【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 概率、隨機(jī)變量及其分布 第4講　離散型隨機(jī)變量的分布列教案 理 新人教版

《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 概率、隨機(jī)變量及其分布 第4講　離散型隨機(jī)變量的分布列教案 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 概率、隨機(jī)變量及其分布 第4講　離散型隨機(jī)變量的分布列教案 理 新人教版（10頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4講　離散型隨機(jī)變量的分布列 【2020年高考會這樣考】 1．考查離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念理解； 2．兩點(diǎn)分布和超幾何分布的簡單應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)時(shí)，要會求與現(xiàn)實(shí)生活有密切聯(lián)系的離散型隨機(jī)變量的分布列，掌握兩點(diǎn)分布與超幾何分布列，并會應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1．離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)隨機(jī)變量 如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，隨機(jī)變量常用字母X，Y，ξ，η等表示． (2)離散型隨機(jī)變量 對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量． (3)分布列 設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取得值為

2、x1，x2，…，xi，…xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率為P(X＝xi)＝pi，則稱表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱X的分布列． (4)分布列的兩個(gè)性質(zhì) ①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝_1_. 2．兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 0 P p q 其中0

3、k}發(fā)生的概率為：P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，則稱分布列 X 0 1 … m P … 為超幾何分布列． 一類表格 統(tǒng)計(jì)就是通過采集數(shù)據(jù)，用圖表或其他方法去處理數(shù)據(jù)，利用一些重要的特征數(shù)信息進(jìn)行評估并做出決策，而離散型隨機(jī)變量的分布列就是進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的一種表格．第一行數(shù)據(jù)是隨機(jī)變量的取值，把試驗(yàn)的所有結(jié)果進(jìn)行分類，分為若干個(gè)事件，隨機(jī)變量的取值，就是這些事件的代碼；第二行數(shù)據(jù)是第一行數(shù)據(jù)代表事件的概率，利用離散型隨機(jī)變量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值． 兩條性質(zhì) (1

4、)第二行數(shù)據(jù)中的數(shù)都在(0,1)內(nèi)； (2)第二行所有數(shù)的和等于1. 三種方法 (1)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量分布列； (2)由古典概型求出離散型隨機(jī)變量分布列； (3)由互斥事件、獨(dú)立事件的概率求出離散型隨機(jī)變量分布列． 雙基自測 1．拋擲均勻硬幣一次，隨機(jī)變量為(　　)． A．出現(xiàn)正面的次數(shù) B．出現(xiàn)正面或反面的次數(shù) C．?dāng)S硬幣的次數(shù) D．出現(xiàn)正、反面次數(shù)之和 解析　拋擲均勻硬幣一次出現(xiàn)正面的次數(shù)為0或1. 答案　A 2．如果X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，那么下列命題中假命題是(　　)． A．X取每個(gè)可能值的概率是非負(fù)實(shí)數(shù) B．X取所有可能值的概率之和

5、為1 C．X取某2個(gè)可能值的概率等于分別取其中每個(gè)值的概率之和 D．X在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和 3．已知隨機(jī)變量X的分布列為：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，則P(2

6、 C．7 D．6 解析　X的可能取值為1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9. 答案　C 5．設(shè)某運(yùn)動員投籃投中的概率為P＝0.3，則一次投籃時(shí)投中次數(shù)的分布列是________． 解析　此分布列為兩點(diǎn)分布列． 答案　 X 0 1 P 0.7 0.3 　　 考向一　由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求離散型隨機(jī)變量的分布列 【例1】?(2020·北京改編)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù) 分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué) (1)求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)y的分布列； (2

7、)每植一棵樹可獲10元，求這兩名同學(xué)獲得錢數(shù)的數(shù)學(xué)期望． [審題視點(diǎn)] 本題解題的關(guān)鍵是求出Y的取值及取每一個(gè)值的概率，注意用分布列的性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn)． 解　(1)分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)的方法種數(shù)是4×4＝16，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的取值分別為 17,18,19,20,21， P(Y＝17)＝＝ P(Y＝18)＝＝ P(Y＝19)＝＝ P(Y＝20)＝＝ P(Y＝21)＝＝ 則隨機(jī)變量Y的分布列是： Y 17 18 19 20 21 P (2)由(1)知E(Y)＝＋＋＋＋＝19， 設(shè)這名同學(xué)獲得錢數(shù)為X元，則X＝10Y，

8、 則E(X)＝10E(Y)＝190. (1)可設(shè)出隨機(jī)變量Y，并確定隨機(jī)變量的所有可能取值作為第一行數(shù)據(jù)；(2)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似地表示該事件的概率作為第二行數(shù)據(jù)．由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到分布列可幫助我們更好理解分布列的作用和意義． 【訓(xùn)練1】 某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項(xiàng)目，如果成功，一年后可獲利12%；一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%.下表是過去200例類似項(xiàng)目開發(fā)的實(shí)施結(jié)果： 投資成功 投資失敗 192次 8次 則該公司一年后估計(jì)可獲收益的期望是________． 解析　設(shè)該公司一年后估計(jì)可獲得的錢數(shù)為X元，則隨機(jī)變量X的取值分別為50 000×12

9、%＝6 000(元)，－50 000×50%＝－25 000(元)．由已知條件隨機(jī)變量X的概率分布列是 X 6 000 －25 000 P 因此E(X)＝6 000×＋(－25 000)×＝4 760 答案　4 760 考向二　由古典概型求離散型隨機(jī)變量的分布列 【例2】?袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止．每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的，用X表示取球終止時(shí)所需要的取球次數(shù)． (1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；(2)求隨機(jī)變量X的

10、分布列；(3)求甲取到白球的概率． [審題視點(diǎn)] 對變量的取值要做到不重不漏，計(jì)算概率要準(zhǔn)確． 解　(1)設(shè)袋中白球共有x個(gè)，根據(jù)已知條件＝， 即x2－x－6＝0， 解得x＝3，或x＝－2(舍去)． (2)X表示取球終止時(shí)所需要的次數(shù)，則X的取值分別為：1,2，3,4,5. 因此，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝. 則隨機(jī)變量X的分布列為： X 1 2 3 4 5 P (3)甲取到白球的概率為P＝＋＋＝＋＋＝. 求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然

11、后利用排列、組合與概率知識求出X取各個(gè)值的概率．而超幾何分布就是此類問題中的一種． 【訓(xùn)練2】 (2020·江西)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進(jìn)行一項(xiàng)測試，以便確定工資級別．公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料．若4杯都選對，則月工資定為3 500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2 800元；否則月工資定為2 100元．令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)．假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力． (1)求X的分布列； (2)求此員工月工資的期望． 解　(1)X的所有可能取值為：0,1,2

12、,3,4， P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)， 則 X 0 1 2 3 4 P (2)令Y表示此員工的月工資，則Y的所有可能取值為2 100，2 800,3 500，則P(Y＝3 500)＝P(X＝4)＝， P(Y＝2 800)＝P(X＝3)＝， P(Y＝2 100)＝P(X≤2)＝， E(Y)＝3 500×＋2 800×＋2 100×＝2 280， 所以此員工月工資的期望為2 280元． 考向三　由獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率求離散型隨 機(jī)變量的分布列 【例3】?(2020·浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞

13、了個(gè)人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的．記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù)．若P(X＝0)＝，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________. [審題視點(diǎn)] 分別求出隨機(jī)變量X取每一個(gè)值的概率，然后求其期望． 解析　由已知條件P(X＝0)＝ 即(1－P)2×＝，解得P＝， 隨機(jī)變量X的取值分別為0,1,2,3. P(X＝0)＝， P(X＝1)＝×2＋2××2＝， P(X＝2)＝2×××＋×2＝， P(X＝3)＝×2＝. 因此隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P

14、E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 答案　 本題考查了相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率求法以及分布列，期望的相關(guān)知識，公式應(yīng)用，計(jì)算準(zhǔn)確是解題的關(guān)鍵． 【訓(xùn)練3】 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū)．B肯定是受A感染的．對于C，因?yàn)殡y以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是.在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個(gè)隨機(jī)變量．寫出X的分布列(不要求寫出計(jì)算過程)，并求X的均值(即數(shù)學(xué)期望)． 解　隨機(jī)變量X的分布列是 X 1 2 3 P X的均值E

15、(X)＝1×＋2×＋3×＝. 附：X的分布列的一種求法 共有如下6種不同的可能情形，每種情形發(fā)生的概率都是： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ A－B－C－D 在情形①和②之下，A直接感染了一個(gè)人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了兩個(gè)人；在情形⑥之下，A直接感染了三個(gè)人． 規(guī)范解答22——求離散型隨機(jī)變量的分布列 【問題研究】 離散型隨機(jī)變量的分布列問題是新課標(biāo)教材概率統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要的內(nèi)容，從近幾年新課標(biāo)區(qū)高考試題來看，每年都有考查，而且它是進(jìn)行概率計(jì)算，期望與方差計(jì)算的重要依據(jù). 【解決方案】 (1)用好概率分布列的性質(zhì)：在隨機(jī)變量的分布列中隨機(jī)

16、變量各個(gè)可能值對應(yīng)的概率均符合概率的一般性性質(zhì)，并且所有的概率之和等于1. (2)掌握好幾個(gè)特殊分布的分布列：如兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布等. 【示例】?(本題滿分12分)在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號分別為1,2,3的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號分別為x、y，記ξ＝|x－2|＋|y－x|. (1)求隨機(jī)變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； (2)求隨機(jī)變量ξ的分布列． (1)根據(jù)x，y的取值，隨機(jī)變量ξ的最大值為3，當(dāng)ξ＝3時(shí)，只能x＝1，y＝3或x＝3，y＝1；(2)根據(jù)x，y的取值，ξ的所有取值為0,1,2,3，列舉計(jì)數(shù)計(jì)算其相應(yīng)的概率值

17、即可． [解答示范] (1)∵x，y可能的取值為1,2,3， ∴|x－2|≤1，|y－x|≤2， ∴ξ≤3，且當(dāng)x＝1，y＝3或x＝3，y＝1時(shí)，ξ＝3. 因此，隨機(jī)變量ξ的最大值為3.(3分) ∵有放回抽兩張卡片的所有情況有3×3＝9種， ∴P(ξ＝3)＝. 故隨機(jī)變量ξ的最大值為3，事件“ξ取得最大值”的概率為.(6分) (2)ξ的所有取值為0,1,2,3. ∵ξ＝0時(shí)，只有x＝2，y＝2這一種情況， ξ＝1時(shí)，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四種情況， ξ＝2時(shí)，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2兩種情況． ξ＝3時(shí)，有x＝1，y＝3

18、或x＝3，y＝1兩種情況． ∴P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝， P(ξ＝3)＝.(10分) 則隨機(jī)變量ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 P (12分) 解決隨機(jī)變量分布列問題的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量可以取哪些值以及取各個(gè)值對應(yīng)的概率，只有正確地理解隨機(jī)變量取值的意義才能解決這個(gè)關(guān)鍵問題，理解隨機(jī)變量取值的意義是化解這類問題難點(diǎn)的必要前提． 【試一試】 某射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，且各次射擊的結(jié)果互不影響． (1)求射手在3次射擊中，至少有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率(用數(shù)字作答)； (2)求射手第3次擊中目標(biāo)時(shí)，恰好射擊了4次的概率(用數(shù)字作答)； (3)設(shè)隨機(jī)變量ξ表示射手第3次擊中目標(biāo)時(shí)已射擊的次數(shù)，求ξ的分布列． [嘗試解答]　(1)記“射手射擊1次，擊中目標(biāo)”為事件A，則在3次射擊中至少有兩次連續(xù)擊中目標(biāo)的概率 P1＝P(AA )＋P(AA)＋P(AAA) ＝××＋××＋××＝. (2)射手第3次擊中目標(biāo)時(shí)，恰好射擊了4次的概率P2＝C×2××＝. (3)由題設(shè)，“ξ＝k”的概率為 P(ξ＝k)＝C×2×k－3×＝C×k－3×3(k∈N*且k≥3)． 所以，ξ的分布列為： ξ 3 4 … k … P … Ck－33 …