【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第六篇 數(shù)列 第3講　等比數(shù)列及其前n項和教案 理 新人教版

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1、第3講　等比數(shù)列及其前n項和 【2020年高考會這樣考】 1．以等比數(shù)列的定義及等比中項為背景，考查等比數(shù)列的判定． 2．考查通項公式、前n項和公式以及性質的應用． 【復習指導】 本講復習時，緊扣等比數(shù)列的定義，掌握其通項公式和前n項和公式，求和時要注意驗證公比q是否為1；對等比數(shù)列的性質應用要靈活，運算中要注意方程思想的應用． 基礎梳理 1．等比數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示． 2．等比數(shù)列的通項公式 設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項a

2、n＝a1·qn－1. 3．等比中項 若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a與b的等比中項． 4．等比數(shù)列的常用性質 (1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)． (2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，則ak·al＝am·an. (3)若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比數(shù)列． (4)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn. 5．等比數(shù)列的前n項和公式 等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，

3、其前n項和為Sn， 當q＝1時，Sn＝na1； 當q≠1時，Sn＝＝. 一個推導 利用錯位相減法推導等比數(shù)列的前n項和： Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， 同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn， 兩式相減得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝(q≠1)． 兩個防范 (1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0. (2)在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形導致解題失誤． 三種方法 等比數(shù)列的判斷方法有： (1)定義法：若＝q(

4、q為非零常數(shù))或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2且n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列． (2)中項公式法：在數(shù)列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列． 注：前兩種方法也可用來證明一個數(shù)列為等比數(shù)列． 雙基自測 1．(人教A版教材習題改編)在等比數(shù)列{an}中，如果公比q＜1，那么等比數(shù)列{an}是(　　)． A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．無法確定數(shù)列的增減性 解析　當a1＞0,0＜q＜1，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列

5、， 當q＜0，數(shù)列{an}為擺動數(shù)列． 答案　D 2．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則公比q等于(　　)． A．－ B．－2 C．2 D. 解析　由題意知：q3＝＝，∴q＝. 答案　D 3．在等比數(shù)列{an}中，a4＝4，則a2·a6等于(　　)． A．4 B．8 C．16 D．32 解析　由等比數(shù)列的性質得：a2a6＝a＝16. 答案　C 4．設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2＋a5＝0，則＝(　　)． A．－11 B．－8 C．5 D．11 解析　設等

6、比數(shù)列的首項為a1，公比為q.因為8a2＋a5＝0，所以8a1q＋a1q4＝0. ∴q3＋8＝0，∴q＝－2， ∴＝· ＝＝＝－11. 答案　A 5．(2020·廣東)等差數(shù)列{an}前9項的和等于前4項的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，則k＝________. 解析　設{an}的公差為d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋d＝4×1＋d，所以d＝－.又ak＋a4＝0，所以＋]＝0，即k＝10. 答案　10 　　 考向一　等比數(shù)列基本量的計算 【例1】?(2020·全國)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.求an和Sn. [審題視點] 列

7、方程組求首項a1和公差d. 解　設{an}的公比為q，由題設得 解得或 當a1＝3，q＝2時，an＝3·2n－1，Sn＝3·(2n－1)； 當a1＝2，q＝3時，an＝2·3n－1，Sn＝3n－1. 等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解． 【訓練1】 等比數(shù)列{an}滿足：a1＋a6＝11，a3·a4＝，且公比q∈(0,1)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若該數(shù)列前n項和Sn＝21，求n的值． 解　(1)∵a3·a4＝a1·a6＝， 又a1＋a6＝11， 故a1

8、，a6看作方程x2－11x＋＝0的兩根， 又q∈(0,1)∴a1＝，a6＝， ∴q5＝＝，∴q＝， ∴an＝·n－1＝·n－6. (2)由(1)知Sn＝＝21，解得n＝6. 考向二　等比數(shù)列的判定或證明 【例2】?(2020·長沙模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*. (1)令bn＝an＋1－an，證明：{bn}是等比數(shù)列； (2)求{an}的通項公式． [審題視點] 第(1)問把bn＝an＋1－an中an＋1換為整理可證；第(2)問可用疊加法求an. (1)證明　b1＝a2－a1＝1. 當n≥2時，bn＝an＋1－an＝－an＝－(an－a

9、n－1)＝－bn－1， ∴{bn}是以1為首項，－為公比的等比數(shù)列． (2)解　由(1)知bn＝an＋1－an＝n－1， 當n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋＋…＋n－2＝1＋＝1＋ ＝－n－1. 當n＝1時，－1－1＝1＝a1， ∴an＝－n－1(n∈N*)． 證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可． 【訓練2】 (2020·四川)設d為非零實數(shù)，an＝[Cd＋2Cd2＋…＋(n－1)Cdn－1＋nCdn](n∈N*

10、)． (1)寫出a1，a2，a3并判斷{an}是否為等比數(shù)列．若是，給出證明；若不是，說明理由； (2)設bn＝ndan(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解　(1)由已知可得a1＝d，a2＝d(1＋d)，a3＝d(1＋d)2. 當n≥2，k≥1時，C＝C，因此 an＝Cdk＝Cdk＝dCdk＝d(d＋1)n－1. 由此可見，當d≠－1時，{an}是以d為首項，d＋1為公比的等比數(shù)列； 當d＝－1時，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此時{an}不是等比數(shù)列． (2)由(1)可知，an＝d(d＋1)n－1，從而bn＝nd2(d＋1)n－1 Sn＝d2[1＋2(d＋1)

11、＋3(d＋1)2＋…＋(n－1)(d＋1)n－2＋n(d＋1)n－1]．① 當d＝－1時，Sn＝d2＝1. 當d≠－1時，①式兩邊同乘d＋1得 (d＋1)Sn＝d2[(d＋1)＋2(d＋1)2＋…＋(n－1)(d＋1)n－1＋n(d＋1)n]．② ①，②式相減可得 －dSn＝d2[1＋(d＋1)＋(d＋1)2＋…＋(d＋1)n－1－n(d＋1)n] ＝d2. 化簡即得Sn＝(d＋1)n(nd－1)＋1. 綜上，Sn＝(d＋1)n(nd－1)＋1. 考向三　等比數(shù)列的性質及應用 【例3】?已知等比數(shù)列前n項的和為2，其后2n項的和為12，求再后面3n項的和． [審題視點]

12、利用等比數(shù)列的性質：依次n項的和成等比數(shù)列． 解　∵Sn＝2，其后2n項為S3n－Sn＝S3n－2＝12， ∴S3n＝14. 由等比數(shù)列的性質知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列， 即(S2n－2)2＝2·(14－S2n)解得S2n＝－4，或S2n＝6. 當S2n＝－4時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是首項為2，公比為－3的等比數(shù)列， 則S6n＝Sn＋(S2n－Sn)＋…＋(S6n－S5n)＝－364， ∴再后3n項的和為S6n－S3n＝－364－14＝－378. 當S2n＝6時，同理可得再后3n項的和為S6n－S3n＝126－14＝112. 故所求的和為

13、－378或112. 本題利用了等比數(shù)列的性質中的第4條，其和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，若把數(shù)列{an}平均分成若干組，其積也為等比數(shù)列． 【訓練3】 (2020·北京)在等比數(shù)列{an}中，若a1＝，a4＝－4，則公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________. 解析　設等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4＝a1q3，代入數(shù)據(jù)解得q3＝－8，所以q＝－2；等比數(shù)列{|an|}的公比為|q|＝2，則|an|＝×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－. 答案?。?　

14、2n－1－　　 規(guī)范解答11——怎樣求解等差與等比數(shù)列的綜合性問題 【問題研究】 等差數(shù)列和等比數(shù)列既相互區(qū)別，又相互聯(lián)系，高考作為考查學生綜合能力的選拔性考試，將兩類數(shù)列綜合起來考查是高考的重點.這類問題多屬于兩者基本運算的綜合題以及相互之間的轉化. 【解決方案】 首先求解出兩個數(shù)列的基本量：首項和公差及公比，再靈活利用性質轉化條件，以及利用等差、等比數(shù)列的相關知識解決. 【示例】?(本題滿分12分)(2020·湖北)成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15，并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)數(shù)列{b

15、n}的前n項和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列． 正確設等差數(shù)列的三個正數(shù)，利用等比數(shù)列的性質解出公差d，從而求出數(shù)列{bn}的首項、公比；利用等比數(shù)列的定義可解決第(2)問． [解答示范] (1)解　設成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a－d，a，a＋d. 依題意，得a－d＋a＋a＋d＝15， 解得a＝5.(2分) 所以{bn}中的b3，b4，b5依次為7－d,10,18＋d. 依題意，由(7－d)(18＋d)＝100，解得 d＝2或d＝－13(舍去)．(4分) 故{bn}的第3項為5，公比為2， 由b3＝b1·22，即5＝b1·22， 解得b1＝. 所以{bn}是以為首項，2為

16、公比的等比數(shù)列，其通項公式為 bn＝·2n－1＝5·2n－3.(6分) (2)證明　數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n－2.(8分) 所以S1＋＝，＝＝2.(10分) 因此是以為首項，公比為2的等比數(shù)列．(12分) 關于等差(比)數(shù)列的基本運算，其實質就是解方程或方程組，需要認真計算，靈活處理已知條件．容易出現(xiàn)的問題主要有兩個方面：一是計算出現(xiàn)失誤，特別是利用因式分解求解方程的根時，不注意對根的符號進行判斷；二是不能靈活運用等差(比)數(shù)列的基本性質轉化已知條件，導致列出的方程或方程組較為復雜，增大運算量． 【試一試】 (1)已知兩個等比數(shù)列{an}，

17、{bn}，滿足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若數(shù)列{an}唯一，求a的值； (2)是否存在兩個等比數(shù)列{an}，{bn}，使得b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，求{an}，{bn}的通項公式；若不存在，說明理由． [嘗試解答]　(1)設{an}的公比為q，則b1＝1＋a，b2＝2＋aq，b3＝3＋aq2， 由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)， 即aq2－4aq＋3a－1＝0. 由a＞0得，Δ＝4a2＋4a＞0，故方程有兩個不同的實根． 再由{an}唯一，知方程必有一

18、根為0，將q＝0代入方程得a＝. (2)假設存在兩個等比數(shù)列{an}，{bn}使b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不為0的等差數(shù)列． 設{an}的公比為q1，{bn}的公比為q2， 則b2－a2＝b1q2－a1q1， b3－a3＝b1q－a1q， b4－a4＝b1q－a1q. 由b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成等差數(shù)列得 即 ①×q2－②得a1(q1－q2)(q1－1)2＝0， 由a1≠0得q1＝q2或q1＝1. ⅰ)當q1＝q2時，由①②得b1＝a1或q1＝q2＝1， 這時(b2－a2)－(b1－a1)＝0，與公差不為0矛盾． ⅱ)當q1＝1時，由①②得b1＝0或q2＝1， 這時(b2－a2)－(b1－a1)＝0，與公差不為0矛盾． 綜上所述，不存在兩個等比數(shù)列{an}，{bn}使b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不為0的等差數(shù)列．