【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 概率、隨機(jī)變量及其分布 第6講　離散型隨機(jī)變量的均值與方差教案 理 新人教版

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1、第6講　離散型隨機(jī)變量的均值與方差 【2020年高考會(huì)這樣考】 1．考查有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念． 2．利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差解決一些實(shí)際問題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 均值與方差是離散型隨機(jī)變量的兩個(gè)重要數(shù)字特征，是高考在考查概率時(shí)考查的重點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)，要掌握期望與方差的計(jì)算公式，并能運(yùn)用其性質(zhì)解題． 基礎(chǔ)梳理 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 數(shù)學(xué)期望 平均水平 偏離程度 兩個(gè)

2、防范 在記憶D(aX＋b)＝a2D(X)時(shí)要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)． 三種分布 (1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)X～B(n，p)，則 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； (3)若X服從超幾何分布， 則E(X)＝n. 六條性質(zhì) (1)E(C)＝C(C為常數(shù)) (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b為常數(shù)) (3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2 (4)如果X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1·X2)＝E(X1)E(X2) (5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2 (6)D(aX

3、＋b)＝a2·D(X) 雙基自測(cè) 1．(2020·山東)樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為(　　)． A. B. C. D．2 解析　由題意知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1. s2＝ ＝2. 答案　D 2．已知X的分布列為 X －1 0 1 P 設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為(　　)． A. B．4 C．－1 D．1 解析　E(X)＝－＋＝－， E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋

4、3＝. 答案　A 3．(2020·湖北)某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為________． A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9 解析　x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.① 又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化簡(jiǎn)得7x＋10y＝5.4.② 由①②聯(lián)立解得x＝0.2，y＝0.4. 答案　A 4．設(shè)隨機(jī)變量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，則(　　)． A．n＝8，p＝0.

5、2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45 解析　∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6， D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴ 答案　A 5．(2020·上海)隨機(jī)變量ξ的概率分布列由下表給出： ξ 7 8 9 10 P 0.3 0.35 0.2 0.15 該隨機(jī)變量ξ的均值是________． 解析　由分布列可知E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2. 答案　8.2 　 考向一　離散型隨機(jī)變量的均值和方差 【例1】?A、B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)?/p>

6、抗賽，每隊(duì)三名隊(duì)員，A隊(duì)隊(duì)員是A1、A2、A3，B隊(duì)隊(duì)員是B1、B2、B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間的勝負(fù)概率如下： 對(duì)陣隊(duì)員 A隊(duì)隊(duì)員勝的概率 A隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率 A1和B1 A2和B2 A3和B3 現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng)勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分，設(shè)A隊(duì)，B隊(duì)最后所得總分分別為X，Y (1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)． [審題視點(diǎn)] 首先理解X，Y的取值對(duì)應(yīng)的事件的意義，再求X，Y取每個(gè)值的概率，列成分布列的形式，最后根據(jù)期望的定義求期望． 解　(1)X，Y的可能取值分別為3,2,1,0. P(X＝3)＝××＝， P(X＝

7、2)＝××＋××＋××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝0)＝××＝； 根據(jù)題意X＋Y＝3，所以 P(Y＝0)＝P(X＝3)＝，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝， P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝. X的分布列為 X 0 1 2 3 P Y的分布列為 Y 3 2 1 0 P (2)E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝； 因?yàn)閄＋Y＝3，所以E(Y)＝3－E(X)＝. (1)求離散型隨機(jī)變量的期望關(guān)鍵是寫出離散型隨機(jī)變量的分布列，然后利用公式計(jì)算． (2)由X的期望、方差求

8、aX＋b的期望、方差是?？碱}之一，常根據(jù)期望和方差的性質(zhì)求解． 【訓(xùn)練1】 (2020·四川)本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多，某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立來該租車點(diǎn)租車騎游(各租一車一次)．設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為，；兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為，；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí)． (1)求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率； (2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 解　(1)由題意得，

9、甲、乙在三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)還車的概率分別為，. 記甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同為事件A，則 P(A)＝×＋×＋×＝. 所以甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為. (2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8. P(ξ＝0)＝×＝； P(ξ＝2)＝×＋×＝； P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝； P(ξ＝6)＝×＋×＝； P(ξ＝8)＝×＝. 甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和ξ的分布列為 ξ 0 2 4 6 8 P 所以E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝. 考向二　均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用 【例2】?設(shè)隨機(jī)變量X具有分布P(X＝k)＝，k＝1,2

10、,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，. [審題視點(diǎn)] 利用期望與方差的性質(zhì)求解． 解　∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝＝3. E(X2)＝1×＋22×＋32×＋42×＋52×＝11. D(X)＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＋(5－3)2×＝(4＋1＋0＋1＋4)＝2. ∴E(X＋2)2＝E(X2＋4X＋4) ＝E(X2)＋4E(X)＋4＝11＋12＋4＝27. D(2X－1)＝4D(X)＝8，＝＝. 若X是隨機(jī)變量，則η＝f(X)一般仍是隨機(jī)變量，在求η的期望和方差時(shí)，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求η的分布列帶來

11、的繁瑣運(yùn)算． 【訓(xùn)練2】 袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值． 解　(1)X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5. D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2

12、. 又E(η)＝aE(X)＋b， 所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2. 當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. ∴或即為所求． 考向三　均值與方差的實(shí)際應(yīng)用 【例3】?(2020·福建)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B.已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)． (1)已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如下所示： X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1

13、 且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)＝6，求a，b的值； (2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下： 3　5　3　3　8　5　5　6　3　4 6　3　4　7　5　3　4　8　5　3 8　3　4　3　4　4　7　5　6　7 用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望． (3)在(1)、(2)的條件下，若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由． 注：(1)產(chǎn)品的“性價(jià)比”＝； (2)“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性． [審題視點(diǎn)] (1)利用分布列的性質(zhì)P1＋P2＋P3

14、＋P4＝1及E(X1)＝6求a，b值． (2)先求X2的分布列，再求E(X2)，(3)利用提示信息判斷． 解　(1)因?yàn)镋(X1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2. 又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5. 由解得 (2)由已知得，樣本的頻率分布表如下： X2 3 4 5 6 7 8 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)X2的概率分布列如下： X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2

15、 0.2 0.1 0.1 0.1 所以 E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8. (3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性．理由如下： 因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價(jià)格為6元/件，所以其性價(jià)比為＝1. 因?yàn)橐覐S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價(jià)格為4元/件，所以其性價(jià)比為＝1.2. 據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性． 解決此類題目的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值所表示的具體事件，求得該事件發(fā)生的概率，本題第(1)問中充分利用了分布列的性質(zhì)p1＋p2

16、＋…＋pn＋…＝1. 【訓(xùn)練3】 某公司有10萬元資金用于投資，如果投資甲項(xiàng)目，根據(jù)市場(chǎng)分析知道：一年后可能獲利10%，可能損失10%，可能 不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為，，；如果投資乙項(xiàng)目，一年后可能獲利20%，也可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分別為α和β(α＋β＝1)． (1)如果把10萬元投資甲項(xiàng)目，用X表示投資收益(收益＝回收資金－投資資金)，求X的概率分布及E(X)； (2)若把10萬元資金投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益，求α的取值范圍． 解　(1)依題意，X的可能取值為1,0，－1， X的分布列為 X 1 0 －1 P

17、 E(X)＝－＝. (2)設(shè)Y表示10萬元投資乙項(xiàng)目的收益，則Y的分布列為： Y 2 －2 P α β E(Y)＝2α－2β＝4α－2，依題意要求4α－2≥， ∴≤α≤1. 規(guī)范解答23——離散型隨機(jī)變量的均值與方差的計(jì)算 【問題研究】 期望和方差是離散型隨機(jī)變量的兩個(gè)重要數(shù)學(xué)特征，是高考概率考查的重要知識(shí)點(diǎn)，常與排列組合、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)相結(jié)合，對(duì)考查生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力、創(chuàng)新能力都進(jìn)行了考查． 【解決方案】 (1)掌握好期望與方差的性質(zhì)．(2)記住或理解一些特殊分布的均值與方差，如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等．(3)注意運(yùn)算技巧，隨機(jī)變量的均值與方差計(jì)算比較復(fù)雜，

18、在運(yùn)算時(shí)要注意一些運(yùn)算技巧，如把問題歸結(jié)為二項(xiàng)分布的期望與方差，運(yùn)用期望與方差的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算，運(yùn)算時(shí)注意一些項(xiàng)的合并． 【示例】?(本小題滿分12分)甲、乙兩架轟炸機(jī)對(duì)同一地面目標(biāo)進(jìn)行轟炸，甲機(jī)投彈一次命中目標(biāo)的概率為，乙機(jī)投彈一次命中目標(biāo)的概率為，兩機(jī)投彈互不影響，每機(jī)各投彈兩次，兩次投彈之間互不影響． (1)若至少兩次投彈命中才能摧毀這個(gè)地面目標(biāo)，求目標(biāo)被摧毀的概率； (2)記目標(biāo)被命中的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 對(duì)于第(1)問，甲、乙兩機(jī)的投彈都是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型，根據(jù)至少兩次命中分類求解，或使用間接法求解，注意運(yùn)用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式；對(duì)于第(

19、2)問，根據(jù)題意，隨機(jī)變量ξ＝0,1,2,3,4，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型及事件之間的相互關(guān)系，計(jì)算其概率即可求出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解數(shù)學(xué)期望． [解答示范] 設(shè)Ak表示甲機(jī)命中目標(biāo)k次，k＝0,1,2，Bl表示乙機(jī)命中目標(biāo)l次，l＝0,1,2，則Ak，Bl獨(dú)立．由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有 P(Ak)＝Ck2－k，P(Bl)＝Cl2－l. 據(jù)此算得P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝. P(B0)＝，P(B1)＝，P(B2)＝.(2分) (1)所求概率為 1－P(A0B0＋A0B1＋A1B0)＝ 1－＝1－＝.(4分) (2)ξ的所有可能值為0,1,2,

20、3,4，且 P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝P(A0)·P(B0)＝×＝， P(ξ＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝×＋×＝， P(ξ＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＋P(A2B0)＝×＋×＋×＝，(8分) P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝×＋×＝， P(ξ＝4)＝P(A2B2)＝×＝.(10分) 綜上知，ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 3 4 P 從而ξ的期望為E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.(12分) 概率問題的核心就是互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算、隨機(jī)變量的分布以及均值等問題，并且都是以概率計(jì)算為

21、前提的，在復(fù)習(xí)時(shí)要切實(shí)把握好概率計(jì)算方法．若本題第(2)問是單純求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望，則可以直接根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)解答：令ξ1，ξ2分別表示甲、乙兩機(jī)命中的次數(shù)，則ξ1～B，ξ2～B，故有E(ξ1)＝2×＝，E(ξ2)＝2×＝1，而知E(ξ)＝E(ξ1)＋E(ξ2)＝. 【試一試】 (2020·北京)(本小題共13分)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示． (1)如果X＝8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差； (2)如果X＝9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的分布列

22、和數(shù)學(xué)期望． (注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為x1，x2，…，xn的平均數(shù)) 解　(1)當(dāng)X＝8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10， 所以平均數(shù)為：＝＝； 方差為：s2＝×[(8－)2＋(8－)2＋(9－)2＋(10－)2]＝. (2)當(dāng)X＝9時(shí)，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9,9,11,11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4×4＝16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出

23、的同學(xué)植樹8棵”，所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P(Y＝17)＝＝.同理可得P(Y＝18)＝；P(Y＝19)＝；P(Y＝20)＝；P(Y＝21)＝.所以隨機(jī)變量Y的分布列為： Y 17 18 19 20 21 P EY＝17×P(Y＝17)＋18×P(Y＝18)＋19×P(Y＝19)＋20×P(Y＝20)＋21×P(Y＝21)＝17×＋18×＋19×＋20×＋21×＝19. [嘗試解答]　由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)可以推知，f(x)在[－2,2]上遞增，又f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函數(shù)f(x)以8為周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故選D. 答案　D