)兩點(diǎn)(0,3)，(2,1)的直線方程為(　　)． A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0 C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0 解析　由兩點(diǎn)式得：＝，即x＋y－3＝0. 答案　B 5．(2020·長(zhǎng)春模擬)若點(diǎn)A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三點(diǎn)共線，則a的值為_(kāi)_______． 解析　∵kAC＝＝1，kAB＝＝a－3. 由于A、B、C三點(diǎn)共線，所以a－3＝1，即a＝4. 答案　4　　 考向一　直線的傾斜角與斜

7、率 【例1】?若直線l：y＝kx－與直線2x＋3y－6＝0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是(　　)． A. B. C. D. [審題視點(diǎn)] 確定直線l過(guò)定點(diǎn)(0，－)，結(jié)合圖象求得． 解析　由題意，可作兩直線的圖象，如圖所示，從圖中可以看出，直線l的傾斜角的取值范圍為. 答案　B 求直線的傾斜角與斜率常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．當(dāng)直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時(shí)，需根據(jù)正切函數(shù)y＝tan α的單調(diào)性求k的范圍，數(shù)形結(jié)合是解析幾何中的重要方法． 【訓(xùn)練1】 (2020·貴陽(yáng)模擬)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3,3)，則其斜率的

8、取值范圍是(　　)． A．－1＜k＜ B．k＞1或k＜ C．k＞或k＜1 D．k＞或k＜－1 解析　設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為y－2＝k(x－1)，直線在x軸上的截距為1－，令－3＜1－＜3，解不等式可得．也可以利用數(shù)形結(jié)合． 答案　D 考向二　求直線的方程 【例2】?求適合下列條件的直線方程： (1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等； (2)過(guò)點(diǎn)A(－1，－3)，斜率是直線y＝3x的斜率的－； (3)過(guò)點(diǎn)A(1，－1)與已知直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點(diǎn)且|AB|＝5. [審題視點(diǎn)] 選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，把所需要的條件求出即可． 解　(

9、1)法一　設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過(guò)點(diǎn)(0,0)和(3,2)， ∴l(xiāng)的方程為y＝x，即2x－3y＝0. 若a≠0，則設(shè)l的方程為＋＝1， ∵l過(guò)點(diǎn)(3,2)，∴＋＝1， ∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0， 綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0. 法二　由題意，所求直線的斜率k存在且k≠0， 設(shè)直線方程為y－2＝k(x－3)， 令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k， 由已知3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝， ∴直線l的方程為y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)， 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0. (2)設(shè)所求

10、直線的斜率為k，依題意 k＝－×3＝－. 又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，－3)， 因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0. (3)過(guò)點(diǎn)A(1，－1)與y軸平行的直線為x＝1. 解方程組 求得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，此時(shí)|AB|＝5， 即x＝1為所求． 設(shè)過(guò)A(1，－1)且與y軸不平行的直線為y＋1＝k(x－1)， 解方程組 得兩直線交點(diǎn)為 (k≠－2，否則與已知直線平行)． 則B點(diǎn)坐標(biāo)為. 由已知2＋2＝52， 解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)， 即3x＋4y＋1＝0. 綜上可知，所求直線的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0. 在求直線方程

11、時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況． 【訓(xùn)練2】 (1)求過(guò)點(diǎn)A(1,3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的的直線方程． (2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程． 解　(1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意 k＝－4×＝－. 又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)， 因此所求直線方程為y－3＝－(x－1)， 即4x＋3y－

12、13＝0. (2)當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為＋＝1， 將(－5,2)代入所設(shè)方程，解得a＝－， 此時(shí)，直線方程為x＋2y＋1＝0. 當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率k＝－， 直線方程為y＝－x，即2x＋5y＝0， 綜上可知，所求直線方程為x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0. 考向三　直線方程的應(yīng)用 【例3】?已知直線 l過(guò)點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，如右圖所示，求△ABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程． [審題視點(diǎn)] 設(shè)直線l的方程為截距式，利用基本不等式可求． 解　設(shè)A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，則直線l的方程為＋＝1，

13、 ∵l過(guò)點(diǎn)P(3,2)，∴＋＝1. ∴1＝＋≥2 ，即ab≥24. ∴S△ABO＝ab≥12.當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝6，b＝4. △ABO的面積最小，最小值為12. 此時(shí)直線l的方程為：＋＝1. 即2x＋3y－12＝0. 求直線方程最常用的方法是待定系數(shù)法．若題中直線過(guò)定點(diǎn)，一般設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式，也可以設(shè)截距式．注意在利用基本不等式求最值時(shí)，斜率k的符號(hào)． 【訓(xùn)練3】 在本例條件下，求l在兩軸上的截距之和最小時(shí)直線l的方程． 解　設(shè)l的斜率為k(k＜0)，則l的方程為y＝k(x－3)＋2，令x＝0得B(0,2－3k)， 令y＝0得A， ∴l(xiāng)在兩軸上的截距之和為 2－3k＋

14、3－＝5＋≥5＋2， (當(dāng)且僅當(dāng)k＝－時(shí)，等號(hào)成立)， ∴k＝－時(shí)，l在兩軸上截距之和最小， 此時(shí)l的方程為x＋3y－3－6＝0. 　　 難點(diǎn)突破18——直線的傾斜角和斜率的范圍問(wèn)題 從近兩年新課標(biāo)高考試題可以看出高考對(duì)直線的傾斜角和斜率的考查一般不單獨(dú)命題，常和導(dǎo)數(shù)、圓、橢圓等內(nèi)容結(jié)合命題，難度中檔偏上，考生往往對(duì)直線的傾斜角和斜率之間的關(guān)系弄不清而出錯(cuò)． 【示例1】? (2020·遼寧)已知點(diǎn)P在曲線y＝上，α為 曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是(　　)． A. B. C. D. 【示例2】? (2020·濟(jì)南一模)直線l過(guò)點(diǎn)(－2,0)，l與圓x2＋y2＝2x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則直線l的斜率k的取值范圍是(　　)． A. B．(－，) C. D.